第3章 平面力系.ppt

第3章 平面力系 第二章第二章平面汇交力系平面汇交力系第3章 平面力系力力系系平平面面力力系系空空间间力力系系各力的作用线都在各力的作用线都在同一平面内的力系同一平面内的力系称为平面力系。称为平面力系。平面汇交力系平面汇交力系平面平行力系平面平行力系平面力偶系平面力偶系平面一般力系平面一般力系各力的作用线不都各力的作用线不都在同一平面内的力在同一平面内的力系称为空间力系。系称为空间力系。空间汇交力系空间汇交力系空间平行力系空间平行力系空间力偶系空间力偶系空间一般力系空间一般力系作用线汇交作用线汇交于一点于一点平面汇交力系第3章 平面力系平面汇交力系第3章 平面力系平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法 一、平面汇交力系合成的几何法一、平面汇交力系合成的几何法一、平面汇交力系合成的几何法一、平面汇交力系合成的几何法1.1.两个汇交力的合成两个汇交力的合成 obcobc称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。FRF1AF2bco平面汇交力系第3章 平面力系2.2.任意个汇交力的合成任意个汇交力的合成F3F4F1F2FRAaF1bF2cF3dF4e平面汇交力系的合力为平面汇交力系的合力为力的力的多边形多边形的逆封边的逆封边平面汇交力系第3章 平面力系 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，合力作用线通过原力系各力的汇交点。作用线通过原力系各力的汇交点。平面汇交力系第3章 平面力系 例同一平面的三根钢索边连结在一固定环上，如图示，例同一平面的三根钢索边连结在一固定环上，如图示，已知三钢索的拉力分别为：已知三钢索的拉力分别为：F1500N，F21000N，F32000N。试用几何作图法求三根钢索在环上作用的合力。试用几何作图法求三根钢索在环上作用的合力。解解（1）选定力的比例尺如图。）选定力的比例尺如图。（2）作作力力多多边边形形，（先先将将各各分分力力乘乘以以比比例例尺得到各力的长度，然后作出力多边形图）尺得到各力的长度，然后作出力多边形图）。（3）量量得得代代表表合合力力矢矢的的长长度度，则则FR的的实实际值为际值为FR2700N FR的方向可由力的多边形图直接量出，的方向可由力的多边形图直接量出，FR 与与F1的夹角为的夹角为7131。平面汇交力系第3章 平面力系二、平面汇交力系平衡的几何条件二、平面汇交力系平衡的几何条件二、平面汇交力系平衡的几何条件二、平面汇交力系平衡的几何条件平平面面汇汇交交力力系系的的平平衡衡的的必必要要与与充充分分的的几几何何条条件件是是：力力的的多多边边形形自自行行封封闭闭，或或各各力力矢矢的的矢矢量和等于零。量和等于零。用矢量表示为用矢量表示为FR=F=0平面汇交力系第3章 平面力系平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系的平衡条件：力力的的多边形多边形的的自行封闭自行封闭F 5F RF 3F 4F 1F 2AaF 1bF 2cF 3dF 4e平面汇交力系F 5第3章 平面力系 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法一、平面汇交力系的解析法一、平面汇交力系的解析法一、平面汇交力系的解析法一、平面汇交力系的解析法式式中中分分别别为为F F与与x轴轴正正向向所夹的锐角。所夹的锐角。yFFyxba ab1.1.在坐标轴上的投影在坐标轴上的投影 Fx力力的的投投影影由由始始到到末末端端与与坐坐标标轴轴正正向向一一致致其其投投影影取取正正号号，反之取负号。反之取负号。平面汇交力系第3章 平面力系两种特殊情形：两种特殊情形：当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零。影为零。当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于该力的大小。影的绝对值等于该力的大小。平面汇交力系第3章 平面力系力的投影力的投影力的投影力的投影和和力的分量力的分量力的分量力的分量是两个不同的概念。是两个不同的概念。投影是代数量投影是代数量而分力是矢量而分力是矢量投影无所谓作用点投影无所谓作用点分力作用点必须作用在分力作用点必须作用在原力的作用点上原力的作用点上 另外：仅在另外：仅在直角坐标系中直角坐标系中在坐标上的投影的绝对在坐标上的投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。值和力沿该轴的分量的大小相等。平面汇交力系第3章 平面力系已知已知F1=F2=F3=F4=100kN，各力方向如图示，试分别计算在，各力方向如图示，试分别计算在x轴和轴和y轴上的投影。轴上的投影。yOxF26045F130F3F4F1的投影的投影F1x=F1cos450=(1000.707)kN=70.7kN F1y=F1sin450=(1000.707)kN=70.7kN F2的投影的投影F2x=F2cos600=(1000.5)kN=50kN F2y=F2sin600=(1000.866)kN=86.6kN平面汇交力系第3章 平面力系yOxF26045F130F3F4F3的投影的投影F3x=F3cos300=(1000.866)kN=86.6kNF3y=F3sin300=(1000.5)kN=50kNF4的投影的投影F4x=F4cos900=0 F4y=F4sin900=(1001)kN=100kN平面汇交力系第3章 平面力系 平面汇交力系平面汇交力系合力在任一轴上的投影，等于各分力在同合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。2.2.合力投影定理合力投影定理AF2F1(a)F3F1F2FRF3xABCD(b)证明证明：以三个力组成的共点力系为例。设有三个：以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力共点力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如图。如图。平面汇交力系第3章 平面力系合力合力FR在在x 轴上投影：轴上投影：F1F2FRF3xABCD(b)abcd各力在各力在x 轴上投影：轴上投影：推广到任意多个推广到任意多个力力F1、F2、Fn 组成的平面组成的平面共点力系，共点力系，可得：可得：FRx=F1x+F2x+Fnx=Fx平面汇交力系第3章 平面力系3 3用解析法求平面汇交力系的合力用解析法求平面汇交力系的合力式中式中为合力为合力FR与与x轴所夹的锐角。轴所夹的锐角。合力合力FR的大小和方向可由下式确定的大小和方向可由下式确定：AF2F1F3FRxy 平面汇交力系第3章 平面力系平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。合力等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。平面汇交力系第3章 平面力系求平面汇交力系平衡问题的步骤：求平面汇交力系平衡问题的步骤：1)1)选取研究对象；选取研究对象；2)2)作作研研究究对对象象的的受受力力图图。当当约约束束反反力力的的指指向向未未定定时时，可先假设其指向。可先假设其指向。3)3)选选取取适适当当坐坐标标系系。为为简简化化计计算算，尽尽量量使使未未知知力力作作用用线与坐标轴垂直；线与坐标轴垂直；4)4)建立平衡方程，求解未知力。建立平衡方程，求解未知力。列方程时注意各力的列方程时注意各力的投影的正负号。求出的未知力带负号时，表示该力的实际投影的正负号。求出的未知力带负号时，表示该力的实际指向与假设指向相反。指向与假设指向相反。平面汇交力系第3章 平面力系 如图轧路碾子自重P=20 kN，半径 R=0.6 m，障碍物高h=0.08 m碾子中心O处作用一水平拉力F，试求:(1)当水平拉力F=5 kN时，碾子对地面和障碍物的压力；(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)力F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。例题 ROAhFBq第3章 平面力系ABOPFFAFB(b)FPFAFB(c)1.选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条件，力P，F，FA和FB组成封闭的力多边形。由已知条件可求得再由力多边形图c 中各矢量的几何关系可得解得解：解：例题ROAhFB(a)qP第3章 平面力系 2.碾子能越过障碍的力学条件是 FA=0，得封闭力三角形abc。aFFminPFBbc3.拉动碾子的最小力为由此可得例题ABOPFFAFBFPFAFB第3章 平面力系 例例一圆球重一圆球重15kN，用绳索将球挂于光滑墙上，绳与墙，用绳索将球挂于光滑墙上，绳与墙之间的夹角之间的夹角=300,如图如图2-13a所示，求墙对球的约束反力及所示，求墙对球的约束反力及绳索对圆球的拉力绳索对圆球的拉力FT。WoBAFNAFTAOW 解解 取圆球为研究对象，取圆球为研究对象，设直角设直角坐标系如图，列平衡方程坐标系如图，列平衡方程。平面汇交力系Fx=0FN-FTcos600=0 FN=FTcos600=(17.320.5)kN=8.66kNFy=0FTsin600-W=0第3章 平面力系 同时作用在物体上的两个或两个以上的力偶，同时作用在物体上的两个或两个以上的力偶，称为称为力偶系。力偶系。作用在同一平面内的力偶系称为作用在同一平面内的力偶系称为平面力偶系平面力偶系。平面力偶系的合成与平衡条件平面力偶系的合成与平衡条件 平面力偶系第3章 平面力系一、平面力偶系的合成一、平面力偶系的合成一、平面力偶系的合成一、平面力偶系的合成平面力偶系可以合成为一个合平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于平面力偶系中力偶，合力偶矩等于平面力偶系中各个力偶矩的代数和。用式子表示各个力偶矩的代数和。用式子表示为：为：式中式中MR表示合力偶矩表示合力偶矩,表示原力偶系表示原力偶系中各力偶的力偶矩。中各力偶的力偶矩。平面力偶系第3章 平面力系 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和所有各力偶矩的代数和等于零。等于零。二、平面力偶系的平衡条件二、平面力偶系的平衡条件二、平面力偶系的平衡条件二、平面力偶系的平衡条件 对于平面力偶系的平衡问题，利用平衡式可以求解一个对于平面力偶系的平衡问题，利用平衡式可以求解一个未知量。未知量。第3章 平面力系例例如图示的梁如图示的梁AB，受一力偶的作用，已知力偶，受一力偶的作用，已知力偶，M=20kNm，梁长，梁长l=4m,梁自重不计，求梁自重不计，求A、B支座处反力。支座处反力。解解取梁取梁AB为研究对象。为研究对象。梁在力偶和梁在力偶和A、B两处支座反力作用下平衡。两处支座反力作用下平衡。M4mFAyMFBy 平面力偶系第3章 平面力系例例 两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 =1.5KN =1KN,求作用在板上的合力偶矩。18080负号表明转向为顺时针。由式则【解解】第3章 平面力系例例长为 4 m 的简支梁的两端 A、B 处作用有二个力偶矩，各为 。求 A、B 支座的约束反力。()604()第3章 平面力系故解得得FA、FB为正值，说明图中所示F FA 、F FB 的指向正确。作 AB 梁的受力图，如图（b）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A、B 处的约束 反力也必须组成一个同平面的力偶（，）与之平衡。【解解】由平衡方程第3章 平面力系例例如图所示结构ABCD，杆重及摩擦均可不计；在铰链B上作用着力 ，在铰链C上作用着力 ，方向如图。试求当机构在图示位置平衡时 和 两力大小之间的关系。ABCD第3章 平面力系分析铰B有：（1）分析铰C有：（2）由（1）（2）两式得：BCBxyxyC 作B铰、C铰的受力图【解解】第3章 平面力系例例如图所示，机构 ，在图示位置平衡。已知：OA400mm，600mm，作用在OA上的力偶矩之大小 1Nm。试求力偶矩 的大小和杆AB 所受的力F。各杆的重量及各处摩擦均不计。AB第3章 平面力系BAAOB分析OA杆，有分析 杆，有 作AB、AO及 杆的受力图，AB杆为二力构件【解解】第3章 平面力系平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系各各力力作作用用线线在在同同一一平平面面内内且且任任意意分分布布的的力力系系称为称为平面一般力系平面一般力系。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系第一节第一节 平面一般力系向作用面内任一点简化平面一般力系向作用面内任一点简化 一、一、一、一、力的平移定理力的平移定理力的平移定理力的平移定理作用于物体上某点的力可以平移到此物体上的任一点，作用于物体上某点的力可以平移到此物体上的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的。但必须附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的。odAFFFoAFMFF平面一般力系平面一般力系oAF第3章 平面力系 力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力力 力力+力偶力偶 。说明：说明：说明：说明：力力平移的条件是附加一个力偶平移的条件是附加一个力偶M，且，且M与与d有有关，关，M=Fd 力的平移定理是力系简化的理论基础。力的平移定理是力系简化的理论基础。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系 应用力的平移定理时，须注意：应用力的平移定理时，须注意：1）平移力）平移力F的大小与作用点位置的大小与作用点位置无关无关，但附但附加力偶矩加力偶矩M=Fd的大小和转向与作用点的位置的大小和转向与作用点的位置有有关关。O点可选择在物体上的任意位点可选择在物体上的任意位置，而置，而F的大小都与原力的大小都与原力F相同。相同。而附加力偶矩的力臂而附加力偶矩的力臂d 值会因作值会因作用点位置的不同而变化。用点位置的不同而变化。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系2）力的平移定理说明作用于物体上某点的一个力可以和）力的平移定理说明作用于物体上某点的一个力可以和作用于另外一点的一个力和一个力偶等效，反过来也可将同作用于另外一点的一个力和一个力偶等效，反过来也可将同平面内的一个力和一个力偶化为一个合力，这个力平面内的一个力和一个力偶化为一个合力，这个力F与与F大大小相等、方向相同、作用线平行，作用线间的垂直距离为小相等、方向相同、作用线平行，作用线间的垂直距离为平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系二、平面任意力系向作用面内任意一点简化二、平面任意力系向作用面内任意一点简化二、平面任意力系向作用面内任意一点简化二、平面任意力系向作用面内任意一点简化 设刚体受到平面任意力系设刚体受到平面任意力系F1、F2、Fn的作用。取的作用。取O点为点为简化中心简化中心(F1、F2、F3、Fn)(F1、F2、F3、Fn)(M1、M2、M3、Mn)(F FR R,Mo)F1A1A2F2AnFnooxyF2FnF1M1M2Mnoxy平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系汇交于汇交于O点的平面汇交力系点的平面汇交力系F1、F2、Fn且且F1F1、F2F2、FnFn附加力偶系附加力偶系M1、M2、Mn且且M1Mo(F1)、M2Mo(F2)、MnMo(Fn)作用于点作用于点O的的FR力偶力偶MO平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系FRF1+F2+FnF1+F2+FnF主矢主矢主矢主矢 FR称为该力系的称为该力系的主矢主矢，它等于原力系各力的矢量和，它等于原力系各力的矢量和，与简化中心的位置无关。与简化中心的位置无关。式中式中为合力为合力FR与与x轴所夹的锐角。轴所夹的锐角。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系各各附附加加力力偶偶的的力力偶偶矩矩分分别别等等于于原原力力系系中中各各力力对对简简化化中中心心O之矩，即之矩，即MOM1+M2+MnMo(F1)+Mo(F2)+Mo(Fn)原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为原力系对原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为原力系对简化中心的简化中心的主矩主矩。可见在选取不同的简化中心时，每个附加力偶的力偶可见在选取不同的简化中心时，每个附加力偶的力偶臂一般都要发生变化，所以主矩一般都与简化中心的位置臂一般都要发生变化，所以主矩一般都与简化中心的位置有关。有关。主矩主矩主矩主矩MOMO(F)平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系结论：结论：结论：结论：平面任意力系向作用面内任一点简化，可得平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一力和一个力偶一力和一个力偶。这个力的作用线过简化中心，这个力的作用线过简化中心，其力矢等于原力系的主矢；这个力偶的矩等于原其力矢等于原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。力系对简化中心的主矩。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系思考：思考：平面任意力系向不同点（平面任意力系向不同点（O点和点和A点）简化时：点）简化时：1.得到的力是否相同？得到的力是否相同？2.得到的力偶是否相同？得到的力偶是否相同？平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系平面任意力系向平面任意力系向O点简化点简化，一般得一个力和一个力偶。，一般得一个力和一个力偶。可能出现的情况有四种：可能出现的情况有四种：三、三、三、三、简化结果分析简化结果分析简化结果分析简化结果分析 说明原力系可以合成为一个合力偶，合力偶矩说明原力系可以合成为一个合力偶，合力偶矩MO=M0(F)，由于力偶对其平面内任意一点的矩都相由于力偶对其平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。选择无关。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系 说明力系与通过简化中心的一个力等效，即原力系合说明力系与通过简化中心的一个力等效，即原力系合成为一个合力，合力的大小、方向和原力系的主矢成为一个合力，合力的大小、方向和原力系的主矢F FR R相相同，作用线通过简化中心。同，作用线通过简化中心。根据力的平移定理的逆过程，可以将简化结果进一步合根据力的平移定理的逆过程，可以将简化结果进一步合成为一个作用于另一点成为一个作用于另一点0的合力的合力FR。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系合力合力FR的大小和方向与原力系的主矢的大小和方向与原力系的主矢FR相同，而合力作相同，而合力作用线至简化中心的距离用线至简化中心的距离d为为 合力合力FR在在O点的哪一侧，由点的哪一侧，由FR对对O点的矩的转向应与主矩点的矩的转向应与主矩M0的指向相一致来确定。的指向相一致来确定。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系说明力系平衡说明力系平衡。综上所述，不平衡的平面一般力系，其简综上所述，不平衡的平面一般力系，其简化的结果只能是一个力，或是一个力偶。化的结果只能是一个力，或是一个力偶。第3章 平面力系例题 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。F1F2F3F4OABCxy2m3m3060第3章 平面力系求向O点简化结果解：建立如图坐标系Oxy。所以，主矢的大小1.求主矢 。F1F2F3F4OABCxy2m3m3060第3章 平面力系2.求主矩MO由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如右图所示。主矢的方向：合力FR到O点的距离yFROABCxMOdMO第3章 平面力系四、四、四、四、合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理平面一般力系的合力对作用平面内任一点平面一般力系的合力对作用平面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系 解解例例已知已知F1=4kN，F2=3kN，F3=2kN，试求下图中三力，试求下图中三力的对的对O点的力矩及合力对点的力矩及合力对O点的矩。点的矩。第3章 平面力系第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 物体所受的力，往往是分布作用于物体体积内物体所受的力，往往是分布作用于物体体积内（如重力、万有引力等）或物体表面上（如梁上的荷（如重力、万有引力等）或物体表面上（如梁上的荷载、坝或闸门上的静水压力等），前者称为载、坝或闸门上的静水压力等），前者称为体力体力，后，后者称为者称为面力面力。体力和面力都是。体力和面力都是分布力。分布力。沿直线狭长面积分布的平行力通常可以简化成为沿沿直线狭长面积分布的平行力通常可以简化成为沿直线分布的平行力，简称为直线分布的平行力，简称为线分布力线分布力或或线分布荷载线分布荷载。例如：作用于坝上的水荷载和作用于梁上的荷载，例如：作用于坝上的水荷载和作用于梁上的荷载，均为线分布荷载。均为线分布荷载。第3章 平面力系水压力的简化水压力的简化 梁上面力荷载的简化梁上面力荷载的简化 第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 第3章 平面力系表示力的分布情况的图形称为表示力的分布情况的图形称为荷载图荷载图。某一单位。某一单位长度上所受的力，称为分布力在该处的长度上所受的力，称为分布力在该处的荷载集度荷载集度。如。如果分布力的集度处处相同，则该分布力称为匀布力或果分布力的集度处处相同，则该分布力称为匀布力或匀布荷载匀布荷载；否则，就称为；否则，就称为非匀布力或非匀布荷载非匀布力或非匀布荷载。用用q 代表线分布力的集度。集度代表线分布力的集度。集度q 定义为某一微小长定义为某一微小长度度L 上所受的力上所受的力Q 与与L 之比当之比当L0时的极限，时的极限，即即第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 线分布力集度的单位是线分布力集度的单位是N/m、kN/m 等。等。第3章 平面力系则，线段则，线段AB上所受的分布力的上所受的分布力的合力合力Q 的大小的大小为：为：=线段线段ABAB上荷载图的面积上荷载图的面积第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 设图中的设图中的AabB 为直线段为直线段AB上的荷载图。取直角坐上的荷载图。取直角坐标系标系Oxy，使，使y轴平行于分布力。命与原点相距轴平行于分布力。命与原点相距x 处的荷处的荷载集度为载集度为q，则在该处微小长度，则在该处微小长度x 上的力的大小为上的力的大小为Q=qx,亦即等于亦即等于x上荷载图的面积上荷载图的面积A。第3章 平面力系其次求其次求合力合力Q 的作用线的位置的作用线的位置。利用平面力系的。利用平面力系的合力矩定理，可得合力矩定理，可得 第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 综上所述，可知综上所述，可知同向的线分布力的合力的大小等同向的线分布力的合力的大小等于荷载图的面积（注意这一面积具有力的单位），合于荷载图的面积（注意这一面积具有力的单位），合力通过荷载图面积的形心。力通过荷载图面积的形心。如果荷载图的如果荷载图的图形较为复杂图形较为复杂：可分成几个简单的：可分成几个简单的图形，分别求每一简单图形所代表的分布力的合力；图形，分别求每一简单图形所代表的分布力的合力；如果分布力的集度是连续变化的，则可用积分法求其如果分布力的集度是连续变化的，则可用积分法求其合力。合力。可见，可见，xC 就是荷载图面积的形心的坐标。就是荷载图面积的形心的坐标。第3章 平面力系（1）集中荷载的单位，即力的单位为（N,kN)。荷载的单位荷载的单位分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。（2）体分布荷载的单位：（3）面分布荷载的单位：（4）线分布荷载的单位：第3章 平面力系如图所示的均布荷载，其合力为：作用线则通过梁的中点。（1）均布荷载：集度为常数的分布荷载。）均布荷载：集度为常数的分布荷载。分布荷载的计算方法分布荷载的计算方法Fq=10.91kN/m16 m图第3章 平面力系 如图所示坝体所受的水压力为非均布荷载。（2）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。yABC图第3章 平面力系 水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大集度为q，梁长l。试求合力作用线的位置。例题ABqxl 在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为qdx，其中q为该处的载荷集度，由相似三角形关系可知因此分布载荷的合力大小解xABqxdxhlF第3章 平面力系xABqxdxhlF 设合力F 的作用线距A端的距离为h，根据合力矩定理，有将q 和 F 的值代入上式，得第3章 平面力系重力坝断面如图示，坝的上游有泥沙淤积。已重力坝断面如图示，坝的上游有泥沙淤积。已知水深知水深H=46m，泥沙厚度，泥沙厚度h=6m，单位体积水重，单位体积水重=9.8kN/m3，泥沙在水中的容重，泥沙在水中的容重=8kN/m3。又。又1m长坝段所受重力为长坝段所受重力为W1=4500kN，W2=14000kN。试。试将该坝段所受的力系向将该坝段所受的力系向O 点简化，并求出简化的最点简化，并求出简化的最后结果。后结果。第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 例题第3章 平面力系解：解：作用于坝上游面的水压力和泥沙压力为作用于坝上游面的水压力和泥沙压力为平行分布力，上游坝面所受分布荷载的荷载图平行分布力，上游坝面所受分布荷载的荷载图为两个三角形。为两个三角形。设水压力合力为设水压力合力为P1，则，则P1通过该三角形的形心，即与坝底相距通过该三角形的形心，即与坝底相距H/3=46/3m。第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 泥沙压力的合力设为泥沙压力的合力设为P2，则，则P2与坝底相距与坝底相距h/3=2m。第3章 平面力系将将P1、P2、W1、W2四个力向四个力向O 点简化。点简化。求主矢量：求主矢量：第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 第3章 平面力系负号表示主矩负号表示主矩MO 的转向与图示转向相反，即应为的转向与图示转向相反，即应为顺时针向。顺时针向。合力作用线与合力作用线与x轴交点轴交点A的的x坐标值为：坐标值为：第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 对对O点的主矩：点的主矩：故原力系有合力故原力系有合力第3章 平面力系第二节第二节 平面一般力系的平衡方程及其应用平面一般力系的平衡方程及其应用一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢平面一般力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢FR和力系对作用面内任一点的主矩和力系对作用面内任一点的主矩Mo都等于零，即都等于零，即于是有于是有Fx=0Fy=0M0(F F)=0第3章 平面力系 上式称为平面一般力系平衡方程的基本形式，其中前两上式称为平面一般力系平衡方程的基本形式，其中前两式称为投影方程，第三式称为力矩方程。式称为投影方程，第三式称为力矩方程。当满足平衡方程时，物体即不能移动，也不能转动，物当满足平衡方程时，物体即不能移动，也不能转动，物体就处于平衡状态。因此平面一般力系有三个独立的平衡方体就处于平衡状态。因此平面一般力系有三个独立的平衡方程。程。当物体在平面一般力系的作用下平衡时，可应用这三个当物体在平面一般力系的作用下平衡时，可应用这三个独立的平衡方程求解三个未知量。独立的平衡方程求解三个未知量。Fx=0Fy=0M0(F F)=0第3章 平面力系A、B 的连线不和的连线不和x 轴相垂直。轴相垂直。二、平衡方程的其它形式二、平衡方程的其它形式二、平衡方程的其它形式二、平衡方程的其它形式1.1.二力矩形式的平衡方程二力矩形式的平衡方程FRABx平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系A、B、C 三点不共线。三点不共线。2.2.三力矩形式的平衡方程三力矩形式的平衡方程FRABC平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系 平面一般力系的平衡方程虽有三种形式，但不论平面一般力系的平衡方程虽有三种形式，但不论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，任何第四个平衡方程都是力系平衡的必然结果，不任何第四个平衡方程都是力系平衡的必然结果，不再是独立的。可以利用这个方程来校核计算的结果。再是独立的。可以利用这个方程来校核计算的结果。应用平面一般力系的平衡方程，主要是求解应用平面一般力系的平衡方程，主要是求解结构的约束反力，还可求解主动力之间的关系和结构的约束反力，还可求解主动力之间的关系和物体的平衡位置等问题。物体的平衡位置等问题。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系 解题步如下：解题步如下：（1）确定研究对象。）确定研究对象。（2）分析受力并画出受力图，在研究对象上画）分析受力并画出受力图，在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力，约束反力根据出它受到的所有主动力和约束反力，约束反力根据约束类型来画。约束类型来画。（3）列平衡方程求解未知量。）列平衡方程求解未知量。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系例例长为 4 m 的简支梁的两端 A、B 处作用有二个力偶矩，各为 。求 A、B 支座的约束反力。()604()第3章 平面力系例例如图所示，机构 ，在图示位置平衡。已知：OA400mm，600mm，作用在OA上的力偶矩之大小 1Nm。试求力偶矩 的大小和杆AB 所受的力F。各杆的重量及各处摩擦均不计。AB第3章 平面力系BAAOB分析OA杆，有分析 杆，有 作AB、AO及 杆的受力图，AB杆为二力构件【解解】第3章 平面力系例：钢筋混凝土梁AB的计算简图如图所示，梁AB长l=4m，其上作用有均布荷载q=2kN/m，以及集中力F1=F2=1kN。已知a=0.5m，b=1m，试求A,B两处的支座反力解：取整个钢筋混凝土梁为研究对象，画出受力图。列平衡方程，求解未知量，如图所示选直角坐标系，列平衡方程：第3章 平面力系第3章 平面力系求解得：第3章 平面力系自重为W=100kN的T字形刚架ABD，置于铅垂面内，荷载如图所示，其中M=20kN.m，F=400kN，q=20kN/m，l=1m。试求固定端的约束反力。第3章 平面力系解：以T字形刚架为研究对象，受力图如图所示，选取直角坐标系如图所示，列平衡方程：解方程得：第3章 平面力系 平面平行力系平面平行力系平面平行力系平面平行力系：各力的作用线在同一平面内且互相平：各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。行的力系。图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作用线垂直，显然有：作用线垂直，显然有：平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 这样，平面平行力系的平衡这样，平面平行力系的平衡条件可写为：条件可写为：Fy=0MO（F）=0F1yoxF2Fn平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系F1yoxF2Fn平面平行力系平衡方程的二矩式为平面平行力系平衡方程的二矩式为 注意：注意：A A、B B两点的连线不能两点的连线不能与各力的作用线平行。与各力的作用线平行。平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系 例例塔式起重机如图示。机塔式起重机如图示。机架重架重W1=220kN，作用线通过塔，作用线通过塔架的中心。最大起重量架的中心。最大起重量W2=50kN，最大悬臂长为，最大悬臂长为12m，轨道，轨道AB的的间距为间距为4m。平衡锤重。平衡锤重W3，到机，到机身中心线距离为身中心线距离为6m。试问：。试问：（1）保证起重机在满载和空载时）保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，平衡锤重都不致翻倒，平衡锤重W3的范围；的范围；（2）如平衡锤重）如平衡锤重W3=20kN时，时，求满载时轨道求满载时轨道A、B给起重机轮子给起重机轮子的反力。的反力。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系 解解取起重机为研究对象。作用在机上的力有：载荷的取起重机为研究对象。作用在机上的力有：载荷的重力重力W2、机架的重力、机架的重力W1、平衡锤重、平衡锤重W3，以及轨道的约束反，以及轨道的约束反力力FAy和和FBy，其受力图如图所示。，其受力图如图所示。（1）要使起重机不翻倒，应）要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的所有力满足使作用在起重机上的所有力满足平衡条件。平衡条件。当当满载满载时，为使起重机不绕时，为使起重机不绕B点翻倒，这些力必须满足平衡点翻倒，这些力必须满足平衡方程方程MB（F）=0。在临界情况。在临界情况下，下，FAy=0。此时求出的。此时求出的W3值是值是所允许的最小值。所允许的最小值。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系由由MB(F)=0W3min（6+2）+W12-W2（12-2）=0第3章 平面力系由由MA（F）=0，W3max（6-2）-W12=0当当空载空载时，时，W2=0。为使起重机不绕点。为使起重机不绕点A翻倒，所受的力翻倒，所受的力必须满足平衡方程必须满足平衡方程MA（F）=0。在临界情况下，。在临界情况下，FBy=0。这。这时求出的时求出的W3值是所允许的最大值。值是所允许的最大值。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系起重机实际工作时不允许处于将翻倒的临界状态，要使起起重机实际工作时不允许处于将翻倒的临界状态，要使起重机不翻倒，平衡锤重重机不翻倒，平衡锤重W3的范围应是：的范围应是：7.5kNW3110kN（2）当）当W3=20kN且满载时，且满载时，起重机在力起重机在力W1、W2、W3、FAy及及FBy的作用下平衡。应用平面平行力系的平衡方程的作用下平衡。应用平面平行力系的平衡方程求求约束反力。约束反力。第3章 平面力系由由MB（F）=0FAy4-W2（12-2）-W3（6+2）-W12=0由由Fy=0FAy+FBy-W1-W2-W3=0 FBy=220+50+20-25=265kN平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系第三节第三节 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题 在在工工程程中中，常常常常遇遇到到几几个个物物体体通通过过一一定定的的约约束束联联系系在在一一起的所谓物体系统平衡问题起的所谓物体系统平衡问题-物体系统也称物系物体系统也称物系 当当物物体体平平衡衡时时，系系统统内内的的每每一一个个物物体体或或任任一一个个局局部部系系统统也也处处于于平平衡衡状状态态，因因此此，在在求求解解物物体体系系统统的的平平衡衡问问题题时时，不不仅仅要要研研究究整整个个系系统统的的平平衡衡，而而且且要要研研究究系系统统内内某某个个局局部部或或单单个物体的平衡。个物体的平衡。在求解过程当中，注意作用力与反作用力的关系在求解过程当中，注意作用力与反作用力的关系 求求解解物物体体系系统统的的平平衡衡问问题题时时，首首先先要要注注意意选选择择合合适适的的研研究对象，然后选择合适的平衡方程，解出未知力。究对象，然后选择合适的平衡方程，解出未知力。平面一般力系平面一般力系第3章 平面力系一、静定与超静定问题一、静定与超静定问题 对每一类型的力系来说，独立平衡方程的数对每一类型的力系来说，独立平衡方程的数目是一定的，能求解的未知数的数目也是一定目是一定的，能求解的未知数的数目也是一定的。的。如果所考察的问题的未知数目恰好等于独如果所考察的问题的未知数目恰好等于独立平衡方程的数目，这类问题称为立平衡方程的数目，这类问题称为静定问题静定问题；如果所考察的问题的未知力的数目多于独如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的数目，这类问题称为立平衡方程的数目，这类问题称为超静定问题超静定问题或或静不定问题静不定问题。第3章 平面力系图是超静定平面问题的几个例子。图是超静定平面问题的几个例子。在图在图a、b中，物体所受的力分别为平面汇交力系和平中，物体所受的力