高中数学第2章变化率与导数章末分层突破学案北师大版选修2-2.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学第 2 章 变化率与导数章末分层突破学案北师大版选修 2-2 自我校对 加法与减法乘法与除法复合函数导数的定义函 数f(x)在 点xx0处 的 导 数 是f(x)在x0点 附 近 的 平 均 变 化 率yxf（x0 x）f（x0）x；当 x趋于 0 时的极限，即f(x0)limx0yx，这是数学上的“逼近思想”.对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和x0 的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形.利用导数的定义求函数yx21的导数.【精彩点拨】根据求导的步骤求解即可.【规范解答】y limx0yxlimx0f（xx）f（x）x小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学limx0（xx）2 1x21xlimx02xx（x）2x（x x）21x21limx02xx（xx）2 1x21xx21.再练一题 1.设f(x)在x处可导，则 limx0f（xh）f（xh）2h()A.2f(h)B.12f(x)C.f(x)D.4f(x)【解析】limx0f（xh）f（xh）2hlimx0f（xh）f（x）f（x）f（xh）2h12limx0f（xh）f（x）h12limx 0f（x）f（xh）hf(x).【答案】C 导数的几何意义利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0 x1)，又y1f(x1)，由求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.【规范解答】(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上.f(x)(x3x16)3x21，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y(6)13(x2)，即y13x 32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x20 1，y0 x30 x016，直线l的方程为y(3x201)(xx0)x30 x016.又直线l过点(0，0)，0(3x20 1)(x0)x30 x016，整理得，x30 8，x0 2.y0(2)3(2)16 26，得切点坐标为(2，26)，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).再练一题 2.已知函数f(x)xaln x(aR).当a2 时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程.【解】函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ax.当a2 时，f(x)x2ln x，f(x)12x(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.求函数的导数求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.求下列函数的导数.(1)y(1 x2)cos x；(2)yln xx 2x；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(3)yeax2bx.【精彩点拨】认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算.【规范解答】(1)y(1 x2)cos x，y 2xcos x(1 x2)(sin x)2xcos xsin xx2sin x.(2)yln xx2x，y（ln x）xxln xx22xln 2 1ln xx22xln 2.(3)yeu，uax2bx.yyuux eu(ax2bx)eu(2axb)(2axb)eax2bx.再练一题 3.求下列函数的导数.(1)yx x21x1x3；(2)y3x2xx5x9x；(3)y1ln2x.【解】(1)yx x21x1x3x311x2，y 3x22x3.(2)y3x32x5 9x-12，y 3(x32)x5 9(x-12)92x12192x-3292x11x21.(3)yu12，u1v2，v ln x.yyuuvvx12u-122v1x小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1211ln2x2ln x1xln xx1ln2x.转化与化归思想为了解决问题的方便，我们经常把所给问题进行形式上的转化，以使问题易于理解.本章中转化与化归思想主要体现在平均速度与瞬时速度的转化，平均变化率与瞬时变化率的转化.复合函数的导数f(x)f(u)(x)是利用两个简单函数导数的积求得，其中也体现了转化与化归思想.已知直线x2y40 与抛物线y2x相交于A，B两点，O为坐标原点，试在抛物线的弧AOB上求一点P，使ABP的面积最大.【精彩点拨】因为|AB|为定值，故使ABP的面积最大，只需求点P到AB的距离最大，问题转化为求平行于直线AB的切线的切点即可.【规范解答】设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图.由于直线x2y40 与抛物线y2x相交于A，B两点，所以|AB|为定值，要使ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧AOB上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，yx，y12x，由题意知kAB12，所以kl12x012，即x01，所以y01，所以P(1，1).再练一题 4.已知抛物线yx2，直线xy 20，求抛物线上的点到直线的最短距离.【导学号：94210052】【解】根据题意可知与直线xy20 平行的抛物线yx2的切线，对应的切点到直线xy20 的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则当xx0时，y 2x01，所以x012，所以切点坐标为12，14，切点到直线xy20 的距离d121422728，所以抛物线上的点到直线xy2 0 的最短距离为728.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1.(2016山东高考)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有 T性质，下列函数中具有T 性质的是()A.ysin xB.yln xC.yexD.yx3【解析】若yf(x)的图象上存在两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f(x1)f(x2)1.对于 A：y cos x，若有 cos x1cos x2 1，则存在x12k，x22k(k Z)时，结论成立；对于 B：y1x，若有1x11x2 1，即x1x2 1，x0，不存在x1，x2，使得x1x2 1；对于 C：y ex，若有 ex1ex2 1，即 ex1x2 1.显然不存在这样的x1，x2；对于 D：y 3x2，若有 3x21 3x22 1，即 9x21x22 1，显然不存在这样的x1，x2.综上所述，选A.【答案】A 2.(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1 的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则a_.【解析】f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1).切线过点(2，7)，7(a2)3a1，解得a1.【答案】1 3.(2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1 相切，则a_.【解析】法一：yxln x，y 11x，y|x 12.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学曲线yxln x在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x 1.y2x1 与曲线yax2(a2)x1 相切，a0(当a0 时曲线变为y2x1 与已知直线平行).由y2x1，yax2（a2）x1，消去y，得ax2ax20.由 a28a0，解得a 8.法二：同方法一得切线方程为y 2x1.设y2x1 与曲线yax2(a2)x1 相切于点(x0，ax20(a2)x01).y 2ax(a2)，y|xx02ax0(a2).由2ax0（a2）2，ax20（a2）x012x01，解得x012，a8.【答案】8 4.(2015陕西高考)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y1x(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为 _.【解析】y ex，曲线y ex在点(0，1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y1x(x0)的导数为y1x2(x0)，曲线y1x(x0)在点P处的切线斜率k21m2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k2 1，所以m1，n1，则点P的坐标为(1，1).【答案】(1，1)5.(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0 时，f(x)f(x)ln x3x，所以f(x)1x3，则f(1)2.所以yf(x)在点(1，3)处的切线方程为y 3 2(x1)，即y 2x1.【答案】y 2x 1 章末综合测评(二)变化率与导数(时间 120 分钟，满分150 分)一、选择题(本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f(x)2x21，那么该质点从x1 到x2 的平均小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学速度为()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】yxf（2）f（1）21（2221）（2121）1 6.【答案】C 2.设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60 平行，则a()A.1 B.12C.12D.1【解析】y 2ax，于是切线斜率kf(1)2a，由题意知2a2，a 1.【答案】A 3.下列各式正确的是()A.(sin)cos(为常数)B.(cos x)sin xC.(sin x)cos xD.(x5)15x6【解析】由导数公式知选项A中(sin)0；选项 B中(cos x)sin x；选项 D中(x5)5x6.【答案】C 4.设曲线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a等于()【导学号：94210053】A.0 B.1 C.2 D.3【解析】令f(x)axln(x1)，则f(x)a1x1.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f(0)a1.又切线方程为y2x，则有a12.a3.【答案】D 5.已知二次函数f(x)的图像如图1 所示，则其导函数f(x)的图像大致形状是()小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学图 1 A B C D【解析】由图像知f(x)ax2c(a0)，f(x)2ax(a0，所以 ex1ex2，所以y 1，0)，所以 tan 1，0).又因为 0，)，所以 34，.【答案】D 二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.将答案填在题中的横线上)13.设函数yf(x)是一次函数，若f(1)1，且f(2)4，则f(x)_.【解析】yf(x)是一次函数，设f(x)axb，f(x)a，则f(1)ab 1，又f(2)a 4.即a 4，b3，f(x)4x3.【答案】4x3 14.若抛物线yx2xc上一点P的横坐标为 2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为 _.【导学号：94210054】【解析】y 2x1，当x 2 时，y 5.又P(2，6c)，6c2 5，c4.【答案】4 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学15.设函数f(x)(xa)(xb)(xc)(a，b，c是两两不等的常数)，则af（a）bf（b）cf（c）_.【解析】f(x)(xb)(xc)(xa)(xc)(xa)(xb)，f(a)(ab)(ac)，同理f(b)(ba)(bc)，f(c)(ca)(cb)，代入原式中得值为0.【答案】0 16.设函数f(x)cos(3x)(0 )，若f(x)f(x)是奇函数，则_.【解析】f(x)sin(3x)(3x)3sin(3x)，f(x)f(x)cos(3x)3sin(3x)2 cos3x3，当f(x)f(x)为奇函数时，3k2，kZ，k6，kZ，0，6.【答案】6三、解答题(本大题共6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10 分)求下列函数的导数.(1)y3x2xcos x；(2)ytan xx；(3)yx22x5x3.【解】(1)y(3x2)(xcos x)6xxcos xx(cos x)6xcos xxsin x.(2)法一：y（tan x）xtan xx2xcos2x tan xx2xcos2xtan xx2cos2xxsin xcos xx2cos2x.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学法二：ysin xxcos x（sin x）xcos xsin x（xcos x）x2cos2xxcos2xsin x（cos xxsin x）x2cos2xxsin xcos xx2cos2x.(3)y1x2x25x3x12x25x3，yx22(2)x35(3)x41x24x315x4.18.(本小题满分12 分)已知曲线yf(x)x38x2.(1)求曲线在点(0，2)处的切线方程；(2)过原点作曲线的切线l：ykx，求切线l的方程.【解】(1)f(x)x3 8x2，f(x)3x28，则f(0)8，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y2 8(x 0)，即 8xy20.(2)设切点为P(a，a38a2)，切线斜率k3a28，则切线方程y(a38a2)(3a28)(xa)，又因为切线过原点，所以 0(a3 8a2)(3a28)(0 a)，即 2a320，所以a 1，即切线l斜率为k 5，切线l方程为y 5x，即 5xy0.19.(本小题满分12 分)(2016 广州高二检测)已知曲线yx3x2 在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程.【解】(1)由yx3x2，得y 3x21，由已知得 3x214，解得x1.当x1 时，y0；当x 1 时，y 4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(1，4).(2)因为直线ll1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为14，因为l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，所以直线l的方程为y414(x 1)，即x4y170.20.(本小题满分12 分)(2016 北京高考改编)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学在点(2，f(2)处的切线方程为y(e 1)x4.(1)求a，b的值；(2)求过点(2，f(2)且与切线y(e1)x4 垂直的直线方程l.【解】(1)因为f(x)xea xbx，所以f(x)(1x)eaxb.依题设，f（2）2e2，f（2）e1，即2ea22b2e2，ea 2be1.a2，be.(2)由(1)知kl11e，且f(2)2e2，y(2e 2)11e(x2).即所求直线l的方程为y11ex21e 2e2.21.(本小题满分12 分)已知函数f(x)aln xx2.(1)若a1，求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)对于任意x2 使得f(x)x恒成立，求实数a的取值范围.【解】(1)当a1 时，f(x)ln xx2，则f(x)1x2x，故在点(1，f(1)处的切线斜率为kf(1)3，又f(1)1，即切点为(1，1)，故切线方程为y13(x1)，即 3xy20.(2)当x2 时，f(x)x，即ax2xx(x2)恒成立，即ax2在x2，)上恒成立.令tx2，当x2，)时，易知tmax 4，为使不等式ax2恒成立，则a4，故实数a的取值范围为 4，).22.(本小题满分12 分)(2016 无锡高二检测)已知两曲线f(x)x3ax，g(x)ax2bxc都经过点P(1，2)，且在点P有公切线.(1)求a，b，c的值；(2)设k(x)f（x）g（x），求k(2)的值.【解】(1)依题意，1a2，abc2，即a1，bc1.故f(x)x3x，g(x)x2bx1b，所以f(x)3x21，g(x)2xb，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由于两曲线在点P(1，2)处有公切线，故f(1)g(1)，即 4 2b，所以b2.故c1b 1.(2)由(1)可得f(x)x3x，g(x)x22x1，故k(x)f（x）g（x）x3xx22x1，故k(x)（x3x）（x22x1）（x3x）（x22x1）（x22x1）2（3x21）（x22x1）（x3x）（2x2）（x22x1）2x44x34x21（x22x1）2.故k(2)163216 1（441）2 33.