中国矿业大学 概率论与数理统计课件.ppt

概率论与数理统计任课教师任课教师:付乳燕付乳燕 1内容与学时内容与学时第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布第七章第七章 参数估计参数估计第八章第八章 假设检验假设检验(18学学时时)数数理理统统计计(30学学时时)概概 率率 论论2参考学习书目：参考学习书目：概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计学习辅导与习题解答概率论与数理统计学习辅导与习题解答浙江大学二、三版浙江大学二、三版 高教出版社出版高教出版社出版答疑地点：教一楼答疑地点：教一楼C300C300答疑室答疑室答疑时间：周二下午答疑时间：周二下午7-87-8节节答疑：答疑：3自然界和社会中有两类现象：自然界和社会中有两类现象：确定性现象确定性现象：在一定条件下必然发生的现象：在一定条件下必然发生的现象例例 抛一石子必然落下；抛一石子必然落下；（结果可以事先预言的）（结果可以事先预言的）随机现象：随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果在一定条件下，可能出现这样的结果也也可能出现那样的结果；可能出现那样的结果；（结果不可事先预言）（结果不可事先预言）例例 抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上；抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上；绪绪 言言 同性电荷互斥同性电荷互斥4 试验中其结果又具有某种统计规律性的现象。试验中其结果又具有某种统计规律性的现象。研究对象研究对象：概率统计是研究随机现象统计规律性的 一门数学分支。在每次试验中结果具有不确定性，而在大量的重复在每次试验中结果具有不确定性，而在大量的重复随机现象：随机现象：5第一章 随机事件及其概率 一、随机事件及其运算一、随机事件及其运算 二、频率与概率二、频率与概率 三、等可能概型三、等可能概型 四、条件概率四、条件概率 五、事件的相互独立性五、事件的相互独立性6 第一章 第一节 随机事件及其运算一、随机试验一、随机试验二、随机事件与样本空间二、随机事件与样本空间三、事件间的关系及其运算三、事件间的关系及其运算（重点）（重点）7一、随机试验一、随机试验抛一枚硬币，观察出现正反面情况。抛一枚硬币，观察出现正反面情况。例：例：将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。在一批灯泡中任取一只在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命测试它的寿命。E(experimentation)E1:E2:E3:对上面的随机现象进行观察对上面的随机现象进行观察1、可以在相同的条件下重复进行；、可以在相同的条件下重复进行；2、试验的可能结果不止一个，并且在试验前能、试验的可能结果不止一个，并且在试验前能 预先知道全部可能结果；预先知道全部可能结果；3、在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。、在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。，具有以下特点：，具有以下特点：8二、随机事件与样本空间二、随机事件与样本空间定义定义1 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间样本空间,记为记为S,样本空间的元素,即E的每个结果，称为样本点样本点,记为记为e。例如上页引例中：=H,T=HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT有限个样本点=t|t0连续、不可列.样本空间样本空间S1 1 S2 2 S3 3 9例：例：将一枚硬币连抛三次1)观察正反面出现的情况,2)观察正面出现的次数,.随机事件随机事件定义定义2 样本空间的子集称为随机事件随机事件，简称事件事件，一般记为 A,B,C等。A 点数之和为7,例：例：抛两个骰子，骰子可分辨，观察其出现的点数，注意：注意：样本空间的元素是由 试验目的试验目的所决定的。=HHH,HHTS1=0,1,2,3S2 2 S=11,12,13,61,66 A=16,25,34,43,52,6110特殊随机事件：特殊随机事件：3.基本事件：基本事件：一个样本点组成的单点集一个样本点组成的单点集(试验试验E的每个的每个可能结果）。可能结果）。例：例：有两个基本事件有两个基本事件 H 和和 T 1.必然事件：必然事件：每次试验中必然发生的事件每次试验中必然发生的事件,记为记为S；2.不可能事件：不可能事件：每次试验一定不发生的事件每次试验一定不发生的事件,记记；事件事件A发生发生A中的某一个样本点在试验中出现中的某一个样本点在试验中出现11 包含、相等关系包含、相等关系A发生必然导致B发生1.1.事件的关系事件的关系三、事件间的关系及其运算三、事件间的关系及其运算事件B包含事件AA与B相等，记为 A=B。（重点）（重点）12事件的和称为A和B的和事件表示A与B中至少有一个发生，即：A与B中至少有一个发生时，发生。13事件的积表示事件A和B同时发生，即：且A与B的积事件当且仅当A与B同时发生时，通常简记为AB。发生。14事件的差A-B 表示事件A发生但事件B不发生但互斥事件(互不相容)，则称A,B为互不相容事件即：A、B不能同时发生。对立事件(逆事件)基本事件都互不相容。A与B的差事件且，则称事件A与B互为逆事件或互为对立事件。A的对立事件记为,=S-A。152.事件的运算法则事件的运算法则交换律交换律；结合律结合律分配律分配律德德摩根律：摩根律：；推广：推广：;16，则，设注：事件的一些关系式注：事件的一些关系式 17例例1.设A,B,C 表示三个事件,试表示下列事件(1)A 发生,B 与C 不发生(2)A 与B 发生,C 不发生(3)A,B 与C 都发生(4)A,B 与C 至少有一个发生(5)A,B 与C 全不发生(7)A,B 与C 至少有两个发生(6)A,B 与C不全发生18例例2 以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则 为(A)甲滞销，乙畅销 (B)甲乙两种产品均畅销(C)甲种产品畅销 (D)甲滞销或乙畅销 解解 设B=“甲产品畅销”，C=“乙产品畅销”则，故选(D)例例3 关系()成立，则事件A与B为对立事件。(A)(B)(C)(D)与为对立事件解释解释(D)：C,D19例例4.在掷骰子的试验中,样本空间事件A 出现偶数点,事件B 出现奇数点 事件C 出现点数大于4,事件D 点数大于5 求:解解:A与B为对立事件 A=2,4,6 ,B=1,3,5 ,C=5,6，D=620 概率的统计定义概率的统计定义 一一、频率、频率 第二节第二节 频率与概频率与概 率率二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义 重点掌握利用关系式计算概率重点掌握利用关系式计算概率 第一章 21一个事件在某次试验中的出现具有偶然性，但在大量重复试验中随机事件的出现呈现一定的数量规律，频率这一概念近似反映了这个数量规律。1.定义定义1 设 E,S,A为E中某一事件，在相同条件进行n次独立重复试验，事件A发生的次数记为称为A的频率频率。(frequency)2.性质：性质：01一、频率一、频率则比值22若两两互不相容结论：结论：当n较小时，频率呈偶然性，波动性很大；随着n的增加，波动幅度减小，最后集中在某一个数附近。历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过大量掷硬币的试验，所得结果如下：试验者蒲丰皮尔逊皮尔逊次数正面的次数正面的频率404020480.50691200060190.501624000120120.500523这种称为这种称为频率稳定性频率稳定性，也就是通常所说的统计规律性，也就是通常所说的统计规律性，频率稳定值频率稳定值注：注：试验次数越多，并不说明越精确，只能说明波动试验次数越多，并不说明越精确，只能说明波动 范围越小。范围越小。即即概率的统计定义概率的统计定义。二、概率（概率的公理化定义）二、概率（概率的公理化定义）1.定义定义 设设 E,S,对于对于E的每一事件的每一事件A，赋予一个实数，赋予一个实数，记为记为P(A),如果如果P()满足以下三个公理：满足以下三个公理：非负性非负性：规范性规范性：可列可加性可列可加性：称称P(A)为事件为事件A的的概率概率。242.性质：性质：故由可列可加性又因为0，有限可加性其中两两互不相容。，则证明证明 取所以25如果则证明证明 且 A 和 BA互不相容得式成立；26，01证明证明(加法公式)BA27推广：推广：提示：可用归纳法证明28例例1.已知证明:例例2、解：29例例3 某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1,试求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨(4)两天都不下雨(1)第一天下雨，第二天不下雨(3)至少有一天下雨解：解：设A第一天下雨，B第二天下雨则(5)至少有一天不下雨30(1)(2)(3)(4)(5)31例例4 (订报问题)在某城市中，共发行三种报纸A，B，C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，同时订购A，B的占10%，同时订购A，C的占8%，同时订购B，C的占5%，同时订购A，B，C的占3%，试求下列事件的概率：(1)只订购A的(2)只订购A，B的(3)只订购一种报纸的(4)只订购两种报纸的(5)至少订购一种报纸的(6)不订购任何报纸的设A，B，C分别表示“用户订购A，B，C 报纸”32解：由题意可知解：由题意可知(1)(2)(3)两两互不相容的33(4)两两互不相容(5)(6)34例例5 已知求 A,B,C 至少有一个发生解解的概率。35例例6 证明证证例例7，求解解36 第一章 第三节等可能概型一、等可能概型的定义一、等可能概型的定义二、计算公式二、计算公式三、计算方法三、计算方法371.定义定义：具备以下两个条件的随机试验称为等可能概型，有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个；等可能性 每个基本事件发生的可能性相同。例例：E1抛均匀硬币,观察哪面朝上等可能概型也称为古典概型。E2投一均匀骰子,观察点数=H,T S1 1=1,2,3,4,5,6S2 2 38 若事件A包含k个基本事件，即其中(表示中的k个不同的数)则有2.计算公式：计算公式：393.方法：方法：构造A和S的样本点(当样本空间S的元素较少时，先一一列出S和A中的元素，直接利用求解)用排列组合方法求A和S的样本点个数预备知识预备知识.加法原理：加法原理：完成一项工作m类方法，第i类方法有种，(i=1,2,m)，则完成这项工作共有：种方法。.乘法原理：乘法原理：完成一项工作有m个步骤，第i步有，则完成该项工作一共有：种方法。种方法（i=1,2,m)40.排列：排列：从n个元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列，称为从n个元素里取出r个元素的排列。(n，r均为整数)进行排列，共有(无放回选取)从n个不同元素中无放回的取出m个(mn)种方法。(有放回选取)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依次排成一列，称为可重复排列，一共有41.组合组合从n个元素中无放回取出r个元素，不考虑其顺序，组合数为或,例：例：袋中有三个球，标号1,2,3，任取两次 无放回，考虑顺序12,13,21,23,31,32 无放回，不考虑顺序 12,13,23 有放回，考虑顺序11,12,13,21,22,23,31,32,3342例例1 投两枚骰子，事件A“点数之和为3”，求解解法一：出现点数之和的可能数值11 12 21 不是等可能的法二：36个 要注意对于用的时候要两个条件都满足。43例例2 投两枚骰子，点数之和为奇数的概率。解解 令A点数之和为奇数法一，36个18个法二，所有可能结果(奇,奇)，(奇,偶)，(偶,奇)，(偶,偶)A=(奇,偶)，(偶,奇)说明样本空间的选取可以不同，但必须保证等可能。说明样本空间的选取可以不同，但必须保证等可能。44例例3 6只不同球(4白2红)，从袋中依次取两球，观察其颜色。分别做 a.有放回抽样 b.不放回抽样，(1)“取到的两只球都是白球”(2)“取到的两只球颜色相同”(3)“取到的两只球中至少有一个是白球”解解 a.(1)(2)(乘法原理)S：66=36求下列事件的概率：45(3)表示“两只都是红球”若直接考虑：(1)(2)(3)b.无放回(考虑先后顺序)(乘法原理)S：65=30注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。46例4.某教研室共有11 名教师,其中男教师7 人,现在要选 3 名优秀教师,问其中至少有一女教师概率解解(方法一)设 A=“3 名优秀教师中至少有一名女教师”=“3 名优秀教师中恰有 名女教师”则47方法二 设 A=“3 名优秀教师全是男教师”48例例6(分房问题)将r个球随机地放入n(nr)个盒子中，设各个球放入每个盒子是等可能的，解解求：每个盒子至多有一个球的概率。将r个球放入n个盒子，每一种方法是一个基本事件例例5 袋中有a只黑球和b只白球，k个人把球随机的一只只摸出来，求第i个人摸出的是黑球的概率。解解 将k个人取球的每一种取法看成一个样本点49例例7(生日问题)设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于,那么随机选取n(365)人。(1)他们的生日各不相同的概率为多少？(2)n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？解解 (1)设 A=“n个人的生日各不相同”(2)设 B=“n个人中至少有两个人生日相同”当 n 等于64时，在64人的班级中，B发生的概率接近于1，即 B几乎 总是会出现。50第四节第四节 条件概率条件概率一 条件概率二 乘法公式三 全概率公式,贝叶斯公式（重点）第一章 51引例引例:取一副牌,随机的抽取一张,问:(1)抽中的是k的概率;(2)若已知抽中的是红桃,问抽中的是k的概率。解：解：A 抽中的是红桃,B 抽中的是k(1)(2)上述式子具有普遍性吗?在古典概型中,一一 条件概率条件概率521、定义：、定义：设 A，B为两事件，且则称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率。3.设是两两互不相容的事件则条件概率满足概率公理化定义中的三个公理:2.性质：条件概率类似满足概率的性质：条件概率类似满足概率的6条性质。条性质。53(1)在缩减样本空间中求事件概率（实际意义法）(2)定义法例例1、设一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10%,现从中任取一件，结果不是三等品，求取得是一等品的概率。解解 则由已知得如引例2、条件概率的求法条件概率的求法54定理定理 设，则有推广推广 其中，则有或二、乘法公式二、乘法公式55推广到n个事件，如果则有设袋中装有r只红球，t只白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取的同色的球，第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。若在袋中连续取球四次，求：例例2.56注：注：a=0时，就是有放回抽样；a=-1时，就是无放回抽样。r只红球，t只白球“第 次取到红球”解解:设i=1，2，3，457设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影票,问各人获得此票的机会是否均等？解解 设“第 名学生抓到电影票”i=1,2,30例例3、同理,第i个人要抓到此票,他前面的i-1个人都没抓到此票5859 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率件的概率,它们实质上是它们实质上是加法公式和乘法公式的综合加法公式和乘法公式的综合运用运用.综合运用综合运用加法公式加法公式(特例特例)P(AB)=P(A)+P(B)A、B互不相容互不相容乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0三、全概率公式与贝叶斯（三、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式）公式60321如图所示如图所示。解解有三个箱子有三个箱子,分别编号为分别编号为1,2,3,箱内所放东西箱内所放东西球，求取得红球的概率球，求取得红球的概率.B 发生总是伴随着发生总是伴随着 A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，即即且且某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一引例引例:61由于故32162定义定义(1)(2)则称注注:对每次试验，例如例如 设试验 E 为“掷骰子观察其点数”。样本空间为，而不是划分。准备知识：准备知识：631、全概率公式、全概率公式定理定理 设随机试验E的样本空间为A为E的事件，则有全概率公式证证:两两互不相容(重点重点)64去构造这一组去构造这一组 Bi 往往可以简化计算往往可以简化计算.全概率公式的理论和实用意义在于全概率公式的理论和实用意义在于:在较复杂情况下计在较复杂情况下计算算P(A)不易不易,但但 A 总是伴随着某个总是伴随着某个Bi 出现，出现，所以适当地所以适当地全概率公式的来由全概率公式的来由:“全全”部概率部概率P(A)被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和.65可以形象地把全概率公式看成为：可以形象地把全概率公式看成为：“由由原原因因推推结结果果”，每每个个原原因因对对结结果果的的发发生生有有一一定定的的“作作用用”，即即结结果果发发生生的的可可能能性性与与各各种种原原因因的的“作作用用”大大小小有有关关.全全概概率率公公式式表表达达了了它们之间的关系它们之间的关系 .B1B2B3B4B5B6B7B8A66例例2、假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球2个红球，乙再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？解解 设 A 从乙中取到白球，B 从甲中取到白球 袋中有2个白球3个红球，今从甲中任意取一只放入乙中，=67该该球球取取自自哪哪号号箱箱的的可可能能性性最大最大?实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条条件概率件概率，是，是已知某结果发生条件下，求各原因发生已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一某人从任一箱中任意摸出一球，球，发现是红球发现是红球,求该球是取求该球是取自自1 1号箱的概率号箱的概率.1 12 23 31 1红红4 4白白或者问或者问:68某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球，一球，发现是红球，求该球是发现是红球，求该球是取自取自1 1号箱的概率号箱的概率.记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=取得红球取得红球 求求P(A1|B).运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)1 12 23 31 1红红4 4白白?69运用全概率公式计算P(A)2、贝叶斯公式贝叶斯公式定理定理设随机试验E的样本空间为S,A为E的任意一个事件,为S的一个划分,且则，称此式为贝叶斯公式贝叶斯公式。该公式于该公式于17631763年由年由贝叶斯贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在观察它是在观察到到事件事件A已发生的条件下已发生的条件下，寻找，寻找导致导致A发生的每个原发生的每个原因因的概率的概率.70例例3.设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45,35,20,且各车间的合格品率为0.96,0.98,0.95,现在从待出厂的产品中检查出1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？解解分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，设 A 表示“任取一件产品为次品”由题意得由贝叶斯公式71所以该产品是甲车间生产的可能性最大。用全概率公式求得72例例4、A某种临床试验呈阳性B被诊断者患有癌症根据以往的临床纪录，癌症患者某项实验呈阳性的概率为0.95，而正常人该试验成阴性的概率为0.95，已知常人患癌症的概率为0.005，现对自然人群进行普查，如果某人试验呈阳性，求他患癌症的概率有多大？解解由题，已知732.2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?思考：思考：1.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？解释解释1 1：如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率 P(B)=0.005 若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为是患者的概率为 P(BA)=0.087 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.从从0.005增加到增加到0.087,增加了增加了17.4倍倍.742.2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(BA)=0.087 即使检出阳性，尚可不必过早下结论患有癌即使检出阳性，尚可不必过早下结论患有癌症，这种可能性只有症，这种可能性只有8.7%(平均来说，平均来说，10001000个人个人中大约只有中大约只有8787人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过，此时医生常要通过再再试验来确认试验来确认.75 贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai|B)分别称为分别称为原因的原因的验前概率验前概率和和验后概率验后概率.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不是在没有进一步信息（不知道事件知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生），人们对诸发生），人们对诸事件发生可能性大小事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。76 在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件B)之前，侦破人员根据过去之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某甲，比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人甲、乙、丙三人.甲甲乙乙丙丙P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情细但在知道案情细节后节后,这个估计这个估计就有了变化就有了变化.P(A1|B)知道知道B发生后发生后P(A2|B)P(A3|B)最大最大偏小偏小77注：注：样本空间划分的寻找样本空间划分的寻找1、直接找题目中概率相加等于、直接找题目中概率相加等于1的事件的事件;2、从问题分析，看影响问题的是什么事件。、从问题分析，看影响问题的是什么事件。已知已知“结果结果”求求“原因原因”全概率公式全概率公式寻找导致寻找导致 A 发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.贝叶斯公式是在观察到事件贝叶斯公式是在观察到事件 A 已发生的条件下，已发生的条件下，注：注：全概率公式是在已知导致事件全概率公式是在已知导致事件A 的每个原因发的每个原因发生的概率的条件下，求事件生的概率的条件下，求事件A 发生的概率。发生的概率。已知已知“原因原因”求求“结果结果”贝叶斯公式贝叶斯公式78练练 在电报系统中，不断发出“0”和“1”，发“0”和“1”的概率为0.6和0.4，发“0”分别以0.7,0.1和 0.2接受为“0”“1”和模糊信息“X”，发“1”分别以 0.85,0.05和 0.1接收“1”,“0”和模糊信息“X”，试求：收到信息为模糊信息的概率。收到模糊信息应该译成什么信息的最好。分析分析发信息 收信息“0”“0”0.7“1”0.1“X”0.20.6“1”“1”0.85“0”0.05“X”0.10.479解解设Ai 表示“发出的信息为“i”，i=0,1Bi 表示“收到的信息为“i”，i=0,1,X，所以应为“0”信息好。80第五节第五节 事件的相互独立性事件的相互独立性引例：引例：E 掷两枚硬币，观察正反面的情况A 甲币出现H，B 乙币出现H=HH，HT，TH，TTS由此看出81一一、两个事件相互独立、两个事件相互独立 定义定义1设A、B是两个事件，如果有如下等式成立则称事件A、B相互独立。定理定理 设 A、B是两个事件 若，则A、B 相互独立的充分必要条件为 若A、B 相互独立,82证证相互独立,则有反之，由乘法公式 若，则A、B 相互独立的充分必要条件为83性质性质 时，互不相容与相互独立不能同时成立。证证 A、B互不相容反之 A、B 相互独立，故A、B不可能互不相容。证：证：其余同理可证。当 若A、B 相互独立,则84二、二、多个事件的相互独立性多个事件的相互独立性若下面四个等式同时成立定义定义2则称A,B,C相互独立相互独立，如果只有前三个等式成立，则称A,B,C两两独立两两独立。注：注：A,B,C相互独立两两独立85反例：反例：现有四张卡片，第一张只写有1，第二张只写有2，第三张只写有3，第四张写有1,2,3三个数字，现从中任取一张卡片，卡片上出现数字情况。设 A 出现数字1，B出现数字2，C 出现数字3显然，P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)但是，P(ABC)P(A)P(B)P(C)86推广：推广：同时成立，87例例1、性质：性质：(1)其中任意k个事件也相互独立;若n个事件相互独立(2)其中任意k个事件的逆事件与其余的事件组成的n个 事件仍然相互独立。甲乙两人各自同时向一架飞机射击，两人的命中率分别为0.6，0.5，求飞机被命中的概率。解：解：A 甲击中飞机，B 乙击中飞机，C 飞机被击中=0.8注：注：判断独立性问题时，可以根据具体问题分析，或者题目会告知是否独立。88例例2、对于例1，或者利用利用德摩根律，把求和事件的概率转化为求积事件的概率，这种方法在解决独立性的问题中经常用到。设某型号高炮命中率为0.6，现若干门炮同时发射（每炮一发）,欲以99%以上的把握击中来犯的一架敌机，至少需要配备几门炮？解：解：设n为所需炮数，89所以至少需要配备6门高炮。90例例3 甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设甲、乙、丙甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设甲、乙、丙的命中率分别为的命中率分别为0.4、0.5、0.7，只一人击中飞机，飞机，只一人击中飞机，飞机被击落的概率为被击落的概率为0.2；两人同时击中，飞机被击落的概率；两人同时击中，飞机被击落的概率为为0.6；三人击中飞机，飞机被击落的概率为；三人击中飞机，飞机被击落的概率为1，求，求 “飞机被击落飞机被击落”的概率的概率 若飞机被击落，求它是两人同时击落的概率若飞机被击落，求它是两人同时击落的概率解解 设设A表示表示“飞机被击落飞机被击落”表示表示“飞机被飞机被i个人同时击中个人同时击中”i=1,2,3是是S的一个划分的一个划分91分别表示分别表示“甲、乙、丙命中甲、乙、丙命中”用全概率公式用全概率公式 设设A表示表示“飞机被击落飞机被击落”表示表示“飞机被飞机被i个人同时击中个人同时击中”i=0,1,2,39293 用用Bayes公式公式 若飞机被击落，求它是两人同时击中的概率若飞机被击落，求它是两人同时击中的概率94