概率论第三章.ppt
第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第1 1页页 目的：将多个随机变量放在一起讨论。重点：讨论两个随机变量间的关系。第三章 多维随机变量第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第2 2页页3.1 多维随机变量及其联合分布 3.2 随机变量的独立性 3.3 多维随机变量的特征数3.4 条件分布与条件期望3.5 中心极限定理 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第3 3页页 定义3.1.1 若X,Y是两个定义在同一个样本空间上的随 机变量，则称(X,Y)是两维随机变量。同理可定义 n 维随机变量(随机向量)。3.1 多维随机变量及其联合分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第4 4页页多维随机变量的例子(1)遗传学家很关心儿子的身高X和父亲的身高Y之间的关系，则（X,Y）就是一个二维随机变量。(2)经济学家非常关心每个家庭的支出在衣食住行上的花费占总收入的比例，则（X,Y,Z,W）就是一个四维的随机变量。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第5 5页页 定义3.1.2 3.1.2 联合分布函数F(x,y)=P(X x,Y y)为(X,Y)的联合分布函数。(以下仅讨论两维随机变量)任对实数 x 和 y,称注意：F(x,y)为(X,Y)落在点(x,y)的左下区域的概率第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第6 6页页X X1 1X X2 2x1x2X1x1X2x2 ,二维联合分布函数区域演示图(x1,x2)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第7 7页页联合分布函数的基本性质(1)F(x,y)关于 x 和 y 每个分量的非降函数。(2)0 F(x,y)1，且F(,y)=F(x,)0F(+,+)=1.(3)F(x,y)关于 x 和 y 分别右连续。(4)当ab,cd 时，有F(b,d)F(b,c)F(a,d)+F(a,c)0.注意：上式左边=P(aXb,cY d).(单调性)(有界性)(右连续性)(非负性)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第8 8页页联合分布函数的基本性质(5)关于边际分布函数：最后的结果是一维随机变量X的分布函数，我们称 为二维联合分布函数的边际分布函数或者简称边际分布。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第9 9页页 二维离散随机变量 3.1.3 多维离散随机变量若(X,Y)的可能取值为有限对、或可列对，则称(X,Y)为二维离散随机变量。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第1010页页二维离散分布的联合分布列称pij=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,.,为(X,Y)的联合分布列，其表格形式如下:YX Xy1 y2 y j x1x2x i p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 p i j 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第1111页页联合分布列的基本性质(1)pij 0.i,j=1,2,(2)pij =1.(非负性)(正则性)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第1212页页确定联合分布列的方法(1)确定随机变量(X,Y)的所有取值数对。(2)计算取每个数值对的概率。(3)列出表格。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第1313页页例 将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上的次数，Y表示反面朝上次数。求(X,Y)的联合分布列。X Y0 41 3 2 2 3 14 0P(X=0,Y=4)=P(X=2,Y=2)=1/4=6/16 P(X=3,Y=1)=1/4 P(X=4,Y=0)=0.54=1/16P(X=1,Y=3)=0.54=1/16解：概率非零的(X,Y)可能取值对为:其对应的概率分别为：第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第1414页页X01234Y 0 1 2 3 4列表为：0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第1515页页例例 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05求:(1)常数a的取值;(2)P(X0,Y1);(3)P(X1,Y1)解解 (1)由pij=1得:a=0.1(2)P(X0,Y1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X1,Y1)=0.75第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第1616页页设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)，若存在非负可积函数 p(x,y)，使得3.1.4 多维连续随机变量则称(X,Y)为二维连续型随机变量。称p(x,y)为联合密度函数。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第1717页页联合密度函数的基本性质(1)p(x,y)0.(非负性)(2)注意：(正则性)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第1818页页一、多项分布(P151 例3.1.4)常用多维分布 若每次试验有r 种结果：A1,A2,Ar记 P(Ai)=pi,i=1,2,r记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数。则(X1,X2,Xr)的联合分布列为：第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第1919页页二、多维超几何分布从中任取 n 只，记 Xi 为取出的n 只球中，第i 种球的只数。口袋中有 N 只球，分成 r 类。第 i 种球有 Ni 只，N1+N2+Nr=N.则(X1,X2,Xr)的联合分布列为：第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第2020页页三、二维均匀分布(P156 例3.1.6)若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：则称(X,Y)服从 D 上的均匀分布，记为(X,Y)U(D).其中SD为D的面积。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第2121页页四、二维正态分布 (P157 例3.1.7)若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：则称(X,Y)服从二维正态分布，记为 (X,Y)N().第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第2222页页第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第2323页页例 若(X,Y)试求常数 A。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第2424页页解:所以,A=6=A/6第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第2525页页例 子 3.1.5若(X,Y)试求 P X 2,Y 1。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第2626页页x xy yP X2,Y121x2,y1第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第2727页页课堂练习若(X,Y)试求 P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第2828页页322x+3y=6x xy y0第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第2929页页例 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为求概率PX+Y1.解:PX+Y1=y=xx+y=11/2第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第3030页页边际分布问题：巳知二维随机变量(X,Y)的分布，如何求出 X 和 Y 各自的分布？第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第3131页页边际分布列巳知(X,Y)的联合分布列为 pij，则 X 的分布列为：Y 的分布列为：第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第3232页页XY.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第3333页页边际密度函数巳知(X,Y)的联合密度函数为 p(x,y)，则 X 的密度函数为：Y 的密度函数为：第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第3434页页由联合分布可以求出边际分布。但由边际分布一般无法求出联合分布。所以联合分布包含更多的信息。注 意 点(1)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第3535页页二维正态分布的边际分布是一维正态：若(X,Y)N()，注 意 点(2)则 X N()，Y N()。二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第3636页页例例 设(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.05求:(1)X,Y的边缘分布;(2)X+Y的概率分布.解解:(1)由分析得:X -1 0 1P 0.25 0.4 0.35Y 0 1 2P 0.25 0.5 0.25(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3X+Y -1 0 1 2 3 P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第3737页页例 设随机向量(X,Y)服从区域 D=(x,y),x2+y2 1时，p(x,y)=0，所以 p(x)=0当|x|1时,不是均匀分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第3838页页例 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为求(X,Y)关于X,Y的边际密度.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第3939页页解解 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第4040页页即 同理可得X,Y的边际密度为一维正态分布.所以所以,边际密度为一维正态分布的二维随机向量不一定边际密度为一维正态分布的二维随机向量不一定是二维正态分布是二维正态分布.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第4141页页习 题习题3.1 第159页 1，3，4，7，12第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第4242页页 若满足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pipj iii)p(x,y)=pX(x)pY(y)则称 X 与Y 是独立的，3.2 随机变量的独立性第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第4343页页离散分布之例(X,Y)的联合分布列为:X01Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1问 X与Y 是否独立？解:边际分布列分别为:X 0 1P 0.7 0.3Y 0 1P 0.5 0.5因为所以不独立第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第4444页页连续分布之例已知(X,Y)的联合密度为 问 X 与Y 是否独立？所以X 与Y 独立。注意：p(x,y)可分离变量。解:边际分布密度分别为:第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第4545页页3.2.2 随机变量函数的独立性（1）X与Y相互独立，则f（X）与g（Y）亦独立。（2）常数c与任一随机变量相互独立。（3）X1，X2，Xn 相互独立，则（X1，X2，Xr）与（Xr1，Xn）相互独立，它们的函数亦相互独立。（4）若二维联合密度函数p（x，y）可分离为两个函数g（x）于h（y）的乘积，且g（x）的非0区域与y无关，h（y）的非0区域与x无关，则X与Y独立第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第4646页页(1)设(X1,X2,Xn)是n维离散随机变量，则 Z=g(X1,Xn)是一维离散随机变量。多维离散随机变量函数的分布(2)多维离散随机变量函数的分布是容易求的：i)对(X1,X2,Xn)的各种可能取值对，写出 Z 相应的取值。ii)对应Z 相同的取值，合并其对应的概率。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第4747页页3.2.3 最大值与最小值分布例3.2.1 设X与Y 独立，且 X,Y 等可能地取值 0和1。求 Z=max(X,Y)的分布列。解:X 0 1P 1/2 1/2Y 0 1P 1/2 1/2Z=max(X,Y)的取值为:0,1P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=1/4P(Z=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=3/4第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第4848页页设 X1,X2,Xn,独立同分布，其分布函数和密度函数分别为 FX(x)和 pX(x)。一般情况若记Y=max(X1,X2,Xn),Z=min(X1,X2,Xn)则Y 的分布函数为:FY(y)=FX(y)n Y 的密度函数为:pY(y)=nFX(y)n1 pX(y)Z 的分布函数为:FZ(z)=11 FX(z)n Z 的密度函数为:pZ(z)=n1 FX(z)n1 pX(z)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第4949页页3.2.4 卷积公式定理3.2.4 设连续随机变量X与Y 独立，则 Z=X+Y 的密度函数为第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第5050页页离散场合的卷积公式设离散随机变量 X 与 Y 独立，则 Z=X+Y 的分布列为第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第5151页页卷积公式的应用例：X与Y 是独立同分布的标准正态变量，求 Z=X+Y 的分布。解：所以 Z=X+Y N(0,2).第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第5252页页分布的可加性若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第5353页页二项分布的可加性若 X b(n1,p)，Y b(n2,p)，注意：若 Xi b(1,p)，且独立，则 Z=X1+X2+Xn b(n,p)。且独立，则 Z=X+Y b(n1+n2,p)。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第5454页页泊松分布的可加性若 X P(1)，Y P(2)，注意：X Y 不服从泊松分布。且独立，则 Z=X+Y P(1+2)。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第5555页页正态分布的可加性若 X N()，Y N()，注意：X Y 不服从 N()。且独立，则 Z=X Y N()。X Y N()。独立正态变量的线性组合仍为正态变量。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第5656页页独立正态变量的线性组合仍为正态变量Xi N(i,i2),i=1,2,.n.且 Xi 间相互独立,实数 a1,a2,.,an 不全为零,则第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第5757页页例3.2.3 设 X 与 Y 独立，XU(0,1),YExp(1).试求 Z=X+Y 的密度函数.解:被积函数的非零区域为：0 x0用卷积公式：(见下图)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第5858页页xz1z=x因此有(1)z 0 时pZ(z)=0;(2)0 z 1 时pZ(z)=(3)1 0，则当 n 充分大时，有第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第8484页页注 意 点第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第8585页页例3.5.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为100克，标准差为10克。一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解:设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi,则X1 独立同分布，且 E(Xi)=100，Var(Xi)=100，由中心极限定理得，所求概率为：=0.0002故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.(很小)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第8686页页例3.5.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解:设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 相互独立同分布，且 E(Xi)=9.62，Var(Xi)=0.82，故=0.99979第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第8787页页3.5.3 二项分布的正态近似定理3.5.2 德莫弗拉普拉斯中心极限定理设n 为服从二项分布 b(n,p)的随机变量，则当 n 充分大时，有是林德贝格勒维中心极限定理的特例。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第8888页页例3.5.3 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中 5 发的概率。解:设 X 表示命中的炮弹数,则X b(500,0.01)0.17635(2)应用正态逼近:P(X=5)=P(4.5 X 5.5)=0.1742第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第8989页页例例3.5.4 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%.随机抽查100户，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率.解解:设X 表示100户中被盗索赔户数，则X b(100,0.2)所求 P(14X30)=0.927第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第9090页页 二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正：注 意 点(1)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第9191页页 中心极限定理的应用有三大类：注 意 点(2)ii)已知 n 和概率，求y；iii)已知 y 和概率，求 n.i)已知 n 和 y，求概率；第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第9292页页一、给定 n 和 y，求概率例：100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i个部件正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第9393页页二、给定 n 和概率，求 y例：有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为y,则从Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.中解得第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第9494页页三、给定 y 和概率，求 n例：用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节目的收视率 p 的估计。要有 90 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？解：用根据题意Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则从中解得Yn 服从 b(n,p)分布，k 为Yn的实际取值。又由可解得n=271第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学1/21/20231/21/2023第第9595页页习 题习题 3.5 第224页 2，6，7，8，13
