第四章-磁体中的能量ppt课件.ppt

铁磁性物质中磁畴的形成与具体的磁畴结构都与铁磁体内存在的相互作用能量有关。铁磁体中的各种相互作用能量是研究铁磁体的磁畴理论与技术磁化理论的基本出发点，所以讨论与了解铁磁体中各种能量是学好现代磁性物理中磁畴结构与技术磁化理论的关键。第四章第四章 磁性体中的能量磁性体中的能量第一节第一节 铁磁体内的相互作用能铁磁体内的相互作用能结束放映结束放映第三节第三节 磁晶各向异性能磁晶各向异性能第四节第四节 磁致伸缩磁致伸缩 习题四习题四第二节第二节 交换能交换能第五节第五节 磁弹性能磁弹性能第六节第六节 静磁能静磁能 在铁磁体内表现为五种主要的相互作用：交换能交换能（Fex）：电子自旋间的交换相互作用产生的能量 磁晶各向异性能磁晶各向异性能（Fk）：铁磁体内电子自旋之间及自旋与轨道之间的耦合作用 所产生的能量。磁弹性能磁弹性能（）：铁磁体内磁性与弹性相互作用而引起的磁弹性能量（又 称磁弹性应力能，简称磁应力能）。退磁场能退磁场能（Fd）：铁磁体与其自身的退磁场之间的相互作用能 外磁场能外磁场能（FH）：铁磁体与外磁场之间的相互作用能。第一节第一节 铁磁体内的各种相互作用能铁磁体内的各种相互作用能 其中，交换能是具有静电性质的相互作用能，而其余四种则是与磁的相互作用有关的能量。因此，铁磁体中，单位体积内的总自由能或总能量F表示为：F代表了单位体积中铁磁体内部存在的各个元磁矩之间及其与外磁场的相互作用能。在第三章中，已经知道铁磁体内相邻原子的自旋间的交换能为：由于是近程作用，可设第i个原子与其近邻原子的交换积分相同，即AijA，对于同种原子的电子有SiSjS第二节第二节 交换能交换能 交换能增量（即自旋由完全平行夹角为 时的交换能增加）为：一、交换能的微分形式 在实际应用中，为计算方便，常将 化为连续函数形式。单位体积内交换能增量单位体积内交换能增量（即交换能增量密度交换能增量密度）简单立方：体心立方：面心立方：六角晶系：为自旋矢量相对于x、y、z轴的方向余弦为单胞中原子数，随晶格结构而异。具有微分形式的交换能表达式在研究磁畴结构中更加方便。二、交换能的物理意义1、第三章中，我们已经从量子力学的计算中证明了原子间的相互作用是铁磁物质自发磁化的起源。根据交换能的微分形式，可以对其物理意义作进一步的讨论。2、铁磁体中自旋不完全平行时，自旋取向梯度函数3、当不考虑自旋轨道耦合时，铁磁体中交换相互作用仅仅只依赖于相邻原子自旋间的夹角，而与自旋取向无关。所以交换能是各向同性各向同性的。一、磁晶各向异性的宏观描述单晶体：原子离子按同一方式有规则地周期性排列组成的固体。多晶体：由许多取向不同的单晶体组成的固体。1、Fe、Co、Ni单晶的磁化曲线单晶的磁化曲线（如图P158 Fig.4-1）三种单晶体沿不同晶轴方向磁化可以得到不同的磁化曲线（这种特性称为磁晶各向异性磁晶各向异性，是铁磁单晶体的一种普遍属性），而且沿不同的晶轴方向磁化到饱和的难易程度相差甚大。第三节第三节 磁晶各向异性能磁晶各向异性能易磁化方向与难磁化方向易磁化方向与难磁化方向 易磁化方向是能量最低的方向，所以自发磁化形成磁畴 的磁矩取这些方向，在较弱的H下，磁化就很强甚至饱和。铁（铁（a a）单晶体的磁化曲线）单晶体的磁化曲线NiNi（b b）单晶体的磁化曲线）单晶体的磁化曲线CoCo（a a）单晶体的磁化曲线）单晶体的磁化曲线易磁化轴与难磁化轴：Fe：易轴 100，难轴 111 Ni：易轴 111，难轴 100 Co：易轴 0001，难轴 10102、磁化功磁化功铁磁体磁化时所需要的磁化能 沿铁磁晶体不同的晶轴方向上，磁化到饱和时所需要的磁化能不同：上式表明：铁磁体从退磁状态磁化到饱和状态时，所需要的磁化能在数值上等于磁化曲线与纵轴之间所包围的面积。3、磁晶各向异性能磁晶各向异性能 定义：饱和磁化强度矢量在铁磁体中取不同方向而改变的能量。只与磁化强度矢量在晶体中相对的取向有关。在易磁化轴 上，磁晶各向异性能最小，Ms与磁畴取向它最稳定。定义为：单位体积的铁磁体沿111轴与沿100轴饱和磁化所耗费的能量差。Fe：K0，Ni：K0对于六角晶体：4、磁晶各向异性常数磁晶各向异性常数（用以表示单晶体磁各向异性的强弱）对于立方晶体：二、磁各向异性类型二、磁各向异性类型按其起源物理机制可分为：1.磁晶各向异性磁晶各向异性：磁性单晶体所固有的。2.磁形状各向异性磁形状各向异性：反映沿磁体不同方向磁化与磁体几何形状有关的特性。磁矩取向一致退磁场退磁场能(取决于磁体的几何形状，如：细长微粒组成的磁体、磁性薄膜）显出很强的形状各向异性。3.磁应力各向异性磁应力各向异性：反映磁体内自发磁化强度的方向与应力方向有关的特性。4.交换磁各向异性交换磁各向异性：将强磁性的Co微粒表面进行微弱氧化，形成薄层CoO，由于Co是铁磁性的，而CoO是反铁磁性的，在Co与CoO界面就有交换作用，当磁场热处理后，由此引起交换各向异性（做成磁带，录音效果好）。CoO薄膜Co包Co粒子5.感生磁各向异性感生磁各向异性：许多铁磁性合金与铁氧体中，通过对磁体施以某种方向性处理的工艺，可以感生出磁各向异性。感生磁各向异性又可分为：磁场热处理感生各向异性 弹性形变感生各向异性 生长感生各向异性 辐照感生各向异性三、磁晶各向异性能的数学表达式 从宏观晶体对称性出发，磁晶各向异性可分为单轴型和多轴型两类。Fk的数学表达式应具有两个重要物理思想：1.由于Fk是依赖于铁磁体内自发磁化强度矢量铁磁体内自发磁化强度矢量Ms对晶轴所取对晶轴所取的方向的方向，故可以Fk表示成Ms对晶轴方向余弦i的函数关系，即：2.由于晶体的宏观对称性，当Ms处于晶体对称位置时处于晶体对称位置时i可能可能改变符号，但改变符号，但Fk在对称位置上是不变的在对称位置上是不变的。1933年阿库诺夫首先从晶体的对称性出发将Fk用磁化矢量的i表示出来，这种方法虽然是唯象的，但很简单明白，常用于计算磁化曲线，而且被实验所证明。（一）、立方晶体的磁晶各向异性能（Fe、Ni、尖晶石）设铁磁体为未变形的理想晶体可将Fk展开成 的幂级数形式。X100X100 由图可以看出，x、y、z三个坐标轴不论是正反两个方面或者是其中任意两个坐标互换，而 总是保持不变。上式中只能出现 的偶次函数关系，并且为轮换对称。可将B3、B5项并入B0及B6项 最后，立方晶体的磁晶各向异性能 的数学表达式为：一般在考虑Fk相对于Ms取向变化时，常将K0略去：其中：K1、K2为磁晶各向异性常数，磁性材料特性参数之一。其大小表征磁性材料沿不同方向磁化至饱和时磁化功的差异。讨论：1、沿100方向（x轴）磁化2、沿110轴磁化：3、沿111轴磁化：Fe：易轴100，难轴111 Ni：易轴111，难轴100可见K1、K2的符号变化反映了晶体易磁化方向的不同的符号变化反映了晶体易磁化方向的不同。矢量图可直观反映磁晶各向异性能在各个方向上的变化情况：可见立方晶体的易磁化轴在几个晶轴方向上，所以立方晶体具有多易磁化轴简称多轴各向异性多轴各向异性。K10的立方晶体叫三易磁化轴晶体；K10的六角晶体00011010Fku六角晶体中磁晶各向异性能一般表示为：2、Ku10,Ku1+Ku2 0）垂直于0001的平面：平面型 (0001)面内 （Ku1-Ku2 或Ku12Ku2）与0001轴成 角的圆锥面：锥面型 （0 Ku1 2Ku2)P169表44给出了各种铁磁材料在室温下的磁晶各向异性常数，反映了如下特点：晶体对称性高的K1值低，反之也然。在晶体结构相同的材料中，K1值的正负代表相反的磁晶各向异性，K1 0的晶体的易磁化轴是K1 0且值较大。所以少量Co铁氧体与其他尖晶石铁氧体构成的复合铁氧体具有较低的K1值。一般而言，随着T的升高，K1、K2下降（Ni除外）。的两种材料 按一定比例混合，从而使K10。这样可提高材料 的软磁性能。一般来说，磁晶各向异性常数大的物质，适于作永 磁材料，磁晶各向异性常数小的物质，适于作软磁 材料。在材料制备过程中，可有意识地将所有晶粒的易磁 化方向都排在某一特定方向，从而使该方向的磁性 显著提高。四、磁晶各向异性的来源 关于磁晶各向异性的微观起源的理论研究，几乎与自发磁化的量子理论同时开始，早在1931年就有布洛赫与金泰尔、阿库诺夫、范弗列克、冯索夫斯基和布鲁克斯等人的工作，近期有曾纳、凯弗、沃尔夫以及芳田与立木等人的工作。其具体模型可分为两大类：以能带理论为基础的巡游电子模型以能带理论为基础的巡游电子模型 可用来解释3d铁族及其合金的磁晶各向异性。（由于 铁族金属离子状态过于复杂，其交换作用本身尚未得 到满意的解释，故这方面进展缓慢。）以局域电子为基础的单离子模型与双离子模型以局域电子为基础的单离子模型与双离子模型 适用于铁氧体和稀土合金 单离子模型：等效的异性自旋哈密顿量。双离子模型：包括磁偶极矩相互作用以及各向异性交换 作用。(一)、双离子模型 1、磁偶极矩相互作用 按经典理论，电子自旋之间的磁相互作用能为：这是一种长程作用，Em随rij的变化比较缓慢当Si与Sj平行取向时：对于均匀磁化的立方晶体该项能量是与方向无关的常量。对于单轴晶体，该项能量与方向有关。但对于某些铁磁体而言，该能量数量级太小，不足 以完全解释观察到的磁晶各向异性。如：MnBi合金的 Fk ，而 其 磁 偶 极 矩 间 相 互 作 用 能 仅 有2、各向异性交换作用 离子间的各向异性交换作用产生于电子的自旋轨道耦合与各向同性的海森堡交换作用的联合效应。故只能把磁偶极矩相互作用视为产生磁晶各向异性的原因之一。在电子自旋的相互作用中，除了各向同性的交换作用外，还要受电子自旋矩与轨道矩之间的耦合作用的影响。分布于晶格上的原子或离子，由于受到领近原子的电场作用，使电子轨道矩失去了在空间的方向对称，通过电子自旋矩与轨道矩的耦合作用，便产生了电子自旋间各向异性的交换作用能。范弗列克称之为“准偶极矩相互作用”或“各向异性交换作用”，具体模型为“自旋轨道晶体电场轨道自旋自旋轨道晶体电场轨道自旋”的相互作用。磁化垂直与原子排列成的直线。电子云交叠区大，交换作用强。磁化垂直与原子排列成的直线。电子云交叠区大，交换作用强。磁化沿原子排列成的直线方向。电子云交叠区小，交换作用弱。磁化沿原子排列成的直线方向。电子云交叠区小，交换作用弱。自旋取向不同，交换相互作用能大小不同。自旋取向不同，交换相互作用能大小不同。Kittle模型形象地表示：模型形象地表示：各向异性的交换相互作用各向异性的交换相互作用是导致磁晶各是导致磁晶各向异性来源的微观机理。向异性来源的微观机理。这是一种近程作用，其能量随rij的增大而迅速降低。这个能量表达式与磁偶极矩作用能类似，可写为：利用各向异性交换作用可定性解释某些单轴铁磁晶体的 磁晶各向异性。如：Co：计算值：实验测定：对于立方晶体，上式仍不随方向变化，需要考虑准四极 矩相互作用能，其中与方向有关的部分为：（二）、单离子模型(等效的异性自旋哈密顿量）这是由于磁性离子本身的自旋轨道耦合作用与晶体场的联合效应所产生的磁晶各向异性。在离子化合物（如铁氧体）中，磁性离子被非磁性离子隔开，因此磁性离子间的各向异性交换作用较弱，不足以产生强的磁晶各向异性。但磁性离子受到很强的晶场作用，使磁电子的状态发生变化，造成轨道动量矩“部分冻结”，未被冻结的那一部分轨道动量矩受晶场的作用被固定于某些特定的方向上，通过自旋轨道耦合，使自旋磁矩在空间的方向受到约束，从而造成各向异性。因此这种各向异性在很大程度上决定于磁性这种各向异性在很大程度上决定于磁性离子在晶体电场中轨道的冻结状况以及离子在晶体电场中轨道的冻结状况以及SL耦合强度；即决耦合强度；即决定于自由离子的电子数、电子组态和晶体电场的对称性和强度。定于自由离子的电子数、电子组态和晶体电场的对称性和强度。在单离子模型中，磁晶各向异性能来源于每一个磁性离子的磁晶各向异性能 。例：具有6个3d电子Fe2+在Fe3O4的晶体电场中能级分裂后，基态为单重态且轨道动量矩完全冻结，则一级近似的SL耦合作用为零，这时的各向异性来自SL耦合作用能的高级微扰。具有7个3d电子Co2+在CoFe2O4的晶体电场中能级分裂后，基态为双重态，轨道动量矩未被完全冻结，在基态时存在较强的SL耦合作用，一级微扰计算可得到较高的磁晶各向异性能。由此可知，在八面体结构中，Co2+比Fe2+导致了更高的各向异性。结论：轨道未被完全冻结的磁性离子，对磁的各向异性有较大的贡献。掌握掌握 表示第i个次晶格的磁性离子的 平均自旋方向与晶位对称轴之间的夹角。角标i表示离子所处的晶位 j表示离子所处的量子状态 显然，离子的各向异性能应为等效的异性自旋哈密顿量与分子场哈密顿量之和的本征值，而一旦求出 便可用波尔兹曼统计分布而求出系统的各向异性自由能。理论与实验表明：铁氧体的磁晶各向异性主要来源于“单离子”机制，各向异性的交换作用以及磁偶极矩作用是次要的。近10年来，单离子模型在计算稀土合金中稀土离子的各向异性方面也取得了很大的进展。稀土族离子具有较强的S-L耦合作用以及较弱的晶体电场作用，在计算时应以晶体电场为微扰作用，其磁晶各向异性较强。目前这一理论已经日趋成熟，并得到日益广泛的应用。一、磁致伸缩现象与磁致伸缩系数 1、定义：铁磁晶体在外磁场中磁化时，其形状与体积发生变 化，这种现象叫磁致伸缩。体积磁致伸缩体积磁致伸缩：铁磁体被磁化时其体积大小的相对变化。纵向磁致伸缩纵向磁致伸缩：沿磁场方向尺寸大小的相 对变化。横向磁致伸缩横向磁致伸缩：垂直于磁场方向尺寸大小 的相对变化。线磁致线磁致伸缩伸缩第四节第四节 磁致伸缩磁致伸缩a、磁致伸缩的三种表现：b、磁致伸缩效应与磁化过程有一定的联系 体积磁致伸缩只有在铁磁体技术磁化到饱和以后的顺磁过程才能明显表示出来，因此，磁致伸缩的讨论将主要限于线磁致伸缩线磁致伸缩（简称为磁致伸缩）。磁致伸缩的逆效应是应变影响磁化应变影响磁化铁磁体的压磁现象。2、磁致伸缩系数 磁致伸缩的大小与外磁场的大小有关：在外磁场H达到饱和磁化场时，纵向磁致伸缩为一确定值s (饱和磁致伸缩系数)。a、各种材料的s是一定的，但不同的材料其s是不同的。b、，正磁致伸缩：沿H方向伸长，沿垂直于H方向缩短。如：Fe ，负磁致伸缩：沿H方向缩短，沿垂直于H方向伸长。如：Ni 3、对P196 表45的说明：室温下单晶体在不同晶轴方向s不同，说明单晶体的 磁致伸缩具有各向异性：;也 说 明 磁 致 伸 缩与磁晶各向异性相关联的，通常是磁晶各向异 性较 弱时，s也较小。对铁氧体而言，除Fe3O4 的 外，其余的 材料的成分对s影响很大 含Co 的合金与铁氧体，其 很大，CoFe2O4有较大 的负s值。c、s的数量级：，达到 就称为巨磁致伸缩材料。4、s与T的关系：s随T的不同而变化，是温度的函数关系：TTc时，磁致伸缩消失即 。二、磁致伸缩来源 磁致伸缩是一个相当复杂的现象，不仅与磁场强度有关，而且与测量方向有关：从自由能极小的观点来看，磁性材料的磁化状态发生变化时，其自身的形状与体积都会改变，因为只有这样才能使系统的总能量最小。（即磁致伸缩是由自旋与轨道耦合能和物质的磁致伸缩是由自旋与轨道耦合能和物质的弹性能平衡而产生弹性能平衡而产生）有三个原因导致样品的形状与体积的改变：1、自发形变自发形变（自发的磁致伸缩）由交换作用引起：假设一单畴晶体，在 TTc 时是球形，当它从Tc 以上冷却下来后，由于交换作用力使晶体自发磁化，与此同时，晶体也就改变了形状“自发”的变形。由 交 换 积 分A对 的 关 系 曲 线 即Slater Betle曲线可以说明：a、当铁磁体Au曲线处于横轴上方上升段时：设球形晶体中在Tc以上原子间距为a1，对应A1，降至 Tc以下后，原子间距为a2，对应A2，由图知A2A1,由 知：Eex2a1，尺寸增大b、同理，若铁磁体的A与u的关系处于下降的一段的话，则铁磁体从顺磁状态转变为铁磁状态时，尺寸将缩 小2、场致形变场致形变（场致伸缩）当磁场比饱和磁化场Hs小时(HHs时，样品的形变主要为体积磁致伸缩。体积磁致伸缩在HHs才发生，此时样品内的MMs，而饱和磁化强度Ms的产生及变化是与交换作用有关的。故体积体积磁致伸缩是与交换作用有关的，故为各向同性，而线磁致伸磁致伸缩是与交换作用有关的，故为各向同性，而线磁致伸缩的原因是轨道耦合与缩的原因是轨道耦合与SL耦合相叠加的结果，因而是各向耦合相叠加的结果，因而是各向异性的。异性的。3、形状效应形状效应 对于一个球形单畴晶体，设其内部无交换作用与SL耦合作用，而只有退磁场能 ，为降低此退磁场能，样品体积要缩小；并且在磁化方向要伸长（球形椭球形），以减小退磁因子N。三、自发形变对磁晶各向异性能的影响（实际晶体）前面讨论的Fk的表达式，只考虑了理想晶体的情形，Fk只与 有关，对于实际的铁磁晶体，由于存在自发形变，所以Fk与Ms的取向 以及晶体的形变Aik有关。当不考虑应力的影响，只考虑自发磁化引起的自发形变 时，则铁磁体广义磁晶各向异性能为：四、磁致伸缩的计算(一)、立方晶体的磁致伸缩唯象表述xyzP0(x0,yo,z0)r0P(x,y,z)r1、当磁化矢量Ms相对于晶轴方向余弦为 时，铁磁体在 方向上测量的磁致伸缩为：x100y010z0012、磁化方向与测量方向一致时，立方单晶体沿100磁化至饱和时，可见，立方晶体的磁致伸缩为各向异性，立方单晶体沿111磁化至饱和时，为磁化方向与测量方向的夹角，即是沿H的方向的 。以上公式只适用于一个饱和磁化的单晶体或磁畴内部（饱和磁化在一个方向）3、立方单晶体的 的计算公式（阿库洛夫公式）：讨论：a、假设磁致伸缩为各向同性的，掌握掌握 说明外场方向的磁致伸缩系数即为多晶体的磁致伸缩系数。b、对多晶体的磁致伸缩说明多晶体的磁致伸缩是由各个不同取向的晶粒统计平均而得。c、多晶体的磁致伸缩系数与其单晶体的磁致伸缩系数之间的关系：掌握掌握对c的关系式的证明：由于实验中在磁场方向测量 ，故在多晶体的各晶粒中，测量方向即磁化方向。由阿库洛夫公式可得单个晶粒的磁致伸缩系数为：利用：xyz变换形式d、对多晶体(二)、六角晶系的饱和磁致伸缩系数1、易磁化轴为0001。2、易磁化轴位于六角平面R2，R3，R4，R5为与材料有关的常数。第五节第五节 磁弹性能磁弹性能 外应力：一般包括外加应力与晶体内部由于制备工艺或材料 加工与热处理等工艺过程中留下来的残余内应力。铁磁体在受到外应力的作用时，晶体中将发生相应的形变，此时晶体的能量除了由于自发形变引起的磁弹性能（归入广义的磁晶各向异性能中）外，还有因外应力而产生的非自发形变引起的磁弹性能量（即磁应力能）。设外应力张量 为外应力强度为 的方向余弦，晶体的总形变张量为：受外应力作用的Fk受外应力作用的应力能总自由能为：当 一定时，平衡状态下有：表明铁磁晶体在受到外力作用时，其能量相当于在自发形变的磁晶各向异性能基础上再叠加一项与应力作用有关的磁弹性能 。应力各向异性能 的表达式为：掌握掌握应力对自发磁化强度矢量的影响：b)外应力对Ms的取向将产生影响，使得Ms取向不能任意。若只有应力作用，则视 的正负不同，磁化强度必须在与应力平行或垂直的方向上。这种由应力而产生的各向异性应力各向异性。在改善材料的磁性能时，必须考虑这种效应。（具有单轴各向异性）c)磁化过程中，应力对磁化进程可起到促进或阻碍作用。但H=0时应力不会导致宏观磁性。第六节第六节 静磁能静磁能静磁能（磁场作用能）：铁磁体与磁场间相互作用能量。静磁能的分类：v 外磁场能：铁磁体在外磁场中被磁化，铁磁体与外磁 场间的相互作用能量。v 退磁场能：铁磁体与其自身所产生的退磁场之间的相 互作用能（去磁场能）。一、外磁场能F FH 1、外场对Ms取向有重要作用：2、H=0FH=0，铁磁体处于宏观退磁状态宏观退磁状态，对外不显示磁性，此时铁磁体内部的Ms分布完全受其它能量，如磁晶各向异性能、应力各向异性能、交换能以及退磁场能的最小值条件决定。3、当H0时，铁磁体被磁化，宏观上显示出磁性，所以外磁场是铁磁体磁化的动力。(二)、退磁场能Fd 单位体积中退磁场能：1、适用条件：材料内部均匀一致，在均匀外场中被均匀磁化。2、形状不同N不同Fd不同 Fd是形状各向异性。3、对磁化均匀的磁体，若知道N与M就可求出Fd。二、退磁场能Fd（一）、退磁场的产生 非闭合磁路或有限几何尺寸的铁磁体被磁化后，其本身的两端面上将会分别产生正负磁荷，在其内部产生一磁场Hd，与M相反，起减退磁化的作用退磁场。Hd 的大小与铁磁体形状及磁荷数量有关。由于磁荷是M产生的，故Hd与M有关。（Hd NM）(三)、Fd与Hd的表示 1、椭球体 选取坐标轴x，y，z与其三个主轴a，b，c重合，均匀磁化强度M沿三个主轴方向分量为Mx，My，Mz，相应于三个主轴方向的退磁因子为Nx，Ny，Nz 2、球状磁体3、无限细长圆柱体4、无限大的薄片设D为正（负）磁荷带条的宽度（即磁畴宽度），铁磁晶体表面垂直于Ms方向的单位面积下体积内：5、常见几种Fd 的计算结果 a、平行反向磁化区域分布的表面退磁场能（片型畴）：DMsb、棋盘式磁化区域分布的Fd D为磁化区域的宽度 DMs11c、圆阵式磁化区域分布(或叫蜂窝状磁畴结构)的Fd D 为圆阵式点阵距离MsD MsRd、铁磁体内空泡或杂质处的Fd 在空泡或杂质处的Fd恰好与一个均匀磁化 的球体在空间所产生的退磁场能相同，此时 球体已被均匀磁化到一个方向（N1/3）+若球处于反平行均匀磁化情形时：可见：两个半球的反平行磁化区域具有的退磁场能相对于上面的一个球体的退磁场能，大约降低了一半左右。MsMsP219：4.2、4.4、4.5、4.6、4.8.习题习题四四