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线性二次型线性二次型(LQ)最优控制最优控制问题问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题包含的主要内容：包含的主要内容：线性二次型问题线性二次型问题 状态调节器状态调节器 输出调节器输出调节器 跟踪器跟踪器线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型问题线性二次型问题状态方程为状态方程为线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题性能指标的物理含义性能指标的物理含义两个积分项相互制约，应折中处理两个积分项相互制约，应折中处理线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题加权矩阵的选取加权矩阵的选取线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型的三种情形线性二次型的三种情形线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题状态调节器状态调节器有限时间状态调节器有限时间状态调节器物理意义物理意义线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题应用极小值原理求应用极小值原理求u(t)的表达式的表达式R(t)正定，保证其逆阵的存在规范方程组：写成矩阵形式：其解为：线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题横截条件给出了终端时刻二者的关系：横截条件给出了终端时刻二者的关系：为了与（为了与（6 6）建立联系，将（）建立联系，将（5 5）写成向）写成向终端终端转移形式：转移形式：线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题（9 9）-（8 8）*F F 可得可得线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题最优线性反馈控制最优线性反馈控制求解P(t),但直接利用式（12）求解，涉及矩阵求逆，运算量大线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题应用性质求解应用性质求解P（t）（1313）对时间求导）对时间求导（15）与（16）相等，可得边界条件：线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题最优性能指标为：最优性能指标为：黎卡提方程求解问题：黎卡提方程求解问题：（1 1）可以证明，可以证明，P(t)P(t)为对称矩阵，只需求解为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2n(n+1)/2个一阶微分个一阶微分 方程组。方程组。（2 2）为）为非线性非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值 解。解。线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题（1 1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,RF,Q,R（2 2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t)P(t)（3 3）求反馈增益矩阵）求反馈增益矩阵K(t)K(t)及最优控制及最优控制u u*(t)(t)（4 4）求解最优轨线）求解最优轨线x x*(t)(t)（5 5）计算性能指标最优值）计算性能指标最优值状态调节器的设计步骤状态调节器的设计步骤线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题例例线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题利用利用MATLABMATLAB求解求解线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题利用利用MATLABMATLAB求解求解线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题性能指标中的参数的影响性能指标中的参数的影响-r变化的影响变化的影响线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题性能指标中的参数的影响性能指标中的参数的影响-tf 变化的影响变化的影响线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题状态调节器状态调节器无限时间状态调节器无限时间状态调节器 设线性定常系统的状态方程为设线性定常系统的状态方程为 假设控制向量假设控制向量 不受约束不受约束 ，求最优控制，求最优控制 ，使系统的二次型性能指，使系统的二次型性能指标取极小值标取极小值。说明：说明：1 1）要求）要求系统完全能控。系统完全能控。2 2）F=0F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应人们所关心的总是系统在有限时间内的响应线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题最优轨线满足下列线性定常齐次方程：最优轨线满足下列线性定常齐次方程：性能指标最优值性能指标最优值 可以证明：可以证明：P P为正定常数矩阵为正定常数矩阵，满足下列黎卡提，满足下列黎卡提矩阵代数方程矩阵代数方程可以证明：可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题例例已知二阶系统的状态方程为已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式二次型性能指标为：二次型性能指标为：验证系统能控性验证系统能控性线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题展开整理得到三个代数方程展开整理得到三个代数方程 P P满足下列黎卡提矩阵代数方程：满足下列黎卡提矩阵代数方程：系统完全能控，且系统完全能控，且Q,RQ,R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一解之解之线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题利用矩阵利用矩阵P P正定的性质正定的性质用反证法证明用反证法证明 不是所求的根不是所求的根利用矩阵利用矩阵P P正定的性质正定的性质线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题最优控制为：最优控制为：与给定条件与给定条件 矛盾，故假设矛盾，故假设 不成立不成立线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题最优状态调节器系统结构图最优状态调节器系统结构图线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题输出调节器输出调节器线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题输出调节器输出调节器-有限时间调节器有限时间调节器设线性时变系统的状态方程为设线性时变系统的状态方程为 假设控制向量假设控制向量 不受约束不受约束 ，求最优控制，求最优控制 ，使下列二次型性能指，使下列二次型性能指标最小。标最小。物理意义物理意义：以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。：以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。根据系统能观条件，输出调节器问题可根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题转化为状态调节器问题 线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题 将（将（2 2）代入（）代入（3 3）可以证明，如果可以证明，如果系统完全可观测系统完全可观测，则，则 是是半正定半正定的。的。若若 是半正定的，则转化为状态调节器问题。最优控制为：是半正定的，则转化为状态调节器问题。最优控制为：线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题有限时间最优输出调节器系统结构图有限时间最优输出调节器系统结构图线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题输出调节器输出调节器-无限时间调节器无限时间调节器设线性定常系统的状态方程为设线性定常系统的状态方程为 假设控制向量假设控制向量 不受约束不受约束 ，求最优控制，求最优控制 ，使下列二次型性能指，使下列二次型性能指标最小。标最小。与无限时间状态调节器问题类似，最优控制为：与无限时间状态调节器问题类似，最优控制为：线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题例例已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。求使性能指标为极小值时的最优控制。解：解：二次型性能指标为：二次型性能指标为：验证系统能控性验证系统能控性验证系统能观性验证系统能观性系统完全能控系统完全能控 且完全能观且完全能观线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题展开整理得到三个代数方程展开整理得到三个代数方程 P P满足下列黎卡提矩阵代数方程：满足下列黎卡提矩阵代数方程：故最优控制为：故最优控制为：利用矩阵利用矩阵P P正定的性质正定的性质线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题A=0 1;0 0B=0;1C=1 0D=0sys=ss(A,B,C,D)Q=1R=1K=lqry(sys,Q,R,0)线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题跟踪器跟踪器线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题设线性时变系统的状态方程为（系统完全可观测）设线性时变系统的状态方程为（系统完全可观测）假设控制向量假设控制向量 不受约束不受约束 ，用，用 表示期望输出，则误差向量为表示期望输出，则误差向量为 求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。物理意义物理意义：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。线性时变系统的跟踪问题线性时变系统的跟踪问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题应用极小值原理求解应用极小值原理求解u（t）的表达式的表达式规范方程组：规范方程组：因控制不受约束，故沿最优轨线有：因控制不受约束，故沿最优轨线有：线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题写成矩阵形式写成矩阵形式：为非齐次线性时变微分方程，其中右边第二项起着驱动函数的作用。为非齐次线性时变微分方程，其中右边第二项起着驱动函数的作用。横截条件给出了终端时刻二者的关系：横截条件给出了终端时刻二者的关系：其解为：其解为：线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题将（将（1010）代入（）代入（9 9），并化简整理，可得：），并化简整理，可得：应用系统特性求解应用系统特性求解 p(t)，g(t)线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题（11）对时间求导（13）与（14）相等，可得线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题边界条件：边界条件：对所有对所有 均成立，推出：均成立，推出：线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题综上所述，跟踪问题的最优控制规律如下综上所述，跟踪问题的最优控制规律如下：q q 最优跟踪系统最优跟踪系统反馈结构反馈结构与最优输出调节器反馈结构完全相同，与预期与最优输出调节器反馈结构完全相同，与预期输出无关。输出无关。线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题q 最优跟踪系统与最优输出调节器系统的本质差异，反映在最优跟踪系统与最优输出调节器系统的本质差异，反映在 上。上。互为负的转置关系（互为负的转置关系（伴随矩阵伴随矩阵）线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题q 由（21）可知，为了求得 ，必须在控制过程开始之前知道全部 的信息。与 有关，则最优控制的现时值也要依赖于预期输 出 的全部未来值。关键在于掌握 变化规律的方法：预估，随机处理（平均最优）线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题设线性定常系统的状态方程为（系统完全可观、可控）设线性定常系统的状态方程为（系统完全可观、可控）控制向量控制向量 不受约束不受约束 ，用，用 表示期望输出，则误差向量为表示期望输出，则误差向量为 求最优控制求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。，使下列二次型性能指标最小。线性定常系统的跟踪问题线性定常系统的跟踪问题当当 足够大且为有限值时，可得出如下近似结果：足够大且为有限值时，可得出如下近似结果：线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题例例已知一阶系统的状态方程：求使性能指标为极小值时的最优控制。解：二次型性能指标为：其中p(t)，g(t)为下列方程的解：线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题仿真结果：给定阶跃输入仿真结果：给定阶跃输入线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题仿真结果：给定正弦输入仿真结果：给定正弦输入线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题应用应用MATLAB求解线性二次型最优控制问题求解线性二次型最优控制问题 在在MATLAB工具箱中，提供了求解连续系统工具箱中，提供了求解连续系统二次型最优控制的函数：二次型最优控制的函数：lqr()、lqr2()、lqry()。其调用格式为：其调用格式为：所用算法不同。Lqr采用特征值分解，lqr2采用Schur分解算法，具有较高数值计算可靠性线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题状态调节器利用MATLAB求解状态调节器状态调节器增加状态与控制交叉约束矩阵增加状态与控制交叉约束矩阵线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题65 线性系统理论基础线性系统理论基础 龚道雄龚道雄 线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题n应用应用MATLAB A=0,1;0,0;B=0;1;Q=eye(2,2);R=1;K,P,E=LQR(A,B,Q,R)K=1.0000 1.7321P=1.7321 1.0000 1.0000 1.7321E=-0.8660+0.5000i -0.8660-0.5000iK,P,E=LQR(A,B,Q,R)最优控制律最优控制律 U=Kx;代数代数Riccati方程的解方程的解 P;eig(A-B*K)的特征值的特征值 E.离散系统线性二次型最优控制离散系统线性二次型最优控制线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题 假设完全可控离散系统的状态方程为：假设完全可控离散系统的状态方程为：要寻求控制向量要寻求控制向量 使得二次型目标函数使得二次型目标函数为最小。为最小。QQ为半正定实对称常数矩阵；为半正定实对称常数矩阵；R R为正定实对称常数矩阵为正定实对称常数矩阵线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题n从从上上面面的的推推导导可可知知,离离散散系系统统的的定定常常调调节节器器问问题题的的最最优优控控制制u*(k k)是是状状态态变变量量x(k k)的的线线性性反反馈馈,其其中中r rn n维维矩矩阵阵K K称称为为最最优优定常状态反馈增益矩阵。定常状态反馈增益矩阵。uK只与只与G,H,Q和和R有关有关,与系统的状态与系统的状态x(k)无关。无关。u因因此此,由由最最优优状状态态反反馈馈律律实实现现闭闭环环控控制制时时,可可事事先先离离线线计计算算出出K,然后可实现定常的最优状态反馈律。然后可实现定常的最优状态反馈律。n与与解解线线性性定定常常连连续续系系统统的的定定常常状状态态调调节节器器问问题题的的黎黎卡卡提提矩矩阵阵型型代代数数方方程程相相对对应应的的,矩矩阵阵型型代代数数方方程程称称为为离离散散形形式式的的黎黎卡卡提矩阵型代数方程。提矩阵型代数方程。u可可以以证证明明,若若线线性性定定常常离离散散系系统统是是状状态态能能镇镇定定的的,矩矩阵阵代代数数方程的解方程的解P至少为非负定的。至少为非负定的。线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题应用应用MATLABMATLAB求解离散线性二次型问题求解离散线性二次型问题线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题线性二次型线性二次型 控制实例控制实例二维空间中的独轮机器人的二维空间中的独轮机器人的LQLQ控制控制：已知该机器人动力学模型：假设 在一个较小的范围内变化，则可线性化为：即：线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题二维空间中的独轮机器人的二维空间中的独轮机器人的LQLQ控制控制：设：可得：标准的状态空间形式的系统方程，其中的控制量 u(t)=Fx。同时考虑倾角 和位移 xLQR 的设计需要基于线性模型线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题二维空间中的独轮机器人的二维空间中的独轮机器人的LQLQ控制控制：二维空间中的独轮机器人LQ控制系统结构：其其中中：控控制制量量为为Fx(t)被被控控制制量量为为(t)和和x(t)。可以理解为两个 PD 控制线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题二维空间中的独轮机器人的二维空间中的独轮机器人的LQLQ控制控制：定义线性二次型性能指标：其中设置：控制量加权系数：r=1显然，r与Q只有相对意义上的大小，故将其设置为 1。状态变量加权矩阵：简单起见，设置Q为对角矩阵。平衡控制是主要矛盾，对(q33)和d/dt(q44)加大权。线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题求状态反馈增益矩阵求状态反馈增益矩阵K：（对对于于本本问问题题，由由于于只只有有一一个个控控制制量量，即即u(t)，K为为向向量量；又因为状态向量又因为状态向量x(t)是是4维的，故维的，故K是一个是一个4维向量。）维向量。）将Q和r，以及A和b带入Ricaati方程求解Ricaati方程获得对称正定矩阵P计算线性状态反馈增益向量K：线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题二维空间中的独轮机器人的二维空间中的独轮机器人的LQLQ控制控制：LQ控制仿真试验：设定：q11=q22=5 q33=50 q44=10用Matlab求得K：位置漂移问题得到了很好地解决。超调较大，可能因q33和q44较小。线性二次型线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制问题二维空间中的独轮机器人的二维空间中的独轮机器人的LQLQ控制控制：LQ控制仿真试验：设定：q11=q22=5 q33=10000 q44=250用Matlab求得K：增大q33和q44，超调得到了抑制。