11.2 矩阵与线性变换.ppt

.矩阵的初步概念矩阵的初步概念 与线性变换与线性变换矩阵概念的引入矩阵概念的引入线性变换与矩阵的关系线性变换与矩阵的关系矩阵的乘法矩阵的乘法1一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入几个引例几个引例（）考察三位同学上学期无机、高数两门课程）考察三位同学上学期无机、高数两门课程的成绩：的成绩：无机无机高数高数甲乙丙甲乙丙上面的数表完全刻画了三位同学的考试情况上面的数表完全刻画了三位同学的考试情况2系数系数常数项常数项（）线性方程组）线性方程组解的解的情况完全取决于情况完全取决于对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.线性方程组的系数和常数项按原相对位置可排为线性方程组的系数和常数项按原相对位置可排为3（）四种食品（）四种食品(Food)(Food)在三家商店在三家商店(Shop)(Shop)中中,单位单位量的售价量的售价(以某种货币单位计以某种货币单位计)可用以下数表给出可用以下数表给出在在科学技术领域和生活实践中，许多对象都可科学技术领域和生活实践中，许多对象都可以采用上边的数表形式表示，进而进行研究以采用上边的数表形式表示，进而进行研究4矩阵的定义矩阵的定义简记为简记为横排称行，纵排称列；横排称行，纵排称列；称为第行第列的称为第行第列的元素元素5例如：例如：是是一个一个矩阵；矩阵；是一个是一个n(n+)矩阵；矩阵；是一个是一个3矩阵；矩阵；6一些特殊矩阵一些特殊矩阵:实实矩阵矩阵:元素都是实数元素都是实数.复复矩阵矩阵:有些元素是复数有些元素是复数.同型矩阵：同型矩阵：行数相同，列数相同的几个矩阵行数相同，列数相同的几个矩阵例如：例如：是一个是一个 实矩阵实矩阵,是一个是一个 复矩阵复矩阵,为为同型矩阵同型矩阵.7n阶（级）矩阵：阶（级）矩阵：行行矩阵（向量）：矩阵（向量）：n矩阵矩阵列列矩阵（向量）：矩阵（向量）：n矩阵矩阵nn矩阵，记作矩阵，记作零零矩阵：矩阵：元素全为的矩阵，记作元素全为的矩阵，记作或或是一个三阶方（矩）阵；是一个三阶方（矩）阵；注意：注意：不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如：例如：8对角矩阵：对角矩阵：除除主对角线上有非零元素外，其余的非主对角线上有非零元素外，其余的非主对角线上的元素都是的方阵主对角线上的元素都是的方阵数量矩阵：数量矩阵：主主对角线上元素都相等的对角矩阵对角线上元素都相等的对角矩阵9单位矩阵：单位矩阵：主主对角线上元素全为的对角矩阵对角线上元素全为的对角矩阵对称矩阵：对称矩阵：的的方阵方阵反对称矩阵：反对称矩阵：的的方阵方阵记作或记作或注意：注意：反对称矩阵的对角反对称矩阵的对角线上的元素一定是线上的元素一定是10相等矩阵：相等矩阵：两个两个同型矩阵同型矩阵的对应行对应列的元素相等的对应行对应列的元素相等例例 设设解解行列式与矩阵的区别行列式与矩阵的区别:1.1.一个是算式一个是算式 ，一个是数表，一个是数表2.2.一个行、列数相同一个行、列数相同 ,一个行、列数可不同一个行、列数可不同.3.3.对对 n n 阶方阵可求它的行列式阶方阵可求它的行列式.记为记为:11二、线性变换及其矩阵二、线性变换及其矩阵定义定义n个变量个变量与与m个变量个变量之间的关系之间的关系线性变换线性变换.一般来说一般来说,12对对线性变换来说，与矩阵有密切的关系线性变换来说，与矩阵有密切的关系系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间是相互唯一确定的线性变换与矩阵之间是相互唯一确定的称之为线性称之为线性变换的矩阵变换的矩阵13这样对线性变换的讨论就可转化为对相应矩阵的讨论这样对线性变换的讨论就可转化为对相应矩阵的讨论下面我们看几个简单的却是重要的线性变换下面我们看几个简单的却是重要的线性变换（）表示平面上绕坐标原表示平面上绕坐标原点的一个旋转变换点的一个旋转变换Oxy是变换是变换的矩阵的矩阵表示关于表示关于x轴的反射（反映）轴的反射（反映）表示关于原点的中心反射（反映）表示关于原点的中心反射（反映）14（）xOyz表示空间一点绕表示空间一点绕z轴的轴的一个旋转变换一个旋转变换是是关于关于xoy面的面的(镜面镜面)反射变换反射变换是是关于关于ox轴的反映轴的反映.自己写出这些变换的矩阵自己写出这些变换的矩阵.15关于线性变换的进一步的话题关于线性变换的进一步的话题:新变量与旧变量的个数相同时的线性变换是我们用的新变量与旧变量的个数相同时的线性变换是我们用的最多的最多的,比如刚才的几个例子比如刚才的几个例子.一般一般n个变量的线性变个变量的线性变换的形式为换的形式为其其矩阵为矩阵为n阶方阵阶方阵以以这些元素为元素的行列式称为变换的行列式这些元素为元素的行列式称为变换的行列式.16如果变换的行列式如果变换的行列式称称相应的线性变换是非奇异相应的线性变换是非奇异的的,或非退化的或非退化的,或是一一变换或是一一变换.否则就是奇异的或退化的否则就是奇异的或退化的.如果线性变换的矩阵是单位矩阵如果线性变换的矩阵是单位矩阵,则称为恒等变换则称为恒等变换.你能你能写出写出n个变量的恒等变换的表达式吗个变量的恒等变换的表达式吗?下面谈谈连续施行两个变换的问题下面谈谈连续施行两个变换的问题假如对空间的任意点假如对空间的任意点先绕先绕z轴旋转角度轴旋转角度变为点变为点再再作对作对xoy面的镜面反射面的镜面反射(反映反映)，变为点变为点则则我们要求的是我们要求的是间的间的关系关系17绕绕z轴的旋转变换的表达式轴的旋转变换的表达式的的反映可表为反映可表为把把前一式代入后一式，得前一式代入后一式，得18其中其中可由可由下列方法得到：下列方法得到：19一般地，一般地，的线性变换为的线性变换为到到到到的的线性变换为线性变换为把把第一个式子中的变量第一个式子中的变量y代入第二个式子，得到的是代入第二个式子，得到的是变量变量x与与z的关系，具有形式的关系，具有形式20变换是连续施行变换和的结果，称为变换是连续施行变换和的结果，称为的的乘积，记作乘积，记作其中其中（注意书写顺序！）（注意书写顺序！）即即矩阵矩阵C的第的第k行第行第j列的元素等于矩阵列的元素等于矩阵B的第的第k行与矩阵行与矩阵A的第的第j列的对应元素的乘积之和列的对应元素的乘积之和对应于线性变换的乘积，我们把矩阵称为矩阵对应于线性变换的乘积，我们把矩阵称为矩阵与矩阵的乘积，记作与矩阵的乘积，记作21例例如如例例例例求求AB22解解注意注意:只有当只有当第一个矩阵的列数第一个矩阵的列数等于等于第二个矩阵的第二个矩阵的行数行数时，两个矩阵才能相乘时，两个矩阵才能相乘.一个一个pm矩阵与一个矩阵与一个mn矩阵的乘积是一矩阵的乘积是一个个pn矩阵矩阵23例如例如是是不能相乘的不能相乘的而而一阶一阶矩阵矩阵此例此例说明矩阵的乘法不满足交换律，即一般地说明矩阵的乘法不满足交换律，即一般地例例24矩阵乘法满足的运算规律：矩阵乘法满足的运算规律：()()();1BCACAB=结合律结合律（其中其中 为数）为数）;矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律特别特别注意：注意：矩阵乘法不满足消去律，即矩阵乘法不满足消去律，即25 若若A是是n 阶方阵，阶方阵，则则 为为A的的 次幂，即次幂，即 方阵方阵的幂：的幂：并且并且例如：例如：有有但是但是同时同时26思考：思考：在在什么条件下，有下列式子成立？什么条件下，有下列式子成立？27线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示对于线性变换对于线性变换如果令如果令则则线性变换线性变换可表为可表为两个线性变换两个线性变换的的乘积就可表示为乘积就可表示为多么简洁啊！多么简洁啊！28例例求求变换变换的乘积的乘积解变换解变换的的矩阵分别为矩阵分别为29最后我们给出最后我们给出n阶方阵的行列式的定理结束本节阶方阵的行列式的定理结束本节定理定理 两个两个n阶方阵的乘积的行列式等于阶方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积这两个方阵的行列式的乘积即即方方阵阵例例易知易知故故30刚才我们已经知道，对两个刚才我们已经知道，对两个n阶方阵来说阶方阵来说那么，请问那么，请问吗？吗？31