数字信号处理-第三章.ppt

第三章 离散傅里叶变换(DFT)Discrete Fourier Transform3.1 离散傅里叶变换（DFT）3.1.1 DFT 的定义 用计算机进行傅里叶变换运算时要求（1）时、频域均为离散的；（2）时、频域的点数均为有限的。周期离散信号的傅立叶级数周期离散信号的傅立叶级数离散傅立叶级数（离散傅立叶级数（DFS:Discrete Fourier Series）N为离散信号的周期为离散信号的周期复习：周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的傅立叶级数（DFS）的表示式也适用于有限长序列，这就得到有限长序列的离散傅立叶变换（DFT）在离散傅里叶级数中，由于其时域及频域均为周期序列，在整个域中都存在非零的序列值。其时域与频域之间的映射关系在一个周期内便可以完全地反映出来。主值序列主值序列DFT变换对DFS变换对DFT与DFS无本质区别，DFT是是DFS的主值的主值傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。N点 DFT 变换对离散 DFS 变换对设变换区间N=16，则例 x(n)=R4(n)，求x(n)8点和16点DFT DFT的物理意义：对x(n)的连续频谱X(ej)在0,2上的N点等间隔采样，采样间隔为2/N。当N足够大时，|X(k)|的包络可以逼近|X(ej)|曲线。频域采样序列x(n)的长度为N3.1.2 DFT和DFS，DTFT，ZT的关系DFT与DFS的关系：有限长序列x(n)的N点离散傅立叶变换X(k)，也是x(n)的周期延拓序列的离散傅立叶级数的系数 的主值序列DFT与与DFS的关系：的关系：DFT与与DTFT关系：关系：频率离散化DFT的物理意义：对对x(n)的连续频谱的连续频谱X(ej)在在0,2上的上的N点等间隔采点等间隔采样样，采样间隔为采样间隔为2/N序列x(n)的长度为NDFT与与ZT关系：关系：DFT的物理意义：对对x(n)的的Z变换变换X(z)在单位圆上在单位圆上的的N点等间隔采样点等间隔采样,采样间隔为采样间隔为2/N序列x(n)的长度为NN点 DFT 变换对旋转因子：N点 DFT 变换对DFT是一种数学上的映射关系，反映了时域上的 N点与频域上的 N 点之间的对应关系，其实质是对频谱函数的离散采样。x(n)的长度为M点，NMDFT与DFS无本质区别，DFT是是DFS的主值的主值 3.1.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于WknN的周期性，使X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m：均为整数 所以X(k)满足同理可证：x(n+mN)=x(n)周期延拓的概念：任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 的一个周期 图3.1.2 x(n)及其周期延拓序列周期延拓的概念：任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 的一个周期，即周期延拓设序列x(n)的长度为M与 之间的关系：是 的周期延拓：是 的主值序列：式中表示以N为周期的周期延拓序列与 之间的关系：是 的周期延拓：是 的主值序列：同理可得：3.3 DFT的性质（1）线性性质 时域 频域（2）循环移位若 称 f(n)为x(n)的 m点循环移位序列。循环移位的步骤：周期延拓移位取主值假设序列x(n)的长度为M,NM循环移位的步骤：）移位 m点：）取主值序列：）x(n)的长度为M,以N 为周期周期延拓：循环移位：N=4，移1位以周期N=4循环左移1位循环移位：N=5，移1位以周期N=5循环左移1位周期延拓移位取主值以周期N=4循环左移2位时域信号x(n)长度为M，DFT点数为NM 则 时域循环移位的 性质（时移）：如果 有限长序列的循环移位导致频谱线性相移,对频谱幅度无影响。2 时域循环移位定理（时移性）时域循环移位定理（时移性）设x(n)是长度为M（MN）的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即y(n)=x(n+m)NRn(n)则其中X(k)=DFTx(n)N 0kN1DFT的时移性的时移性证明证明令n+m=n，则有由于上式中求和项 以N为周期，因此对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区，得3 频域循环移位定理（频移性）频域循环移位定理（频移性）如果X(k)=DFTx(n)N 0kN1Y(k)=X(k+l)NRN(k)则(3.2.4)式的证明方法与时域循环移位定理类似，直接对Y(k)=X(k+l)NRN(k)进行IDFT即得证。DFT的频移性的频移性什么是循环卷积？周期化周期化、反折、平移、相乘、相加两个序列循环卷积，二者长度必须相等（都等于循卷长度L），否则补零，循卷结果长度也等于L。即：如果一个N点序列与一个M点序列作循卷，那么循卷长度 LMaxN,M（3）时域循环卷积定理循环卷积的步骤：1）补零2）周期延拓3）翻转4）移位5）相乘、相加6）取主值循环卷积的性质：满足交换律循环卷积的计算:(1)循环卷积矩阵;(2)FFT快速傅立叶变换。设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M，h(n)与x(n)的L点循环卷积：循环卷积矩阵矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵”，其特点是:（1）第1行是序列x(0),x(1),x(L1)的循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度ML，则需要在x(n)末尾补末尾补LM个零零后，再形成第一行的循环倒相序列。（2）第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。（3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。【例例】计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。解解 写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式如果h(n)的长度NL，则需要在h(n)末尾补LN个零。图3.2.2 序列及其循环卷积波形（3）时域循环卷积定理若 长度分别为N点和M点的时域序列h(n),x(n),Lmax(N,M)，L为循环卷积区的长度则 证明：对上式DFT变量代换n-m=n如果x(n)=x1(n)x2(n)，则(3.2.10a)N 频域循环卷积定理:3.4.1 用DFT计算线性卷积 0kL-1则由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k),0kL-13.4DFT应用举例如果循环卷积既可在时域直接计算，又可以在频域计算。当N很大时，在频域计算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。用DFT计算循环卷积 在实际应用中，为了分析时域离散线性时不变系统，需要计算两个序列的线性卷积。为了提高运算速度，希望采用DFT(FFT)计算线性卷积。DFT只能直接用来计算循环卷积，因此需要导出：1、线性卷积和循环卷积之间的关系；2、循环卷积与线性卷积相等的条件。线性卷积和循环卷积的区别线性卷积：反折、平移、相乘、相加 若h(n)的长度为M,x(n)的长度为N，则h(m)的非零区间为0 m M-1,x(n-m)的非零区间为0 n-m N-1因此0 nM-1+N-1即0 nM+N-2长度为M点的序列线性卷积长度为N点的序列，其结果长度为M+N-1例：分别求(N=Max(3,4)=4)线性卷积和循环卷积的关系：线性卷积和循环卷积的关系：循环卷积是线性卷积的结果以L为周期进行周期延拓，再取主值证明:L循环卷积 等于线性卷积 以L为周期周期延拓后取主值。当LM+N-1时，可以用长度为L的循卷来代替两个长度分别为M和N的序列的线性卷积。当LM+N-1时，循环卷积和线性卷积不相等。线性卷积与循环卷积 当LM+N-1时，可以用长度为L的循环卷积来代替长度为M和N的两个序列的线性卷积。当两个序列的长度不相等时，选取LNM1，（L为循环卷积长度），计算线性卷积，需要对短序列补零点。x(n)为无限长序列，设序列h(n)长度为N。将x(n)均匀分段，每段长度取M，则h(n)与x(n)的线性卷积可表示为先进行分段线性卷积，然后把分段卷积结果叠加计算步骤：1.计算并保存H(k)=DFTh(n)L=N+M-12.读入xk(n),计算Xk(k)=DFTx(n)L=N+M-13.计算Yk(k)=H(k)Xk(k)4.计算yk(n)=IDFTYk(k)L=N+M-15.叠加计算y(n)6.返回2，读取下一段输入先进行分段线性卷积，然后把分段卷积结果叠加3.2.4 实序列DFT的共轭对称性共轭对称的定义：共轭反对称的定义：复习：DFT是对有限长序列定义的一种变换，讨论其对称性时，是对有限长序列定义的一种变换，讨论其对称性时，不再以原点为对称点，而是以不再以原点为对称点，而是以n=N/2为对称点。为对称点。对于实序列对于实序列x(n),n=0,1,2,N-1,判断其奇偶对称性的方法如下：判断其奇偶对称性的方法如下：1、在n=N处补上与n=0处相同的序列值。2、如果补值后的新序列对于N/2而言是偶对称的，那么原序列就是偶对称的。3、如果补值后的新序列对于N/2而言是奇对称的，那么原序列就是奇对称的。有限长共轭对称序列的定义：有限长共轭反对称序列的定义：共轭对称的定义：共轭反对称的定义：记为记为有限长共轭对称序列：有限长共轭反对称序列：当N为偶数时，将上式中的n换成N/2+n，可得到：上式清楚地说明了有限长序列共轭对称序列是关于n=N/2点对称。3.2.4 实序列DFT的共轭对称性N点DFT为：X(k)=DFTx(n)，则X(k)关于N/2点共轭对称 X(k)=X*(N-k)0kN-1当DFT的点数N增大，DFT的运算量快速增长 利用该性质，N为偶数时只需要计算前面N/2+1个点的DFT，后面N/2-1个点的DFT是前面部分取共轭，减少一半的运算量 即证明：设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N，X(k)=DFTx(n)N，则且X(N)=X(0)。证明证明：3.2.4 复共轭序列的复共轭序列的DFT由X(k)的隐含周期性，有X(N)=X(0)x(n）是有限长实序列:x*(n）是x(n)的复共轭序列:共轭对称的定义：共轭反对称的定义：复习：对称点是原点任意序列可以分解为：用n换n等式两边同时取共轭因此由于序列的两种分解方式1复习：任意序列可分解为：序列的两种分解方式序列的两种分解方式2等式两边同时取共轭因此复习：DFT是对有限长序列定义的一种变换，讨论其对称性时，是对有限长序列定义的一种变换，讨论其对称性时，不再以原点为对称点，而是以不再以原点为对称点，而是以n=N/2为对称点。为对称点。奇对称序列，x(n)=x(Nn)偶对称实序列，x(n)=x(Nn)将上式中的n换成Nn，并取复共轭得到：有限长序列的两种分解方式：方式1：x(n)=xr(n)+jxi(n)有限长序列的两种分解方式：方式2：式中式中DFTDTFT(1)X(k)共轭对称，即X(k)=X*(N-k)k=0,1,N-1 (2)如果x(n)是偶对称实序列，即x(n)=x(Nn)，则X(k)实偶对称，即X(k)=X(Nk)(3)如果是奇对称实序列，即x(n)=x(Nn)，则X(k)虚奇对称，即X(k)=X(Nk)若x(n)是长度X(k)=X(Nk)为N的实序列，则有以下3点结论：（1）X(k)共轭对称，即X(k)=X*(N-k)k=0,1,N-1 （2）如果x(n)是偶对称实序列，即x(n)=x(Nn)，则有：X(k)=X(Nk)若x(n)是长度X(k)=X(Nk)为N的实序列，则有以下3点结论：因为x(n)是实序列,所以因此X(k)=X*(N-k)因此若x(n)是偶对称序列，所以因此因此X(k)=X(Nk)X*(k)=X(N-k)证明：（3）如果是奇对称序列，即x(n)=x(Nn)，则有，X(k)=X(Nk)若x(n)是长度X(k)=X(Nk)为N的实序列，则有以下3点结论：由于x(n)是实序列X(k)=X*(N-k)若x(n)是奇对称序列，所以因此因此X*(k)=X(N-k)证明：X(k)=X(Nk)因此x(n)X(k)实偶对称实偶对称实奇对称虚奇对称实序列x(n)与其DFT X(k)的关系利用上述对称性质，可减少DFT的运算量，提高运算效率。计算实序列的N点DFT时，当N=偶数时，只需计算X(k)的前面N/2+1点，而N=奇数时，只需计算X(k)的前面(N+1)/2点。X(N1)=X*(1),X(N2)=X*(2),这样可以减少近一半运算量。3.3 频频 域域 采采 样样时域离散，频域周期频域离散，时域周期时域有限，频域无限频域有限，时域无限时域压缩，频域展宽频域展宽，时域压缩时域取样定理时域取样定理s 2 m（或抽样频率fs需满足 fs 2fm）时域相乘，频域卷积复习：时域离散，频域周期频域取样定理频域取样定理频域相乘，时域卷积频域离散，时域周期3.3 频频 域域 采采 样样任意序列x(n)的Z变换：且X(z)的收敛域包含单位圆（即x(n)存在傅里叶变换）。在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得：上式表示在区间0,2上对x(n)的傅里叶变换X(ej)的N点等间隔采样X(k)可看做长度为N的有限长序列xN(n)的DFTDFT与与DTFT关系：关系：频率离散化DFT的物理意义：对对x(n)的连续频谱的连续频谱X(ej)在在0,2上的上的N点等间隔采点等间隔采样样，采样间隔为采样间隔为2/N序列x(n)的长度为NDFT的物理意义：对x(n)的连续频谱X(ej)在0,2上的N点等间隔采样，采样间隔为2/N。当N足够大时，|X(k)|的包络可以逼近|X(ej)|曲线。频域采样频域频域X(k)采样后经采样后经IDFT得到的序列得到的序列xN(n)与原序列与原序列x(n)的关系：的关系：将 代入得-=-=-=-=-=mNknmkNNkmknNkmNWNmxWWmxNnx10)(101)()(1)(式中因此因此 由 得到的周期序列，是原序列 以N为周期的周期延拓序列。（时域周期为频域抽样点数N）时域抽样造成频域的周期延拓频域抽样造成时域的周期延拓时域取样定理时域取样定理s 2 m（或抽样频率fs需满足 fs 2fm）时域相乘，频域卷积复习：时域离散，频域周期频域取样定理频域取样定理频域相乘，时域卷积频域离散，时域周期频率采样定理：若序列长度为M，则只有当频域采样点数：时，才有即可由频域采样 不失真地恢复原信号 ，否则产生时域混叠现象。频域采样定理说明：通过对频域进行采样得到频域离散序列X(k)，再对X(k)进行IDFT得到的时域序列 ，是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓。x(n)为无限长序列混叠失真x(n)为有限长序列，长度为M由频域抽样序列 还原得到的周期序列是原非周期序列 的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数N。时域抽样造成频域周期延拓频域抽样造成时域周期延拓图3.3.1 频域采样定理验证NMNMx(n)的长度M=26N=16N=323.4DFT应用举例用DFT对信号进行频谱分析信号的频谱分析计算信号的傅里叶变换3.4.2 用DFT对信号进行频谱分析 由傅里叶变换理论知道，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时间必然为无限长。用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似程度与信号带宽、采样频率和截取长度有关。用DFT对连续信号进行频谱分析是近似的，其近似程度与信号带宽、采样频率和截取长度有关。1 用用DFT对连续信号进行谱分析对连续信号进行谱分析 为了利用DFT对xa(t)进行频谱分析，先对xa(t)进行时域采样，得到x(n)=xa(nT)，再对x(n)进行DFT，得到的X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(ej)在频率区间0，2上的N点等间隔采样。3.4.2 用用DFT对信号进行谱分析对信号进行谱分析对连续时间非周期信号的DFT逼近过程1）时域抽样2）时域截断3）频域抽样近似逼近：1.用用DFT对连续非周期信号的分析对连续非周期信号的分析连续时间非周期信号的傅立叶变换：设信号设信号xa(t)是经过滤波和截断处理的有限长带限信号，其持是经过滤波和截断处理的有限长带限信号，其持续时间为续时间为Tp，最高信号频率为最高信号频率为fc：1）将 在 轴上等间隔（T）分段零阶近似：对对xa(t)以以采采样样间间隔隔T (2fc)-1(fs=1/T 2fc)采采样样得得 x(n)=xa(nT)。设共采样设共采样N点，点，作零阶近似作零阶近似得：得：2）将 截短成有限长序列对 在区间0，fs 上等间隔采样N点，采样间隔为F（即fs=NF)，将 带入得:3）频域抽样：一个周期0，fs 上等上等分N段，采样间隔 图 用DFT计算模拟信号频谱的原理通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T，可以近似得到模拟信号频谱的周期延拓函数在第一个周期0,fs上的N点等间隔采样X(k)既然是序列x(n)的N点DFT再乘以T,序列x(n)就是X(k)的DFT的反变换再除以TT为时域的采样间隔参数参数fs,Tp,N和和F的的关系：关系：1）将 在 轴上等间隔（T）分段2）将 截短成有限长序列3）频域抽样：一个周期0，fs 上等上等分N段，采样间隔 T为时域的采样间隔F为频域的采样间隔时域采样：频域采样：对偶性参数参数 fs,Tp,N 和和 F 的的关系关系小结（牢记）：小结（牢记）：DFT对连续信号分析时的参数选择原则对连续信号分析时的参数选择原则 fc-信号最高截止频率信号最高截止频率 F F-频频(谱谱)率分辨率（频域采样时的最小频率间隔）率分辨率（频域采样时的最小频率间隔）fs-采样频率采样频率 Tp-信号信号观测观测时间时间T-采样间隔采样间隔N-采样点数采样点数用DFT近似计算模拟信号频谱的计算步骤：(1)首先确定用DFT对模拟信号频谱进行近似计算的三个参数，即频率分辨率频率分辨率F、采样频率采样频率fs、观测时间观测时间Tp。(2)用已确定的fs对模拟信号采样。采样后得到时域离散信号为：x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)(3)按照公式 ，在计算机上调FFT子程序对信号x(n)进行频谱计算。例：例：有一调幅信号用DFT做频谱分析，要求能分辨 的所有频率分量，问:(1)抽样频率应为多少赫兹（Hz）?(2)抽样时间间隔应为多少秒（Sec）?(3)抽样点数应为多少点？（1）抽样频率应为 解：（2）抽样时间间隔应为3.4.2.2 用DFT对离散信号（序列）进行频谱分析单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换，即如果对序列x(n)进行N点DFT得到X(k)，则X(k)是在区间0，2上对X(ej)的N点等间隔采样，频谱分辨率就是采样间隔2/N。序列的傅里叶变换可利用DFT来计算。对周期为N的周期序列，其频谱函数为其中周期序列的频谱结构可以用其离散傅里叶级数系数表示。3.4.2.2 用DFT对离散信号（序列）进行频谱分析1.M点有限长序列x(n)，作N点DFT(NM),就是x(n)的频谱函数X(ej)在0,2内N点等间隔采样2.根据需要的频率分辩率D（采样间隔）,确定DFT点数N：3.计算X(k)，并绘制频率特性图注意k与数字域频率 之间的关系3.4.2.3 用DFT进行频谱分析的误差问题1.截断效应时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号乘上一个窗函数。时域两函数相乘，在频域是其频谱的卷积。由于窗函数不可能取无限宽，信号的频谱与窗函数的卷积必然产生拖尾现象，造成 频谱泄漏。频谱泄漏改善方法：对时域截断，使频谱变宽拖尾，称为泄漏1）增加x(n)长度2）缓慢截断n 减少频率泄漏的方法：（1）适当加大窗口宽度；（2）采用适当形状的窗函数截断2.栅栏效应1.通过DFT来分析连续时间信号的频谱特性，而DFT是对DTFT在一个周期内的N点等间隔采样2.DFT的结果只能表示信号的频谱特性在一些频域采样点上的值。解决方法：在 所 取 数 据 的 末 端 加 一 些 零 值 点，使 一 个 周 期 内 点 数 增 加,但 是 不 改 变 原 有 的 记 录 数 据。这种方法 相当于 加 长 了 信号记录长度 Tp。因 F=1/Tp(F是 频率抽 样 间 隔)。Tp 增 加，频率抽 样 间 隔 变 小，从 而 能 保 持 原 来 频 谱 形 式 不 变 的 情 况 下 使 谱 线 变 密,即 频 谱 抽 样 点 数 增 加。栅栏效应栅栏效应改善方法：增加频域抽样点数N，使谱线更密DFT只计算离散点（基频F的整数倍处）的频谱，而不是连续函数3.频谱混叠频谱混叠对连续信号进行分析时，需要首先进行离散，如果采样频率fs不能满足采样定理，则将会在fs/2附近发生频率混叠现象，此时用DFT进行分析结果必然在fs/2附近产生较大误差。解决办法:（1）预滤波:在采样前进行预滤波，以滤除高于折叠频率的频率成分。（2）增大采样频率:在fs确定时，一般取fs(35)fc。时域取样定理时域取样定理s 2 m（或抽样频率fs需满足 fs 2fm）时域相乘，频域卷积复习：时域离散，频域周期傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。第三章课后作业第三章课后作业第106页习题：1.(3);9.;14.;15.;16.;18.