04第八章 第4节多元复合函数求导法则 同济大学.ppt

1第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则一元复合函数求导法则推广（1）多元复合函数求导的链式法则（2）多元复合函数的全微分微分法则2一一.复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则定理定理 如果函数 都在点 可导,函数在点 处可微,在点则复合函数证证:设 t 取增量则相应中间变量有增量可导,且有链式法则3令 ,则有(全导数公式全导数公式)时,根式前加“”号)4推广推广:1）中间变量多于两个的情形。例如则在它们都可微的条件下在它们都可微的条件下2）中间变量是多元函数的情形。例如则在它们都可微的条件下在它们都可微的条件下5又如当它们 都具有可微条件时，则有注意注意:这里表示固定 y 对 x 求导表示固定 v 对 x 求导口诀口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同6例例1.设设求 .解解：7例例2.求解解:8例例 3.设 求全导数解解:9解解令令记记同理有同理有10于是于是111213二二.复合函数的全微分复合函数的全微分设函数的全微分为这说明,无论 u,v 是自变量还是中间变量,其全微分表达式一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.则复合函数都可微,14例例 6.解解:所以15内容小结内容小结一.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,二.全微分形式不变性不论是自变量还是因变量,1617