2014年第一轮复习数列.ppt

数列的定义归纳归纳 知识整合知识整合 1数列的定义数列的定义 按照按照 排列着的一列数称为数列，数列中的排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的每一个数叫做这个数列的 排在第一位的数称为这个排在第一位的数称为这个数列的第数列的第1项项(通常也叫做通常也叫做 )一定顺序一定顺序项项首项首项有限有限 无限无限 3数列的通项公式数列的通项公式 如果数列如果数列an的第的第n项与项与 之间的关系可以用一之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 探究探究1.数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？有通项公式？序号序号n自测自测 牛刀小试牛刀小试2已知数列的通项公式为已知数列的通项公式为ann28n15，则，则3是数列是数列 中的第中的第_项项解析：令解析：令an3，即，即n28n153，解得，解得n2或或6，故，故3是数列是数列an 中的第中的第2项或第项或第6项项答案：答案：2或或6答案：答案：75若数列若数列an的前的前n项和项和Snn210n(n1,2,3，)，则，则此数列的通项公式为此数列的通项公式为an_；数列；数列nan中数值中数值最小的项是第最小的项是第_项项答案：答案：2n113已知数列的前几项求通项公式已知数列的前几项求通项公式 用观察法求数列的通项公式的技巧用观察法求数列的通项公式的技巧 用观察归纳法求数列的通项公式，关键是找出各项用观察归纳法求数列的通项公式，关键是找出各项的共同规律及项与项数的共同规律及项与项数n的关系当项与项之间的关系的关系当项与项之间的关系不明显时，可采用适当变形或分解，以凸显规律，便于不明显时，可采用适当变形或分解，以凸显规律，便于归纳当各项是分数时，可分别考虑分子、分母的变化归纳当各项是分数时，可分别考虑分子、分母的变化规律及联系，正负相间出现时，可用规律及联系，正负相间出现时，可用(1)n或或(1)n1调调节节由由an与与Sn的关系求通项公式的关系求通项公式 例例7已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn3n1，求它的，求它的通项公式通项公式an.自主解答自主解答当当n2时，时，anSnSn13n1(3n11)23n1；当；当n1时，时，a1S12也满足也满足an23n1.故数列故数列an的通项公式为的通项公式为an23n1.数列函数性质的应用数列函数性质的应用例例8已知数列已知数列ann25n4，数列中有多少项是负数？数列中有多少项是负数？n为何值时，为何值时，an有最小值？并求出最小值有最小值？并求出最小值自主解答自主解答(1)由由n25n40，解得，解得1n0,d0)，由勾股定理得：由勾股定理得：(a+2d)2=a2+(a+d)2,即即a2-2ad-3d2=0，亦即，亦即(a-3d)(a+d)=0，a=3d(a=-d舍去舍去)，直角三角形三边长分别为直角三角形三边长分别为3d,4d,5d，它们的比为它们的比为3:4:5.练习练习:(一题多解一题多解)已知直角三角形三边已知直角三角形三边长成等差数列，试求其三边之比长成等差数列，试求其三边之比.方法方法2.设三边分别为：设三边分别为：a-d,a,a+d(ad0),由勾股定理得由勾股定理得：(a-d)2+a2=(a+d)2，即即a2-4ad=0,a=0(舍去舍去)或或a=4d.三边为：三边为：3d,4d,5d.a:b:c=3:4:5.2.在数列在数列 中，若中，若 ，则，则该数列的通项该数列的通项 _三、三、实战训练实战训练3 3、已知等差数列、已知等差数列、已知等差数列、已知等差数列 an n。若。若。若。若a1010=30=30，a20 20=50=50 Sn n=242,=242,求求求求 n n1 1、在等差数列中，已知前、在等差数列中，已知前、在等差数列中，已知前、在等差数列中，已知前1010项和为项和为项和为项和为5 5，前，前，前，前2020项和为项和为项和为项和为1515，则前，则前，则前，则前3030项和为（项和为（项和为（项和为（）3 3、在等差数列中，已知前、在等差数列中，已知前、在等差数列中，已知前、在等差数列中，已知前1010项和为项和为项和为项和为5 5，前，前，前，前2020项和为项和为项和为项和为1515，则前，则前，则前，则前3030项和为（项和为（项和为（项和为（）解；由性质解；由性质解；由性质解；由性质3 3可得可得可得可得 成等差数列成等差数列成等差数列成等差数列 即即即即 成等差数列成等差数列成等差数列成等差数列 即即即即三、三、实战训练（答案）实战训练（答案）4.在数列在数列 中，若中，若 ，则，则该数列的通项该数列的通项 _由定义可知，数列为等差数列由定义可知，数列为等差数列解：由已知易得：解：由已知易得：三、三、实战训练（答案）实战训练（答案）2、在等差数列、在等差数列an中，前中，前15项的和项的和 则则为（为（）解：解：三、三、实战训练（答案）实战训练（答案）三、三、实战训练（答案）实战训练（答案）1、已知等差数列共有、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和项，其中奇数项之和15，偶数，偶数项之和为项之和为30，则其公差是，则其公差是()解：解：1.1.定义：定义：a an n/a/an-1n-1=q=q（q q为不等于零的常数）为不等于零的常数）（n2n2）3.3.等比数列的通项变形公式：等比数列的通项变形公式：a an n=a=am mq qn-mn-m 2.2.等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：a an n=a=a1 1q qn-1n-1 要要 点点 复复 习习 要要 点点 复复 习习 7.性质:在等比数列 中，为公比，若 且那么：8.等比数列的前 项和公式:或a1、q、n、an、Sn中中知三求二知三求二9.性质:在等比数列an中,Sn是它的前n项和,那么有:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等比数列.n+1判断判断是非是非n点点 击击若若 且且 ,则则c212n新课讲授:已知已知是等比数列，请完成下表：是等比数列，请完成下表：题号题号a1qnanSn(1)(2)(3)例例1 1解：解：已知已知是等比数列，请完成下表：是等比数列，请完成下表：题号题号a1qnanSn(1)(2)(3)例例2 2解：解：已知已知是等比数列，请完成下表：是等比数列，请完成下表：a1、q、n、an、Sn中中例例3 3题号题号a1qnanSn(1)(2)(3)知三求二知三求二例例3 3 求等比数列求等比数列 的第的第5 5项到第项到第1010项的和项的和.【解法解法2 2】此等比数列的第此等比数列的第5 5项到第项到第1010项构成一个项构成一个首项是首项是的等比数列的等比数列公比为公比为，项数，项数1042121-=【解法解法1 1】例4.已知等比数列an的前 m项和为10，前 2m项和为50，求它的前 3m项的和。解:在等比数列an中,有:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等比数列.所以,由(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)得:S3m=210 求数列求数列 的前的前n n项的和项的和.拓展拓展1分组求和分组求和反反思思解解:求和：解：(1)当 ，即 时，原式=拓展拓展2(2)当 ，即 时原式=综上所述：原式数列实际应用举例某林场第一年造林某林场第一年造林 0.5km2，以后每年比上一年多造，以后每年比上一年多造林林0.1km2，问，问6年后林场共造林多少？年后林场共造林多少？解：依题意，林场每年造林数成等差数列解：依题意，林场每年造林数成等差数列 an ，其中其中 a 10.5，d0.1，n6.所以所以 S60.56+0.1 4.5 即即6年后林场共造林年后林场共造林4.5km 2 6(6 1)2 某种卷筒卫生纸绕在圆柱形纸筒芯上，空纸筒芯直某种卷筒卫生纸绕在圆柱形纸筒芯上，空纸筒芯直径径40mm，满筒时直径，满筒时直径120mm，已知卫生纸的厚度为，已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满筒时卫生纸的总长度大约是多少米？，问：满筒时卫生纸的总长度大约是多少米？解：解：卷筒上纸的厚度为卷筒上纸的厚度为6020=40(mm)，纸绕了纸绕了400.1=400(圈圈)从里往外，每一圈的长分别是：从里往外，每一圈的长分别是：40.2；40.4；120.这是首项是这是首项是 40.2，公差为，公差为0.2，400项的等差数列项的等差数列.纸的总长纸的总长=40.2+40.4+120，100.6(m)所以，纸的总长大约为所以，纸的总长大约为100.6米米.某种电子产品经过某种电子产品经过3次降价，单价由原来的次降价，单价由原来的174元降元降到到58元，这种产品平均每次降价的百分率是多少？元，这种产品平均每次降价的百分率是多少？解：设平均每次降价的百分率是解：设平均每次降价的百分率是x，则每次降价后的，则每次降价后的单价是原价的单价是原价的(1x)倍倍 将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个等比数列，个等比数列，其中其中a1174，a458，n4，q1x，由等比数列的通项公式，得由等比数列的通项公式，得 58174(1x)41 整理，得整理，得(1x)3 1x 0.693 因此，因此，x10.69331%即这种电子产品平均每次降价的百分率约为即这种电子产品平均每次降价的百分率约为31%1 3 1 33 解解：设每年他存入：设每年他存入x元，元，一年后存的本利和为一年后存的本利和为 x(1+5%)，两年后的本利和为两年后的本利和为 x(1+5%)+x(1+5%)2，5 年后的本利和为年后的本利和为 x(1+5%)+x(1+5%)2+x(1+5%)5 这是首项为这是首项为x(1+5%)，公比为，公比为(1+5%)，共，共5项的项的 等比数列等比数列.某人为了某人为了5年后能购买一辆车，准备每年到银行去存一年后能购买一辆车，准备每年到银行去存一笔数额相同的钱假设银行储蓄年利率为笔数额相同的钱假设银行储蓄年利率为5%，按复利计，按复利计算，为了使算，为了使5年后本利共有年后本利共有10万元，问他每年约需存多少万元，问他每年约需存多少钱？（精确到元）钱？（精确到元）依题意，列方程得依题意，列方程得x(1+5%)+x(1+5%)2+x(1+5%)5 =100000 即即 1.05 x =100000 解此方程，得解此方程，得 x 17236 元元 所以每年约需存入所以每年约需存入 17236 元元 11.055 1 1.05 解解：设每年他存入：设每年他存入x元，元，某人为了某人为了5年后能购买一辆车，准备每年到银行去存一年后能购买一辆车，准备每年到银行去存一笔数额相同的钱假设银行储蓄年利率为笔数额相同的钱假设银行储蓄年利率为5%，按复利计，按复利计算，为了使算，为了使5年后本利共有年后本利共有10万元，问他每年约需存多少万元，问他每年约需存多少钱？（精确到元）钱？（精确到元）解决数列实际问题的步骤是：解决数列实际问题的步骤是：1.读题，确定数列类型；读题，确定数列类型；2.寻求已知量，确定所求量；寻求已知量，确定所求量；3.选择公式列式；选择公式列式；4.解答；解答；5.写出答案写出答案 某剧场有某剧场有20排座位，后一排比前一排多排座位，后一排比前一排多2个座位，个座位，最后一排有最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？个座位，这个剧场共有多少个座位？“神舟八号神舟八号”发射成功！发射成功！发射现场负责人立即给发射现场负责人立即给10个人发出短信：个人发出短信：试问最多有多少人收到了短信？试问最多有多少人收到了短信？负责人发出的负责人发出的10条短信接收者的条短信接收者的x值均为值均为1，以后每，以后每一位收到短信后将一位收到短信后将x值都增加值都增加1，再将短信发出据统，再将短信发出据统计，所发短信中计，所发短信中x的最大值为的最大值为10 “请你把中国神八发射成功的消息转发给请你把中国神八发射成功的消息转发给10位朋友，位朋友，并且注明您是第并且注明您是第x位接收此消息的位接收此消息的”洗衣机用清水漂洗衣服时，每次可以漂去污物的洗衣机用清水漂洗衣服时，每次可以漂去污物的80%，要使残留的污物不超过原来的，要使残留的污物不超过原来的2%，问至少应，问至少应该漂洗几次？该漂洗几次？例6从盛满 升（）纯酒精的容器里倒出1 升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去问第 次操作后溶液的浓度是多少?若 ，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于？分析：分析：这是一道数学应用题解决应用问题的关键是建立数学模型，使实际问题数学化注意到开始浓度为1，操作一次后溶液浓度是 .操作二次后溶液浓度是 ,，操作n次后溶液浓度是 .则不难发现，每次操作后溶液浓度构成等比数列，由此便建立了数列模型解决数列问题，便可能达到解决实际问题之目的 解：解：设每次操作后溶液浓度为数列 ，则问题即为求数列的通项 依题意，知原浓度为1，构成以首项 ，公比 的等比数列，所以 ，故第n次操作后酒精浓度是 当 时，由 ，得 .因此，至少应操作4次后，才能使酒精浓度低于 注：注：数学应用问题的解答步骤：一、通过阅读，理解题意，建立数学模型；二、通过解决数学问题，解决实际问题；三、回答实际问题 例7某人年初欲向银行贷款10万元用于买房。已知有以下两种还款方式：（）等额本息还款法：分10次等额归还，年利 率为4%，按复利计算，每年年初还款一次；（）等额本金还款法：每年年初还本金1万元，并加付欠款的利息，年利率为5%；请问：他用哪一种还款方式比较合算？(1)解法1:设每年还款m元.1051.0410=m(1+4%)9+m(1+4%)8+m(1+4%)7 +m =m(1.049+1.048+1.047 +1.04+1)=解得 m=12330 (元)即每年需还款12330元.实际房款为1233010=123300元(2)设每年交付欠款的数额顺次构成数列an，故a1=104+1050.05=15000(元)a2=104+(105-104)0.05=14500(元)a3=104+(105-1042)0.05=14000(元)a4=104+(105-1043)0.05=13500(元)an=104+105-104(n-1)0.05=15500-500n (1n10,nN)an 是以15000为首项,-500为公差的等差数列.10次分期付款总和为(元)还款方式等额本息还款法等额本金还款法原欠款总额100000元100000元年利率4%5%计息方式 复利欠款利息（单利）每年还款额12330元（等额）不等额（逐渐减少）实际购房款123300元127500元(比较两种还款法的具体情况):应选择()