33垂径定理.ppt
义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书浙江版浙江版浙江版浙江版数学数学数学数学九年级上册九年级上册九年级上册九年级上册请请观察下列三个银行标志有何共同点观察下列三个银行标志有何共同点?在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD,CD,CD,CD,然后沿着直径所在的直线把纸折叠然后沿着直径所在的直线把纸折叠然后沿着直径所在的直线把纸折叠然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什你发现了什你发现了什你发现了什么么么么?结论：结论：圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线每一条直径所在的直线每一条直径所在的直线每一条直径所在的直线都是对称轴。都是对称轴。都是对称轴。都是对称轴。强调：强调：1.1.圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴2.2.圆的对称轴有无数条圆的对称轴有无数条O O O OC CD D合作学习合作学习如图如图,AB,AB是是O O的一条弦的一条弦,CD,CD是是O O直径直径.O OC CD DA AB BE E(1)(1)该图是轴对称图形吗？该图是轴对称图形吗？(2)(2)能不能通过改变能不能通过改变ABAB、CDCD的位置关系的位置关系,使它成使它成为轴对称图形为轴对称图形?在刚才操作的基础上在刚才操作的基础上,再作一条和直径再作一条和直径CDCD垂直的弦垂直的弦AB,ABAB,AB与与CDCD相交于点相交于点E,E,然后沿着直径然后沿着直径CDCD所在的直线把纸折叠所在的直线把纸折叠,你发现哪些点你发现哪些点、线线、弧、弧、弧、弧互相重合互相重合?能够重合的圆弧叫做相等的圆弧能够重合的圆弧叫做相等的圆弧,那么在右图中那么在右图中,哪些圆弧相等哪些圆弧相等?请用命题的形式表述你的结论请用命题的形式表述你的结论.A AB BE EO O O OC CD D分一条弧成相等的两条弧的点分一条弧成相等的两条弧的点,叫叫做这条做这条弧的中点弧的中点.ABCDOE归纳得出归纳得出：垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧分弦所对的弧定理的几何语言定理的几何语言CD为直径，为直径，CDAB EA=EB，AC=BC，AD=BDOCABOCAB条件条件CD为直径为直径CDABCD平分弧平分弧ADBCD平分弦平分弦ABCD平分弧平分弧A B结论结论理由如下：理由如下：OEA=OEB=RtOEA=OEB=Rt，根据圆的轴对称性，可得射线根据圆的轴对称性，可得射线EAEA与与EBEB重合，重合，点点A A与点与点B B重合，弧重合，弧ACAC和弧和弧BCBC重合，弧重合，弧ADAD和弧和弧BDBD重合重合 EA=EBEA=EB，AC=BCAC=BC，AD=BDAD=BD 思考：思考：你能利用等腰三角形的性质，说明你能利用等腰三角形的性质，说明OCOC平分平分ABAB吗吗？O O O OC CD DA AB BE E已知：已知：CD为直径，为直径，CDAB求证：求证：EA=EB，AC=BC，AD=BD OABCDMOABCMOABMOABCDM辨一辨辨一辨ABCODE辨一辨辨一辨 如图，如图，ABAB是是0 0的直径，的直径，CDCD为弦，为弦，CDABCDAB于于E E，则下列结论中不一定成立的是（，则下列结论中不一定成立的是（）A ACOE=DOE BCOE=DOE BCE=DE CE=DE C COE=BE DOE=BE DBD=BCBD=BC C C 如图，如图，ABAB是是ABAB所对的弦，所对的弦，ABAB的垂直平分线的垂直平分线DGDG交交ABAB于点于点D D，交，交ABAB于点于点G G，给出下列结论：给出下列结论：AG=BGAG=BG DGABDGAB其中正确的是其中正确的是_（只需填写序号）（只需填写序号）BD=ADBD=AD辨一辨辨一辨例例例例1 1 1 1、如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径OB=10OB=10OB=10OB=10，水面宽水面宽水面宽水面宽AB=16AB=16AB=16AB=16。求截面圆心求截面圆心求截面圆心求截面圆心O O O O到水面的距离。到水面的距离。到水面的距离。到水面的距离。C C10108 88 8解解:作作OCABOCAB于于C,C,由定理得由定理得:AC=BC=1/2AB=0.5AC=BC=1/2AB=0.516=816=8 由勾股定理得由勾股定理得:圆心到圆的一条弦的距离叫做圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距弦心距如上图中的如上图中的OCOC的的长长就是弦就是弦ABAB的弦心距的弦心距答答:截面圆心截面圆心O O到水面的距离为到水面的距离为6 6。变式：变式：变式：变式：如图，一条排水管的截面。已知水面宽如图，一条排水管的截面。已知水面宽如图，一条排水管的截面。已知水面宽如图，一条排水管的截面。已知水面宽AB=16AB=16AB=16AB=16，水深为，水深为，水深为，水深为4 4 4 4，求排水管的半径。，求排水管的半径。，求排水管的半径。，求排水管的半径。D DC C10108 88 8例例2 2、已知已知ABAB如图，用直尺和圆规求作这条弧如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点。的中点。E E1.1.连结连结AB;AB;2.2.作作ABAB的垂直平分线的垂直平分线CD,CD,交交ABAB与点与点E;E;作法作法:点点E E就是所求就是所求ABAB的中点的中点.分析分析:要平分要平分AB,AB,只要画垂直于弦只要画垂直于弦ABAB的直径的直径.而这条直径应在弦而这条直径应在弦ABAB的垂的垂直平分线上直平分线上.因此画因此画ABAB的垂直平分的垂直平分线就能把线就能把ABAB平分平分.变式变式一：一：求弧求弧ABAB的四等分点的四等分点CDABEFGmn求弧求弧ABAB的四等分点的四等分点C CD DA AB BF FG G错在错在哪里？哪里？1 1作作ABAB的垂直平分线的垂直平分线CDCD2 2作作ATAT、BTBT的垂直平分线的垂直平分线EFEF、GHGH强调：强调：等分弧时一定要作等分弧时一定要作弧所对的弦弧所对的弦的垂的垂直平分线直平分线变式变式二：你能确定弧二：你能确定弧ABAB所在圆的圆心吗？所在圆的圆心吗？OABC ab方法：只要在圆弧方法：只要在圆弧上任意取三点，连上任意取三点，连结两条弦，画这两结两条弦，画这两条弦的垂直平分线，条弦的垂直平分线，交点即为圆弧所在交点即为圆弧所在圆的圆心圆的圆心画一画画一画OM M 1 1、如如图图,M,M为为O O内内的的一一点点,利利用用尺尺规规作作一一条条弦弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且使并且使AM=BM.AM=BM.你能画过点你能画过点M M最长的弦呢最长的弦呢?你还能画过点你还能画过点M M最短的弦呢最短的弦呢?例例3 3、已知：如图，线段、已知：如图，线段ABAB与与O O交于交于C C、D D两点，两点，且且OA=OB OA=OB 求证：求证：AC=BD AC=BD 证明证明:作作OMABOMAB，垂足为垂足为M,M,则则CM=DM CM=DM OA=OB OA=OB OMABOMAB AM=BM AM=BM AM-CM=BM-DMAM-CM=BM-DM即即AC=BDAC=BDOABCMD1 1 1 1、已知、已知、已知、已知O O O O的的的的半径为半径为半径为半径为13cm13cm13cm13cm，圆心圆心O O到到弦弦弦弦ABAB的弦心距的弦心距为为为为5cm5cm5cm5cm，求求求求弦弦弦弦ABAB的长。的长。的长。的长。2 2、在半径为、在半径为5050的圆的圆O O中，有长中，有长5050的弦的弦ABAB，计算：计算：点点O O与与ABAB的距离；的距离；AOBAOB的度数。的度数。3 3、过、过O O内一点内一点M M的最长弦长为的最长弦长为10cm10cm，最短弦长为最短弦长为8cm8cm，那么那么OMOM长为（长为（）A A3 B3 B6cm C6cm C cm Dcm D9cm 9cm A A4 4、如图，、如图，O O的直径为的直径为1010，弦，弦ABAB长为长为8 8，M M是弦是弦ABAB上上的动点，则的动点，则OMOM的长的长的取值范围是（的取值范围是（）A A3OM5 B3OM5 B4OM5 4OM5 C C3OM5 D3OM5 D4OM54OM5ABOMA A5 5、已知、已知O O的半径为的半径为1010，弦，弦ABCDABCD，AB=12AB=12，CD=16CD=16，则，则ABAB和和CDCD的的距离为距离为 2 2或或14146 6、如图，已知、如图，已知ABAB、ACAC为弦，为弦，OMABOMAB于点于点M M，ONACONAC于点于点N N，BC=4BC=4，求，求MNMN的长的长A AC CO OM MN NB B3 33 31 17 7、已知：如图，、已知：如图，O O中，中，ABAB为弦，为弦，OCABOCAB，OCOC交交ABAB于于D D，AB=6cm AB=6cm，CD=1cm.CD=1cm.求求O O的半径的半径.8 8、在圆、在圆O O中，直径中，直径CEABCEAB于于D D，OD=4OD=4，弦，弦AC=AC=，求圆求圆O O的半径。的半径。、本节课主要内容：、本节课主要内容：2 2、垂径定理的应用：垂径定理的应用：3 3、解题的主要方法：解题的主要方法：（2 2）半径（）半径（r)r)、半弦、弦心距半弦、弦心距(d)(d)组成的直角组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：之间的关系：（1 1）画弦心距是圆中常见的辅助线；画弦心距是圆中常见的辅助线；谈谈你的收获、感受！谈谈你的收获、感受！（1 1）圆的轴对称性；（）圆的轴对称性；（2 2）垂径定理）垂径定理（1 1）作图；（）作图；（2 2）计算和证明）计算和证明1 1、如图，如图，CDCD为圆为圆O O的直径，弦的直径，弦ABAB交交CDCD于于E E，CEB=30CEB=30，DE=9DE=9，CE=3CE=3，求弦求弦ABAB的的长。长。2 2、已知：如图，在以、已知：如图，在以O O为圆心的两个同心圆中，大圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦的弦ABAB交小圆于交小圆于C C，D D两点。两点。求证：求证：ACACBDBD。E.ACDBO3 3、已知：如图，在以、已知：如图，在以O O为圆心的两个同心圆中，大圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦的弦ABAB交小圆于交小圆于C C，D D两点。两点。求证：求证：ACACBDBD。E E.ACDBO4 4、已知：如图在、已知：如图在O O中，弦中，弦AB/CDAB/CD。求证：求证：AC=BDAC=BD 再见再见2 2、过已知、过已知O O内的一点内的一点A A作弦作弦,使使A A是该弦的中点是该弦的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点然后作出弦所对的两条弧的中点B BC CBCBC就是所要求的弦；点就是所要求的弦；点D D、E E就是所要求的弦所对的两条就是所要求的弦所对的两条弧的中点中点；弧的中点中点；D DE E画一画画一画
