6线性空间与线性变换.ppt

第六章第六章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换第一节线性空间的定义与性质第一节线性空间的定义与性质第二节维数、基与坐标第二节维数、基与坐标第三节基变换与坐标变换第三节基变换与坐标变换第四节线性变换第四节线性变换第五节线性变换的矩阵第五节线性变换的矩阵6.1线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质定义定义1设设V是一个非空集合，是一个非空集合，R为实数域，如果为实数域，如果对任意两个元素对任意两个元素V，总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素V与之对应，称为与之对应，称为的和的和，记作，记作；对于任；对于任一个数一个数kR与任一个元素与任一个元素V，总有唯一的一个总有唯一的一个元素元素V与之对应，称为与之对应，称为k与与的积的积，记为，记为两种运算满足以下两种运算满足以下八条运算规律八条运算规律（对任意（对任意V,R）：）：返回返回上一页上一页下一页下一页 V就称为就称为R上的上的向量空间向量空间(或或线性空间线性空间),V中的元素中的元素称为称为(实实)向量向量(上面的实数域上面的实数域R也可为一般数域也可为一般数域).(3)在在V中有一个元素中有一个元素0(叫做叫做零元素零元素)，使对任，使对任何何V，都有都有；(4)对任何对任何V，都有都有V中的元素中的元素,使使（称为称为的的负元素负元素）；）；返回返回上一页上一页下一页下一页凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法，称凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法，称为为线性运算线性运算；凡定义了线性运算的集合，称为向量空；凡定义了线性运算的集合，称为向量空间（或线性空间）。间（或线性空间）。向量不一定是有序数组；向量不一定是有序数组；向量空间向量空间V对加法与数量乘法（数乘）封闭；对加法与数量乘法（数乘）封闭；向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算。一定是有序数组的加法及数乘运算。例例实数域实数域R上次数不超过上次数不超过n的多项式的全体，记的多项式的全体，记为为Pxn，即，即Pxn=anxn+a1x+a0|an,an-1,a1,a0RP对于通常的多项式加法、多项式数乘构成对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上上的向量空间。的向量空间。返回返回上一页上一页下一页下一页例例实实数数域域R上上次次数数n的的多多项项式式的的全全体体，记记为为W，即即W=anxn+an-1xn-1+a1x+a0|an,an-1,a1,a0R，且且an0。W对对于于通通常常的的多多项项式式加加法法、多多项项式式数数乘乘不不构构成成R上上的的向向量空间。量空间。例例n个有序实数组成的数组的全体个有序实数组成的数组的全体 Sn=x=(x1,x2,xn)|x1,x2,xnR对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘 k(x1,x2,xn)=(0,0,0)不构成不构成R上的向量空间。上的向量空间。返回返回上一页上一页下一页下一页因为因为0(anxn+a1x+a0)=0 W，即，即W对数乘不封闭。对数乘不封闭。因为因为1x=0，不满足运算规律（不满足运算规律（5）对对数乘封数乘封闭闭：对对任意任意kR,aR，有，有kaakR；例例正正实实数的全体，数的全体，记记作作R，定，定义义加法、数乘运算加法、数乘运算为为 a b=ab(a,bR)，ka=ak（kR,aR+）.验证验证R+对对上述加法与数乘运算构成上述加法与数乘运算构成R上的上的线线性空性空间间.证证实际实际上要上要验证验证十条十条.对对加法封加法封闭闭：对对任意任意a,bR，有，有a babR；(3)R+中的元素中的元素1满足：满足：（1叫做叫做R+的零元素）；的零元素）；返回返回上一页上一页下一页下一页(4)对任何对任何aR+，有，有（a-1叫做叫做a的负元素）；的负元素）；因此，因此，R对于上面定义的运算构成对于上面定义的运算构成R上的线性空间上的线性空间.返回返回上一页上一页下一页下一页性质性质零元素是唯一的。零元素是唯一的。假设假设01,02是线性空间是线性空间V中的两个零元素，即对任何中的两个零元素，即对任何V，有，有01，02，于是特别有，于是特别有020102，010201故故010102020102性质性质任一元素的负元素是唯一的。任一元素的负元素是唯一的。（的负元素记作的负元素记作）假设假设有两个负元素有两个负元素与与，即，即返回返回上一页上一页下一页下一页于是于是性质性质因为因为所以所以又因为又因为所以所以而而返回返回上一页上一页下一页下一页 定义定义2 R上线性空间上线性空间V的一个非空子集合的一个非空子集合W,如果如果对于对于V的两种运算也构成数域的两种运算也构成数域R上的线性空间，称上的线性空间，称W为为V的的线性子空间线性子空间（简称（简称子空间子空间）。）。定理定理1线性空间线性空间V的非空子集的非空子集W构成构成V的子空间的子空间的充分必要条件是的充分必要条件是W对于对于V中的两种运算封闭。中的两种运算封闭。性质性质4如果如果,那么那么或者或者。假设假设，那么，那么返回返回上一页上一页下一页下一页例例在全体实函数组成的线性空间中，所有实系在全体实函数组成的线性空间中，所有实系数多项式组成数多项式组成V的一个子空间的一个子空间.6.2维数、基与坐标维数、基与坐标如果在如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就称为就称为无限维无限维的。的。维数为维数为n的线性空间称为的线性空间称为n维线性空间维线性空间，记作，记作Vn。(2)V 中任一元素中任一元素都可由都可由线性表示，线性表示，那么，那么，就称为线性空间就称为线性空间V 的一个基，的一个基，n称为线称为线性空间性空间V的维数。的维数。(1)线性无关；线性无关；返回返回上一页上一页下一页下一页 定义定义3 在线性空间在线性空间V 中，如果存在中，如果存在n个元素个元素满足：满足：这样，这样，Vn的元素与有序数组的元素与有序数组(x1,x2,xn)之间存在之间存在着一种一一对应关系，因此可用这组有序数来表示着一种一一对应关系，因此可用这组有序数来表示.若知若知为为V的一个基，则对任何的一个基，则对任何，都有一组有序数都有一组有序数x1,x2,xn使：使：并且这组数是唯一的并且这组数是唯一的(否则否则线性相关线性相关)。反之，任给一组有序数反之，任给一组有序数x1,x2,xn，可唯一确定可唯一确定Vn中元素：中元素：返回返回上一页上一页下一页下一页 定义定义4 设设是线性空间是线性空间Vn的一个基，对的一个基，对于任一元素于任一元素，有且仅有一组有序数，有且仅有一组有序数x1,x2,xn使使x1,x2,xn这组有序数就称为这组有序数就称为在基在基下的下的坐标坐标，记作，记作(x1,x2,xn)。返回返回上一页上一页下一页下一页例例在线性空间在线性空间Px3中，中，就是就是Px3的一个基，的一个基，Px3的维数是的维数是4，Px3中的任一多中的任一多项式项式可写成可写成因此因此 f(x)在基在基下的坐标为下的坐标为返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页 于是于是返回返回上一页上一页下一页下一页在线性空间在线性空间Vn中取定一个基中取定一个基，则，则Vn中中的向量的向量与与n维数组向量空间维数组向量空间Rn中的向量中的向量(x1,x2,xn)之间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持之间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线线性组合的对应性组合的对应，即设，即设一般地，设一般地，设V与与U是是R上的两个线性空间，如果在上的两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间持线性组合的对应，那么就说线性空间V与与U同构。同构。返回返回上一页上一页下一页下一页Vn与与Rn有相同的结构，称为有相同的结构，称为Vn与与Rn同构同构。则则同构主要是保持线性运算的对应关系同构主要是保持线性运算的对应关系，因此，因此，Vn中的线性运算就可转化为中的线性运算就可转化为Rn中的线性运算，并中的线性运算，并且且Rn中凡只涉及线性运算的性质都适用于中凡只涉及线性运算的性质都适用于Vn，但，但Rn中超出线性运算的性质，在中超出线性运算的性质，在Vn中就不一定具备，中就不一定具备，如内积。如内积。定理定理2 R上的两个有限维线性空间同构当且仅上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等。当它们的维数相等。返回返回上一页上一页下一页下一页6.3基变换与坐标变换基变换与坐标变换不同基与不同的坐标之间的关系不同基与不同的坐标之间的关系 设设 及及 是线性空是线性空间间Vn的两个基，且的两个基，且 返回返回上一页上一页下一页下一页(6-1)上两式称为上两式称为基变换公式基变换公式.或表示为或表示为矩阵矩阵C 称为由基称为由基到基到基的的过渡矩阵过渡矩阵，C一定是可逆矩阵。一定是可逆矩阵。返回返回上一页上一页下一页下一页(6-2)定理定理3设设Vn中的元素中的元素 在基在基 下的坐下的坐标为（标为（），），在基在基 下的坐标为下的坐标为（），），若两个基满足基变换公式（若两个基满足基变换公式（6-2）,则有坐标变换公式则有坐标变换公式 返回返回上一页上一页下一页下一页(6-3)证证因因而而线线性无关，故即有关系式性无关，故即有关系式(6-3).返回返回上一页上一页下一页下一页例例在线性空间在线性空间Px3中的元素中的元素在基在基下的坐标为下的坐标为在基在基下的坐标为下的坐标为则则与与有何关系？有何关系？解解返回返回上一页上一页下一页下一页故故返回返回上一页上一页下一页下一页6.4线性变换线性变换定义定义5设设A、B是两非空集合，如果对于是两非空集合，如果对于A中的中的任一元素任一元素，按照一定的法则，总有，按照一定的法则，总有B中的一个确定的中的一个确定的元素元素与之对应，那么这个法则称为从集合与之对应，那么这个法则称为从集合A到集合到集合B的的映射映射，如果，如果A=B，A到到A的映射称为的映射称为A的变换的变换。映射常用映射常用 表示，表示，A的变换常用的变换常用T 表示。表示。A到到B的映射的映射 使使B中的中的与与A中的中的对应，就记对应，就记称为称为在映射在映射 下的下的像像，称为称为在在 下的下的原像原像.返回返回上一页上一页下一页下一页 的像的全体构成的集合称为的像的全体构成的集合称为 的像集的像集，记作，记作(A)，即，即返回返回上一页上一页下一页下一页例例设设A=R,B=R+,(x)=x2+3是是R到到R+的一个映的一个映射射,它把它把x 映射到映射到x2+3,7是是-2在在下的像下的像.例例 在线性空间在线性空间Px3中，微分运算中，微分运算D是一个线性变换。是一个线性变换。定义定义6设设U,V是是R上的两个线性空间，上的两个线性空间，是是V到到U上的一个映射，如果上的一个映射，如果 满足满足当当V=U时，时，V到到U的线性映射称为的线性映射称为V的的线性变换线性变换。返回返回上一页上一页下一页下一页那么，那么，就称为就称为V 到到U的的线性映射线性映射。例例由关系式由关系式确定确定xOy平面上的一个平面上的一个线线性性变换变换，T把任一向量按逆把任一向量按逆时针时针方向旋方向旋转转角。角。例例在在线线性空性空间间R3中，中，变换变换验证验证T不是不是R3的的线线性性变换变换.返回返回上一页上一页下一页下一页线性变换的性质线性变换的性质(4)线性变换线性变换T的像集是的像集是V的的子空间子空间，称为，称为T的的像空间像空间。(3)若若线性相关，则线性相关，则也线性相关。也线性相关。也是也是V的子空间，称为线性变换的子空间，称为线性变换T的的核核，记为，记为T-1(0).返回返回上一页上一页下一页下一页例例设有设有n阶方阵阶方阵返回返回上一页上一页下一页下一页证证返回返回上一页上一页下一页下一页解空间解空间.6.5线性变换的矩阵线性变换的矩阵(1)设设是线性空间是线性空间Vn的一个基，如果的一个基，如果Vn的线性变换的线性变换T与与T在这组基上的作用相同，即在这组基上的作用相同，即那么，那么，T=T.证证T与与T相等的意义是它们对相等的意义是它们对Vn的每个向量的的每个向量的作用相同，即作用相同，即返回返回上一页上一页下一页下一页(2)设设是线性空间是线性空间Vn的一个基，对于的一个基，对于Vn任意一组向量任意一组向量，一定有一个线性变换，一定有一个线性变换T使使证证设设，作变换，作变换T容易验证容易验证T是是Vn的线性变换，且的线性变换，且返回返回上一页上一页下一页下一页定理定理4设设是线性空间是线性空间Vn的一个基，的一个基，是是Vn中任意中任意n个向量，则存在唯一的线个向量，则存在唯一的线性变换性变换T使使定义定义7设设是线性空间是线性空间Vn的一个基，的一个基，T是是Vn的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出：的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出：返回返回上一页上一页下一页下一页用矩阵来表示用矩阵来表示其中其中 矩阵矩阵A称为称为T在基在基下的矩阵下的矩阵。因因线性无关，线性无关，aij是由是由T 唯一确定的。唯一确定的。可见可见A由由T唯一确定。唯一确定。返回返回上一页上一页下一页下一页给定一个方阵给定一个方阵A，定义变换定义变换T:T是由是由n阶矩阵阶矩阵A确定的线性变换，且确定的线性变换，且T在基在基下的矩阵是下的矩阵是A.在在Vn中取定一个基后，中取定一个基后，Vn的线性变换与的线性变换与n阶矩阶矩阵之间，有一一对应的关系。阵之间，有一一对应的关系。返回返回上一页上一页下一页下一页例例在在Px3中，取基中，取基，求微分运算求微分运算D（线性变换）在这个基下的矩阵。线性变换）在这个基下的矩阵。返回返回上一页上一页下一页下一页解解例例在在R3中，取基中，取基e1(1，0，0)，e2(0，1，0)，e3(0，0，1)，表示将向量投影到表示将向量投影到yOz平面的平面的线线性性变换变换，即，即 T(xe1ye2ze3)ye2ze3.(1)求求T在基在基e1,e2，e3下的矩下的矩阵阵；(2)取基取基为为求求T在该在该基下的矩阵基下的矩阵.解解(1)Te1(e10 e20 e3)0，Te2(0 e1e20 e3)e2，Te3(0 e10 e2e3)e3，返回返回上一页上一页下一页下一页即即所以所以在基在基下的矩下的矩阵为阵为：返回返回上一页上一页下一页下一页(2)由由即即返回返回上一页上一页下一页下一页定理定理5设线性空间设线性空间Vn的线性变换的线性变换T在两组基在两组基下的矩阵分别为下的矩阵分别为A和和B，从基从基到到的过渡矩阵为的过渡矩阵为P，则则B=P-1AP(此时，称此时，称A与与B相似相似)。返回返回上一页上一页下一页下一页证证由假由假设设，有，有P可逆，以及可逆，以及于是于是返回返回上一页上一页下一页下一页因因线性无关，所以线性无关，所以返回返回上一页上一页下一页下一页例例在在R3中，取基中，取基e1(1，0，0)，e2(0，1，0)，e3(0，0，1)，表示将向量投影到表示将向量投影到yOz平面的平面的线线性性变换变换，即，即 T(xe1ye2ze3)ye2ze3.(1)求求T在基在基e1,e2，e3下的矩下的矩阵阵；(2)取基取基为为求求T在该在该基下的矩阵基下的矩阵.解解T在基在基下矩下矩阵为阵为的的过过渡矩渡矩阵阵返回返回上一页上一页下一页下一页定义定义8线性变换线性变换T的像空间的像空间T(Vn)的维数，称为的维数，称为T的秩的秩；T的核的核T-1(0)的维数，称为的维数，称为T的零度的零度。定义定义9线性变换线性变换T在一个基下的矩阵在一个基下的矩阵A的特征值，的特征值，称为称为T的特征值的特征值。因相似矩阵的特征值相同，故线性变换因相似矩阵的特征值相同，故线性变换T的的特征值与基的选择无关，类似于矩阵，可讨论线特征值与基的选择无关，类似于矩阵，可讨论线性变换的特征值与特征向量。性变换的特征值与特征向量。显然，若显然，若A是是T在一个基下的矩阵在一个基下的矩阵，则则T的秩就是的秩就是R(A)。若若T的秩为的秩为r，则则T的零度为的零度为n-r。返回返回上一页上一页下一页下一页