高中数学第1章导数及其应用1.3.3导数的实际应用学案新人教B版选修2-2.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1.3.3 导数的实际应用1学会解决实际问题的基本方法，注意首先通过分析、思考、总结、联想，建立问题涉及的变量之间的函数关系式，然后根据实际意义确定定义域2学会利用导数求解实际问题，感受导数在解决实际问题中的作用求实际问题中的最值的主要步骤(1)列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程 _；(3)比较函数在区间_和使f(x)0 的点的取值大小，最大(小)者为最大(小)值(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0 的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间【做一做 11】内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为()AR2和32R B55R和455RC45R和75R D以上都不对【做一做 12】面积为S的所有矩形中，其周长最小的是_如何求解实际应用题？剖析：解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论；然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验，其思路如下：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案值得注意的是：在实际问题中，有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f(x)0的情形，如果函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较也可以知道这就是最大(小)值这里所说的也适用于开区间或无穷区间题型一利用导数求实际问题的最小值小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【例题 1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值分析：根据题设条件构造函数关系，再应用导数求最值反思：解答一道应用题重点要过三关：事理关(需要读懂题意，知道讲的是什么事件)；文理关(需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系)；数理关(要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，进而借助数学知识进行解答)对于这类问题，往往因忽视了数学语言和普通语言的转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍题型二利用导数求实际问题的最大值【例题 2】如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD2x，梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数关系式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值分析：建立坐标系，求出椭圆方程，表示出梯形的面积，应用导数求最值反思：本题的关键是建立直角坐标系，得到椭圆方程x2r2y24r2 1(y0)，进而得到梯形面积S2(xr)r2x2.利用导数法解决实际问题，当遇到在定义区间内只有一个点使f(x)0 的情形时，若函数在这一点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值题型三易错辨析易错点：在运用导数解决实际问题的过程中，常常因为忽略实际问题中函数的定义域而造成结果求解错误解决问题的主要措施为：在准确理解题意的基础上，正确建模，在实际问题的定义域范围内求出问题的最优解【例题 3】某厂生产一种机器，其固定成本(即固定投入)为 0.5 万元但每生产100 台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元市场对此产品的年需求量为500 台，销售收入(单位：万元)函数为R(x)5x12x2(0 x5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？错解：(1)yR(x)C(x)5x12x2(0.5 0.25x)12x2194x12(0 x5)(2)yx194，令y 0，得x1944.75，4.75 必为最大值点年产量为475 台时，工厂利润最大1 将 8 分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为()A2 和 6 B4 和 4 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学C3 和 5 D以上都不对2 用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6 cm B8 cm C10 cm D12 cm 3 某车间要靠墙壁盖一间长方形小屋，现有砖只够砌20 m 长的墙壁，则应围成长为_ m，宽为 _ m 的长方形才能使小屋面积最大4 做一个容积为256 的方底无盖水箱，当它的高为_时，最省材料答案：基础知识梳理(2)f(x)0(3)端点【做一做 11】B 设矩形的一边长为x，则另一边长为2R2x2，周长l2x4R2x2(0 xR)，l 24xR2x2，令l 0，得x155R，x255R(舍去)，当 0 x55R时，l 0；当55RxR时，l 0，所以当x55R时，l取最大值，即矩形周长最大时边长为55R和455R.【做一做 12】以S为边长的正方形设矩形的一边长为x，则另一边长为Sx，周长f(x)2xSx，f(x)2 1Sx2，令f(x)0，得xS，易知当xS时，f(x)有极小值，也就是最小值典型例题领悟【例题 1】解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)k3x5，又C(0)8，k40，因此C(x)403x5，而建造费用C1(x)6x，从而隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)20403x56x8003x56x(0 x10)(2)f(x)62 4003x2，令f(x)0，即2 4003x26，得x15，x2253(舍去)，当 0 x5 时，f(x)0，当 5x 10 时，f(x)0，故 5 是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)65800155 70，即当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70 万元【例题 2】解：(1)依题意，以AB所在的直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系(如图所示)，则点C的横坐标为x，点C的纵坐标y满足方程x2r2y24r21(y0)，即y2r2x2(0 xr)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学S12(2x2r)2r2x22(xr)r2x2，其定义域为 x|0 xr(2)记f(x)4(xr)2(r2x2)，0 xr，则f(x)8(xr)2(r2x)令f(x)0，得x12r.因为当 0 xr2时，f(x)0；当r2xr时，f(x)0，所以f(12r)是f(x)的最大值因此，当x12r时，S也取得最大值，最大值为f12r332r2.故梯形面积S的最大值为332r2.【例题 3】错因分析：实际问题中，该厂生产的产品数量不一定在500 台之内(含 500台)，应有x5 的情况，错解忽视了此种情况，就出现了错误正解：(1)利润yR(x)C(x)5xx220.25x0 x，555220.25xx，12x24.75xx，120.25xx(2)0 x5 时，y12x24.75x0.5，当x4.75 时，ymax10.78(万元)；当x5 时，y120.25x120.255 10.75(万元)年产量是475 台时，工厂所得利润最大随堂练习巩固1B 设其中一个数为x，则另一个数为8x，yx3(8x)3，0 x8，y3x23(8 x)2，令y0 即 3x23(8 x)2 0，得x4.当 0 x 4时，y0；当 4x8时，y0.所以当x4 时，y最小小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2B 设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意，得Vx(48 2x)2(0 x24)，V 12(24 x)(8 x)令V 0，则在区间(0,24)内有解x8，故当x8 时，V有最大值310 5 设长为x m，宽为y m，则x2y20，y10 x2.Sxyx10 x210 xx22，S 10 x，令S 0，得x10，x10，y5.44 设方底无盖水箱的底面边长为a，高为h，则Va2h256，即h256a2.用料最省，即表面积最小S表S底S侧a24aha24a256a2a21 024a.S 2a1 024a2.令S 0，得 2a1 024a20，解得a8，此时h256644.