第五章参数估计.pdf

第五章第五章参数估计参数估计抽样抽样估估计计总体总体样样本本总体的特征总体的特征 总体参数总体参数样本信息样本信息样本统计量样本统计量第一节第一节点估计点估计一一、矩估计法矩估计法二二、极大似然估计法极大似然估计法三三、估计量优劣的评价标准估计量优劣的评价标准4-3点估计问题就是要构造一个适当的统计量点估计问题就是要构造一个适当的统计量 是待估参数是待估参数.设总体设总体X X的分布函数的分布函数 ,FX 12,.nxxx是相应的样本是相应的样本12,.nX XX是是X X的一个样本的一个样本,),(21nXXX去估计总体的未知参数去估计总体的未知参数 。点估计的概念点估计的概念12(,.)nxxx 称称为为 的一个的一个估计值估计值.观测值观测值。),(21nXXX称为称为 的的点估计量点估计量。4-4构造估计量的两种常用方法构造估计量的两种常用方法极大似然估计法极大似然估计法由于估计量是样本的函数由于估计量是样本的函数,因此对于不同的样本值因此对于不同的样本值,的估计值往往是不同的的估计值往往是不同的.矩估计法矩估计法点估计的方法有多种点估计的方法有多种，包括矩估计法包括矩估计法、极大似然估计极大似然估计法法、顺序统计量法以及最小二乘法等等顺序统计量法以及最小二乘法等等。4-5一一、矩估计法矩估计法许多常见的分布参数可以表示为总体矩的函数许多常见的分布参数可以表示为总体矩的函数。所以参数所以参数估计可转化为总体矩的估计估计可转化为总体矩的估计。是根据是根据1900年英国统计学家年英国统计学家K.Person的替换原则提出的替换原则提出的的：用样本矩作为相应总体矩的估计量用样本矩作为相应总体矩的估计量。其理论依据在于辛钦大数定律其理论依据在于辛钦大数定律：若总体若总体k阶原点矩阶原点矩存在存在，有有：即样本即样本k阶原点矩依概率收敛于总体阶原点矩依概率收敛于总体k阶原点矩阶原点矩()kE X11lim()0inkkniPXE Xn4-6矩估计量矩估计量设总体分布为设总体分布为，有有K个参数个参数，总体总体X的的K阶矩存在且为阶矩存在且为的函数的函数,记为记为样本相应的样本相应的k阶矩记为阶矩记为令令=解上述方程组解上述方程组，的解的解（记为记为）称为参数称为参数的的矩估计量矩估计量。将样本观测值代入估计量即得将样本观测值代入估计量即得矩估计值矩估计值。),.,(1kxf iki,.,2,1 iiii),.,(1kkv ),.,(1kkXXv),.,(1kiv ),.,(1kiXXv4-7样本均值样本均值（样本一阶原点矩样本一阶原点矩）作为作为总体均值总体均值E(X)=（总体一阶原点矩总体一阶原点矩）的估计量的估计量。1niiXXn 推而广之推而广之，把把二阶样本矩二阶样本矩作为二阶作为二阶总体矩总体矩的估计量的估计量,把三阶样本矩作为三阶总体矩的估计量把三阶样本矩作为三阶总体矩的估计量,.这种方法就是这种方法就是矩估计法矩估计法.例例1 1 设总体设总体X X的均值的均值及方差及方差2 均存在均存在,且且2 0,0,但但均为未知均为未知.又设又设是一个样本是一个样本,试求试求2、的估计量的估计量.、12,.,nXXX2 令令X 22211niiXn 解解 总体的一阶矩及二阶矩分别为总体的一阶矩及二阶矩分别为:)(1XEv22222)()()(XEXDXEv样本的一阶矩和二阶矩分别为样本的一阶矩和二阶矩分别为:和和XXnnii11niiXn121,X 即得即得:22211niiXn 2211niiXXn 211niiXXn 2.nS 4-9例例现随机抽出现随机抽出8件电子元器件件电子元器件，测得使用寿命分测得使用寿命分别为别为1310，1207，1304，1267，1596，1325，1294，1462小时小时，试对总体均值和方差进行估试对总体均值和方差进行估计计。11310 1207.1294 1462/8niiuxn=1345.625（小时）S2=13465.23=116.044-10例例2 2 设总体设总体X X服从二点分布服从二点分布X X0 10 1P P 1 1-P PP P其中其中00P15,n(1-p)=605，1-=0.95，/2=1.96064.0200)7.01(7.096.1)1(2nppZp064.0200)7.01(7.096.1)1(2nppZp以以95的置信度可推断该企业的置信度可推断该企业每天看电视一小时以上每天看电视一小时以上的职工比例在的职工比例在63.6%76.4%之间之间。),(pppp（0.7-0.064，0.7+0.064）（0.636，0.764）4-78例随机从随机从60000桶桶罐头中抽取罐头中抽取300桶调查桶调查，发现有发现有6桶不合桶不合格格。以以95.45%的概的概率估计全部罐率估计全部罐头的不合格率头的不合格率和不合格桶和不合格桶数数。解解：已知已知 n=300，p0.02,n p=6 5,n(1-p)=2945，1-=0.9545,/2=2不合格率不合格率的置信区间的置信区间为：（2-1.616，2%+1.616%)不合格品总数不合格品总数的区间的区间为：（0.38460000，3.61660000）（230.4，2169.6）（单位：桶）01616.0300)02.01(02.02)1(2nppZp01616.0300)02.01(02.02)1(2nppZp4-79（三三）正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计设总体服从正态分布设总体服从正态分布，则与样本方差则与样本方差S2和待估计的总体方差和待估计的总体方差2 有关的枢轴量及其有关的枢轴量及其分布为分布为：)1()1(222222nSnnSn4-80置信度与卡方分布的分位数置信度与卡方分布的分位数 22/22/1)1()1(2222nSn1)1()1(12222221nSnnP）（1 1-）由于由于对于给定的置信度对于给定的置信度(1-)，有临界值有临界值和和满足满足：)1(221n)1(22n4-81总体方差总体方差2的置信区间的置信区间：）（）（，11)1()1(2212222nSnnSn或或：）（，1)1(2212222nnSnnSnn)1()1(12222221nSnn）（由由得：4-82例四四 随机从某车间加工的同类零件中抽随机从某车间加工的同类零件中抽取取16件件，测得其的平均长度为测得其的平均长度为12.8厘米厘米，方差为方差为0.0023。假定零件的长度服从正态假定零件的长度服从正态分布分布，求方差及标准差的置信区间求方差及标准差的置信区间（置信度置信度为为95）。）。4-83已知已知16，0.0023，1-0.95，查查分布表得分布表得:2s220.97512(1)(15)6.262n220.0252(1)(15)27.488n2代入数据代入数据，可得所求方差的置信区间为可得所求方差的置信区间为（0.0013，0.0059）标准差的置信区间标准差的置信区间（0.036，0.077）解解：4-84大样本条件下大样本条件下，样本标准差样本标准差S S的分布趋近于正的分布趋近于正态分布态分布：其均值 E(S)，其标准差（亦即S的抽样平均误差）),(/nSZSnSZS2222 )2,(2nNS所以所以，总体标准差总体标准差的的1-的置信区间为的置信区间为：nSS2大样本条件下总体标准差的置信区间大样本条件下总体标准差的置信区间4-851nzx2nSntx)1(2nSzx)(2或前提条件前提条件待估计总待估计总体参数体参数置信区间置信区间（置信度为置信度为）正态总体正态总体方差已知方差已知(小样本小样本)总体总体均值均值正态总体正态总体方差未知方差未知（小样本小样本）总体总体均值均值非正态总体非正态总体或总体方差未或总体方差未知知（大样本大样本）总体总体均值均值（单总体）置信区间公式一览表4-86)1(,)1(2122222SnSnnppzp)1(2前提条件前提条件待估计总待估计总体参数体参数置信区间置信区间正态总体正态总体总体总体方差方差一个属性总体一个属性总体大样本大样本估计总体估计总体成数成数4-87三三、样本容量的确定样本容量的确定（一一）确定样本量的意义确定样本量的意义样本量与抽样误差和费用的关系样本量与抽样误差和费用的关系n 大大，抽样误差越小抽样误差越小n 大大，调查的耗费越多调查的耗费越多必要样本量的定义必要样本量的定义为使抽样误差在一定置信度下不超过允许范围为使抽样误差在一定置信度下不超过允许范围所必须的样本量所必须的样本量（最低限最低限）。4-881、估计总体均值必须的样本量估计总体均值必须的样本量在在 1的置信度下估计总体均值的的置信度下估计总体均值的允许误差为允许误差为，则必要的样本量为则必要的样本量为：重复抽样下重复抽样下：2222)(xZn x 必要样本量的计算公式必要样本量的计算公式可由允许误差的公式反推出可由允许误差的公式反推出4-89不重复抽样下不重复抽样下：2222222 ZNNZnx )(2222222()xZNZ 4-90【例例】某食品厂要检验本月生产的某食品厂要检验本月生产的10,000袋某袋某产品的重量产品的重量，根据上月资料根据上月资料，这种产品每袋重量的这种产品每袋重量的标准差为标准差为25克克。要求在要求在95.45的概率保证程度的概率保证程度下下，平均每袋重量的误差范围不超过平均每袋重量的误差范围不超过5克克，至少应至少应抽查多少袋产品抽查多少袋产品？解解：已知已知：10,000，25，95.45,即即Z/2 2x 4-91在重复抽样条件下：2222222225100()5Xzn(袋袋)在不重复抽样条件下在不重复抽样条件下：22222222222222510000()510000225XzNnNz=99(袋)4-922、估计总体成数时的样本量估计总体成数时的样本量设设为估计总体成数的允许误差为估计总体成数的允许误差，在在1的置信度下的置信度下，样本量样本量 n 为为：重复抽样下重复抽样下：不重复抽样下不重复抽样下：p22222221()pppZZPPn 2222211()()()pZPP NnNZPP 4-931、总体方差总体方差（或总体标准差或总体标准差）其它条件不变的条件下其它条件不变的条件下，总体标准差与必要的抽样数总体标准差与必要的抽样数目成反比目成反比。怎样估计总体方差呢怎样估计总体方差呢？通常有下列代替方法通常有下列代替方法：是用以前同类调查的资料代替是用以前同类调查的资料代替，用同类地区的资料代替用同类地区的资料代替，若有多个方差数值供参考时若有多个方差数值供参考时，应选其中最大的方差应选其中最大的方差。对于成数对于成数，选择最接近选择最接近0.5的成数来计算的成数来计算（三三）影响样本容量的因素影响样本容量的因素4-94【例】某企业对一批产品进行质量检验某企业对一批产品进行质量检验，这批产品这批产品的总数为的总数为5,000件件，过去几次同类调查所得的产品过去几次同类调查所得的产品合格率为合格率为93、95和和96，为了使合格率的允为了使合格率的允许误差不超过许误差不超过3，在在99.73的置信度下的置信度下至少应抽查多少件产品产品？解解：已知已知5000，199.73，Z/2=3，P 取取 0.93 来计算来计算p 4-95【例例】一家公司想估计某地区电脑的家庭所占的一家公司想估计某地区电脑的家庭所占的比例比例。并要求对总体比例的估计误差不超过并要求对总体比例的估计误差不超过5，可靠程度为可靠程度为95%，应抽多大容量的样本应抽多大容量的样本（没有没有可利用的可利用的 P 估计值估计值）。）。解解:已知已知=0.05，1=0.95，Z/2=1.96，P 未未知知,用用最大方差最大方差0.25 来计算来计算，则则应抽取的样本量应抽取的样本量为为：222220 511 90 561384 16038505()(.)()().(.).pZPPn 222220 511 90 561384 16038505()(.)()().(.).pZPPn 4-962、允许误差范围允许误差范围 允许误差增大允许误差增大，意味着推断的精度要求意味着推断的精度要求降低降低，在其他条件不变的情况下在其他条件不变的情况下，必要的必要的样本量可减少样本量可减少。反之反之，缩小允许误差缩小允许误差，就要增加必要的抽就要增加必要的抽样数目样数目。4-97【例例】在其它条件不变的情况下在其它条件不变的情况下,若抽若抽样样允许误差扩大到原来的允许误差扩大到原来的 2倍倍,样本量会样本量会为原来的多少为原来的多少?若抽样允许误差减少到原若抽样允许误差减少到原来的来的1/2,样本容量会如何变化样本容量会如何变化?都采用重复抽样下的公式来推算都采用重复抽样下的公式来推算4-983、置信度置信度因置信度与置信区间是同方向变化的因置信度与置信区间是同方向变化的，所以在其它条件不变的情况下所以在其它条件不变的情况下，要提高推要提高推断的置信度断的置信度，就必须增加抽样数目就必须增加抽样数目。4-994、抽样方法抽样方法 相同条件下相同条件下，采用重复抽样应比不重复抽采用重复抽样应比不重复抽样多抽一些样本单位样多抽一些样本单位。不过不过，很大时很大时，二者差异很小二者差异很小。为简便为简便起见起见，实际中当实际中当很大时很大时，一般都按重复抽一般都按重复抽样公式计算必要的抽样数目样公式计算必要的抽样数目。4-1005、抽样组织方式抽样组织方式上述公式适用于简单随机抽样下样本量的上述公式适用于简单随机抽样下样本量的确定确定其它抽样组织方式下样本量的计算也可根其它抽样组织方式下样本量的计算也可根据相应的误差公式来推导据相应的误差公式来推导。