数学教学的水平.ppt

数学教学的水平、方式与教师学习顾泠沅、杨玉东顾泠沅、杨玉东上海市教育科学研究院上海市教育科学研究院摘摘 要要 本专题以上海市本专题以上海市“青浦实验青浦实验”的新世纪行的新世纪行动为例，采用课堂测评视角变迁、学生能力目动为例，采用课堂测评视角变迁、学生能力目标测试及因素分析等方法，探讨标测试及因素分析等方法，探讨2020年前后数学年前后数学教学水平演变的现实，及其当前存在的主要问教学水平演变的现实，及其当前存在的主要问题；继而通过若干课例研究，讨论课堂上学与题；继而通过若干课例研究，讨论课堂上学与教的不同方式，以及实现优质数学教学所需的教的不同方式，以及实现优质数学教学所需的教师专业化对策。教师专业化对策。一、现实：学与教的水平演变一、现实：学与教的水平演变1 1、教师观课视角走向能力为本、教师观课视角走向能力为本1982年主要视角年主要视角2007年主要视角年主要视角目的目的要求要求根据教学大纲和教材内容，制定明确具体的教根据教学大纲和教材内容，制定明确具体的教学目的学目的按照班级实际和学生情况，使提出的教学要求按照班级实际和学生情况，使提出的教学要求恰如其分恰如其分整节课的每一环节始终围绕着教学目的和要求整节课的每一环节始终围绕着教学目的和要求展开，不能脱离教学主题展开，不能脱离教学主题关注技能、认知和情感，体现学生发展的目标关注技能、认知和情感，体现学生发展的目标把握学科本质，明确具体要求把握学科本质，明确具体要求教学要求适合学生最近发展区教学要求适合学生最近发展区尊重个性差异，面向全体学生尊重个性差异，面向全体学生内容内容组织组织突出重点，主次结合突出重点，主次结合抓住关键，突破难点抓住关键，突破难点讲究教学层次，注重内容布局、连接顺序和张讲究教学层次，注重内容布局、连接顺序和张弛节奏的设计弛节奏的设计内容选择与目的要求相适应内容选择与目的要求相适应重点突出、容量适度且具弹性重点突出、容量适度且具弹性合理的知识建构方式与难点、关键的处理合理的知识建构方式与难点、关键的处理教学训练的有层次安排教学训练的有层次安排概念概念教学教学从学生原有知识出发，通过观察、类比、归纳、从学生原有知识出发，通过观察、类比、归纳、推理等方法形成正确概念推理等方法形成正确概念运用适当的变式训练，使学生深刻而灵活地掌运用适当的变式训练，使学生深刻而灵活地掌握和应用概念握和应用概念适当归纳，把新概念纳入学生的知识体系之中，适当归纳，把新概念纳入学生的知识体系之中，并重视复习巩固并重视复习巩固突出基本概念，表述清晰，学生理解程度高突出基本概念，表述清晰，学生理解程度高基本技能定位正确，学生能有效掌握基本技能定位正确，学生能有效掌握避免不必要的重复讲述和大运动量训练避免不必要的重复讲述和大运动量训练根据学生反应随时调节教学的节奏与步调根据学生反应随时调节教学的节奏与步调（1 1）教师观课视角十点变化）教师观课视角十点变化【资料资料】能力能力培养培养重视数学问题思考过程和方法的教学，让学重视数学问题思考过程和方法的教学，让学生逐步掌握原理，举一反三生逐步掌握原理，举一反三教师通过教学指引和示范，积极影响和促进教师通过教学指引和示范，积极影响和促进学生在智力、能力和学习品质等某些侧面的学生在智力、能力和学习品质等某些侧面的发展发展注重学生学习方法和学习习惯的培养注重学生学习方法和学习习惯的培养利用课堂生成资源，鼓励学生质疑问难、独立思利用课堂生成资源，鼓励学生质疑问难、独立思考考学习情境中让学生尝试、探索、创造性解决问题学习情境中让学生尝试、探索、创造性解决问题针对学生行为变化灵活应变针对学生行为变化灵活应变师生师生配合配合注意情感活动和认知活动的结合，创设问题注意情感活动和认知活动的结合，创设问题情境，激发学生的认识兴趣情境，激发学生的认识兴趣以全班学生的可接受程度为依据，并注意从以全班学生的可接受程度为依据，并注意从教育与发展的角度，让各类学生都能积极思教育与发展的角度，让各类学生都能积极思维维教师指导适当，学生热情配合，课堂气氛和教师指导适当，学生热情配合，课堂气氛和谐谐教态亲切自然，接纳学生的感情教态亲切自然，接纳学生的感情学生思维活跃，能充分表达自己的观点和意见学生思维活跃，能充分表达自己的观点和意见引导以学生为主体的活动，包括学生自我评价和引导以学生为主体的活动，包括学生自我评价和调控调控师生、生生双向交流与沟通得当师生、生生双向交流与沟通得当教法教法特点特点把教与学，讲述和探究合理地结合起来把教与学，讲述和探究合理地结合起来及时了解教学效果，随时调节教学及时了解教学效果，随时调节教学其它经验和理论的正确运用其它经验和理论的正确运用注重基础知识和基本技能的启发式教学注重基础知识和基本技能的启发式教学创设学习情境，引导体验探究创设学习情境，引导体验探究倡导小组合作式的学习倡导小组合作式的学习合适与必须的模型、演示或多媒体的运用合适与必须的模型、演示或多媒体的运用教学教学效果效果学生在获得和应用知识方面显示良好的反应学生在获得和应用知识方面显示良好的反应提问与书面检查正确率高提问与书面检查正确率高听课教师对这节课的直觉印象好听课教师对这节课的直觉印象好教学目的及其预定的具体要求达成度高教学目的及其预定的具体要求达成度高学生在各种教学活动中热情投入，潜能得到发挥学生在各种教学活动中热情投入，潜能得到发挥课堂时间充分利用，活动成本相对较低课堂时间充分利用，活动成本相对较低有利于提高后续学习的水准有利于提高后续学习的水准 原先只是强调教学目的要求原先只是强调教学目的要求“不脱离主题不脱离主题”、“恰如其分恰如其分”；如今提倡技能、认知、情感全面如今提倡技能、认知、情感全面“适合学生最近发展区适合学生最近发展区”，突出了突出了“学生发展为本学生发展为本”的目标。的目标。原先课堂安排以全班学生原先课堂安排以全班学生“可接受程度可接受程度”为依据，取统一的最为依据，取统一的最低线；如今强调尊重每位学生的个性差异，在此基础上面向低线；如今强调尊重每位学生的个性差异，在此基础上面向全体学生。全体学生。原先只是按大纲教材预设教学内容和问题；如今要利用课堂原先只是按大纲教材预设教学内容和问题；如今要利用课堂“生成资源生成资源”，鼓励学生责疑问难、独立思考。，鼓励学生责疑问难、独立思考。原先教师通过教学原先教师通过教学“指引和示范指引和示范”，影响和促进学生发展；如，影响和促进学生发展；如今进一步注重学生学习方法和学习习惯的主动养成。今进一步注重学生学习方法和学习习惯的主动养成。原先想方设法激发学生的认识兴趣、让他们都能积极思维；如原先想方设法激发学生的认识兴趣、让他们都能积极思维；如今已深入到设置典型情境，提倡小组合作，让学生尝试、探今已深入到设置典型情境，提倡小组合作，让学生尝试、探索、创造性解决问题。索、创造性解决问题。课堂视角十点变化课堂视角十点变化 原先主要采用原先主要采用“教师引导教师引导”、“学生配合学生配合”的师生合作方式，的师生合作方式，学生仍是配角；如今要求引导以学生为主体的活动，使学生真学生仍是配角；如今要求引导以学生为主体的活动，使学生真正成为学习的主人。正成为学习的主人。原先只是由教师及时了解教学效果，随时反馈调节；如今已进原先只是由教师及时了解教学效果，随时反馈调节；如今已进步到可由学生作自我评价和调控。步到可由学生作自我评价和调控。原先尚未提及模型、演示或多媒体的运用；如今随着现代教育原先尚未提及模型、演示或多媒体的运用；如今随着现代教育技术的逐步普及，不仅广泛使用，还提出了技术的逐步普及，不仅广泛使用，还提出了“合适合适”与与“必须必须”的更高要求。的更高要求。原先教学效果评价仅关注当堂反应、检查和原先教学效果评价仅关注当堂反应、检查和“直觉印象直觉印象”；如；如今还关注到学生今还关注到学生“潜能发挥潜能发挥”和是否有利于提高和是否有利于提高“后续学习水后续学习水准准”。另外，如今还注意到改革进程中出现的深层次问题，如如何把另外，如今还注意到改革进程中出现的深层次问题，如如何把握学科本质和最有学习价值的知识；关于技能训练的定位，以握学科本质和最有学习价值的知识；关于技能训练的定位，以及避免不必要的重复讲述和大运动量训练，减轻学生过重负担；及避免不必要的重复讲述和大运动量训练，减轻学生过重负担；还有如何充分利用课堂时间，相对降低活动成本等。还有如何充分利用课堂时间，相对降低活动成本等。（2 2）权重方案侧重能力培养）权重方案侧重能力培养 目的要求目的要求内容组织内容组织概念教学概念教学能力培养能力培养师生配合师生配合教法特点教法特点教学效果教学效果1982年方案年方案0.17050.14320.16700.11740.13940.11270.14982007年方案年方案0.17210.15520.12610.15420.13080.11560.1460权重方案重方案25年前后比年前后比较19821982年年3636名教师权重方案的模糊聚类结果名教师权重方案的模糊聚类结果20072007年年4747名教师权重方案的模糊聚类结果名教师权重方案的模糊聚类结果2 2、学生能力目标测试喜中有忧、学生能力目标测试喜中有忧 1950 1950年代布卢姆主编的年代布卢姆主编的教育目标分类学教育目标分类学奠定了现代教学奠定了现代教学目标分类的基础，该书把认知目标分成知识、领会、运用、分析、目标分类的基础，该书把认知目标分成知识、领会、运用、分析、综合、评价综合、评价6 6种水平。威尔逊种水平。威尔逊(J.W.Wilson)(J.W.Wilson)曾把布卢姆的目标分曾把布卢姆的目标分类原则引入数学学科，设计了计算、领会、运用、分析类原则引入数学学科，设计了计算、领会、运用、分析4 4个层次的个层次的认知目标。后来有人明确指出了布卢姆分类理论在连续性与层次认知目标。后来有人明确指出了布卢姆分类理论在连续性与层次性方面存在漏洞。性方面存在漏洞。1990 1990年与年与20072007年，年，“青浦实验青浦实验”采用大样本测试结果，从初采用大样本测试结果，从初中二年级学生在数学学习中大量外显行为所表征的教学目标中析中二年级学生在数学学习中大量外显行为所表征的教学目标中析取其内隐的主要因素，由此确定目标框架的层次并研究分类的连取其内隐的主要因素，由此确定目标框架的层次并研究分类的连续性。研究运用因素分析的方法。续性。研究运用因素分析的方法。（1 1）两度因素分析实验建立四层次架构）两度因素分析实验建立四层次架构 测试测试F1F2F3h210.7880.2040.1540.68620.7920.1660.1780.68730.6710.4530.0480.65840.6410.4740.1040.64750.4720.5330.1610.53360.4870.5580.0650.55370.4280.4100.4000.512 表中表中1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7依次代表知识、计算、领会、运用、依次代表知识、计算、领会、运用、分析、综合、评价分析、综合、评价7 7种分测试。内隐主因素依次为：种分测试。内隐主因素依次为：F1F1记忆为主，记忆为主，F2F2理解为主，理解为主，F3F3评判为主。这三个因素占总方差的比例分别评判为主。这三个因素占总方差的比例分别为为56.156.1、3.49%3.49%和和1.42%1.42%，三者相加占总方差的，三者相加占总方差的61.08%61.08%。19901990年年30003000样本因析结果得到的公共因素负荷矩阵样本因析结果得到的公共因素负荷矩阵 由图可见：综合与分由图可见：综合与分析，尽管测试难度差别较析，尽管测试难度差别较大，但还是属于同一思维大，但还是属于同一思维水平；同样，应用与领会水平；同样，应用与领会看来也可以合并；至于计看来也可以合并；至于计算与知识，在当时强调记算与知识，在当时强调记住课本内容前提下，也可住课本内容前提下，也可合并为同一目标。合并为同一目标。6 6种测试变量在两因素平面上的矢量表示种测试变量在两因素平面上的矢量表示运用运用领会领会综合综合分析分析知识知识计算计算测试测试F1F2h210.90990.27530.903720.77950.48260.840530.57380.68090.792940.58000.68660.807850.26610.91730.912320072007年年43494349样本因析结果得到的公共因素负荷矩阵样本因析结果得到的公共因素负荷矩阵 表中表中1 1、2 2、3 3、4 4、5 5依次代表计算、概念、领会、运用、分析依次代表计算、概念、领会、运用、分析5 5种分测试。内隐主因素依次为：种分测试。内隐主因素依次为：F1F1记忆为主，记忆为主，F2F2理解为主。理解为主。这两个因素占总方差的比例分别为这两个因素占总方差的比例分别为75.7875.78和和9.37%9.37%，两者相加占，两者相加占总方差的总方差的85.14%85.14%。较低认知水平较低认知水平较高认知水平较高认知水平计算计算 操作性记忆水平操作性记忆水平领会领会说明性理解水平说明性理解水平概念概念概念性记忆水平概念性记忆水平分析分析探究性理解水平探究性理解水平 领会与运用，虽然表征的领会与运用，虽然表征的方式不同，但还是属于同一思方式不同，但还是属于同一思维层次，的确可合并。维层次，的确可合并。在目标分类公共因素简约在目标分类公共因素简约为记忆为记忆理解的两维平面上，理解的两维平面上，教学目标可区分为大致等距的教学目标可区分为大致等距的四层次架构，四层次架构，如表所示。如表所示。5 5种测试变量在两因素平面上的矢量表示种测试变量在两因素平面上的矢量表示 1990 1990年与年与20072007年，前后相隔年，前后相隔1717年，取得了具有时代价值的大量年，取得了具有时代价值的大量数据资料，它是一段历史的见证。前期数据资料，它是一段历史的见证。前期7 7种认知水平，后期归并为种认知水平，后期归并为5 5种水平，测试题中约有种水平，测试题中约有1/31/3保持原貌，另有保持原貌，另有2/32/3提高了难度。提高了难度。被测学生被测学生计算计算知识知识/概念概念领会领会运用运用分析分析综合综合评价评价总得分率总得分率(%)1990300067.1963.9647.1141.3323.84 44.28 29.1745.27%2007434984.0775.2854.8251.0028.9658.83%尽管总体难度有很大提高，但多数分测试成绩与总分都有较大幅尽管总体难度有很大提高，但多数分测试成绩与总分都有较大幅 度的提高，总平均得分率从度的提高，总平均得分率从45.27%45.27%提升到提升到58.83%58.83%，课堂教学的实，课堂教学的实 效有了显著提高，十余年来的进步有目共睹。效有了显著提高，十余年来的进步有目共睹。（2 2）学生认知水平显著提高）学生认知水平显著提高 （3 3）点面、城乡差距明显缩小）点面、城乡差距明显缩小 早年青浦地区少量先进典型与巨大落后面并存的局面已经早年青浦地区少量先进典型与巨大落后面并存的局面已经 改变，从学生认知水平看过去所谓的点与面、城与乡的差改变，从学生认知水平看过去所谓的点与面、城与乡的差 距明显缩小。距明显缩小。计算与概念层面的水平大幅度提高；领会水平的目标已经基本计算与概念层面的水平大幅度提高；领会水平的目标已经基本 达成；但分析水平，即分析问题和解决问题的能力，尚无明显达成；但分析水平，即分析问题和解决问题的能力，尚无明显 提高，应成为今后数学课堂和教学改革要着力突破的重点内容。提高，应成为今后数学课堂和教学改革要着力突破的重点内容。（4 4）问题解决能力风景依旧）问题解决能力风景依旧 数学教学目标水平测试数学教学目标水平测试1717年前后比较年前后比较【资料资料】学生性别差异的比较学生性别差异的比较 从能倾类型分析，从能倾类型分析，19901990年男生的探究能力、理解能力总体优年男生的探究能力、理解能力总体优 于女生，女生则在记忆能力上占有优势。于女生，女生则在记忆能力上占有优势。20072007年出现明显的年出现明显的 反过来的走势。这些突出变化，值得进一步研究。反过来的走势。这些突出变化，值得进一步研究。坚持为理解而教坚持为理解而教 自美国自美国NCTMNCTM在在20002000年发表年发表 学校数学的原理和标准学校数学的原理和标准，明确提出，明确提出“概念性理解是掌握数学必不可少的组成部分概念性理解是掌握数学必不可少的组成部分”以来，国际上为了理解的数学教学一直倍受重视。正如大数学以来，国际上为了理解的数学教学一直倍受重视。正如大数学家柯朗所说：家柯朗所说：“数学的教学，逐渐流于无意义的单纯演算习题数学的教学，逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练，固然这可以发展形式演算的能力，但却无助于对数学的训练，固然这可以发展形式演算的能力，但却无助于对数学的真正理解，无助于提高独立思考的能力。的真正理解，无助于提高独立思考的能力。”柯朗著（王浩，朱煜民译：数学是什么柯朗著（王浩，朱煜民译：数学是什么 长沙：湖南科学技术出版社长沙：湖南科学技术出版社19841984 ）数学学科的总领性观念数学学科的总领性观念 数学的对象不外数学的对象不外“数数”与与“形形”，虽然近代的观念，已与，虽然近代的观念，已与原始的意义相差甚远。原始的意义相差甚远。数学的主要方法，是逻辑的推理。因之建立了一个坚固的数学的主要方法，是逻辑的推理。因之建立了一个坚固的思想结构。思想结构。这些结果会对其他学科有用，是可以预料的。但应用远超这些结果会对其他学科有用，是可以预料的。但应用远超过了想象。数学固然成了基本教育的一部分。其他科学也过了想象。数学固然成了基本教育的一部分。其他科学也需要数学作理想的模型，从而发现相应科学基本规律。需要数学作理想的模型，从而发现相应科学基本规律。摘自陈省身为摘自陈省身为数学百科全书数学百科全书所写的序所写的序（中译五卷本，科学出版社出版）（中译五卷本，科学出版社出版）二、两种教学方式的较量二、两种教学方式的较量冲突与平衡冲突与平衡 接受式接受式 赫尔巴特，赫尔巴特，普通教育学普通教育学，有利于教师传授知识，有利于教师传授知识，进行技能技巧训练；但不利于学生的独创学习。进行技能技巧训练；但不利于学生的独创学习。活动式活动式 杜威，杜威，民主主义与教育民主主义与教育，有利于发挥学生的主动，有利于发挥学生的主动性和探索精神；但不利于学生学习系统的知识（刘佛年）。性和探索精神；但不利于学生学习系统的知识（刘佛年）。新数运动新数运动回到基础回到基础平衡基本技能、概念理平衡基本技能、概念理解和问题解决解和问题解决（美国（美国“数学战争数学战争”）源头与流变源头与流变 已有知识已有知识已有知识已有知识 新的知识新的知识新的知识新的知识 建立联系建立联系建立联系建立联系 合理合理合理合理 实质实质实质实质 奥苏贝尔：奥苏贝尔：奥苏贝尔：奥苏贝尔：知识固着点的性质知识固着点的性质知识固着点的性质知识固着点的性质 换一个形式检验换一个形式检验换一个形式检验换一个形式检验我国教师：我国教师：我国教师：我国教师：合适的合适的合适的合适的“潜在距离潜在距离潜在距离潜在距离”正确的正确的正确的正确的“变式演练变式演练变式演练变式演练”作作作作“铺垫铺垫铺垫铺垫”是成功的奥秘是成功的奥秘是成功的奥秘是成功的奥秘 是有效手段是有效手段是有效手段是有效手段接受式学习（书中学，明言知识为主）接受式学习（书中学，明言知识为主）1 1、两种方式的比较、两种方式的比较 已已已已有有有有“工工工工具具具具”新新新新的的的的“任任任任务务务务”自行整合自行整合自行整合自行整合 参与度参与度参与度参与度 完成度完成度完成度完成度活动式学习（做中学，默会知识为主）活动式学习（做中学，默会知识为主）皮亚杰：活动内化理论皮亚杰：活动内化理论皮亚杰：活动内化理论皮亚杰：活动内化理论教教教教师：探究学习、问题解决学习、项目学习等师：探究学习、问题解决学习、项目学习等师：探究学习、问题解决学习、项目学习等师：探究学习、问题解决学习、项目学习等 （过程档案分析）（过程档案分析）（“作品作品”分析）分析）两种教学方式之间，不能搞简单的两种教学方式之间，不能搞简单的“非此则彼非此则彼”，应当实事求是地客观分析。最近二、三十年来，两应当实事求是地客观分析。最近二、三十年来，两种方式在种方式在“有意义学习有意义学习”的主题下，有着明显的舍的主题下，有着明显的舍弃自身缺陷、汲取对方长处的互补趋势，两方对峙弃自身缺陷、汲取对方长处的互补趋势，两方对峙逐渐演变为前进过程中的两极张力。逐渐演变为前进过程中的两极张力。就当前我国教学而言，拒绝机械接受、开发主动探就当前我国教学而言，拒绝机械接受、开发主动探究的学习方式，培养高水平的实践技能与高层次的究的学习方式，培养高水平的实践技能与高层次的思维能力，已经成为改革的主导原则。思维能力，已经成为改革的主导原则。（1 1）注重技巧的原行为）注重技巧的原行为商、余数的商、余数的“名数名数”易错易混，因此先要区分包含除与等分除易错易混，因此先要区分包含除与等分除 17(17(人人)8(8(人人)=2()=2(桌桌)1(1(人人)17(17(人人)2(2(桌桌)=8()=8(人人)1(1(人人)纠缠于枝节，未突出纠缠于枝节，未突出“有余数有余数”这个要点这个要点“试商试商”是关键性技巧，因此先要训练括号里最大能填几是关键性技巧，因此先要训练括号里最大能填几 6 6()()4141 13 13()()4141 技巧性铺垫，未关注试商的实际意义技巧性铺垫，未关注试商的实际意义最后要学生寻找规律，学生都说最后要学生寻找规律，学生都说“不知道不知道”忘记了对小学生来说忘记了对小学生来说“数学就是生活数学就是生活”165=31 175=32 185=33 195=34余数余数(1(1、2 2、3 3、4)4)与除数与除数(5)(5)比较大小，比较大小，得出余数小于除数得出余数小于除数2 2、简单情境中的认知、简单情境中的认知数学化数学化课例：除法就是分豆子课例：除法就是分豆子（2 2）注重数学化的新理念）注重数学化的新理念学生真实地找出规律：学生真实地找出规律：（3 3）创造新行为：脑中分豆子）创造新行为：脑中分豆子关注关注“学生获得学生获得”所遇到的困难：所遇到的困难：做除法要做除法要“拿豆子来拿豆子来”，只会动手做、不会动脑想。课堂热热闹闹，却陷入，只会动手做、不会动脑想。课堂热热闹闹，却陷入了了 数学教学的浅薄与贫乏。数学教学的浅薄与贫乏。学生不会形式化，最后只能记住除法的操作程序。创设情境兜了一大圈，还学生不会形式化，最后只能记住除法的操作程序。创设情境兜了一大圈，还 是回到死读硬记。是回到死读硬记。教师的创造：教师的创造：在实物与算式只设置一个中介在实物与算式只设置一个中介放掉豆子和盘子，学生在脑中分豆子，放掉豆子和盘子，学生在脑中分豆子，终于越过了形式化的难关。终于越过了形式化的难关。学生脑中学生脑中学生脑中学生脑中怎样分？怎样分？怎样分？怎样分？7 7 7 7颗豆子怎样分在颗豆子怎样分在颗豆子怎样分在颗豆子怎样分在3 3 3 3个盘子里个盘子里个盘子里个盘子里?3 3个盘子个盘子,每盘试放每盘试放1 1颗豆子颗豆子,共放共放3 3颗颗,比比7 7颗少颗少3 3个盘子个盘子,每盘试放每盘试放2 2颗豆子颗豆子,共放共放6 6颗颗,比比7 7颗少颗少3 3个盘子个盘子,每盘试放每盘试放3 3颗豆子颗豆子,共放共放9 9颗颗,比比7 7颗多颗多每盘只能放每盘只能放2 2颗颗,这样余下这样余下1 1颗颗由此还得出规律由此还得出规律:每盘豆子数每盘豆子数盘子数盘子数+余下豆子数总的豆子数余下豆子数总的豆子数多好的本原性思考，深奥的多好的本原性思考，深奥的“余数定理余数定理”在小学就准备了认知的固着点。在小学就准备了认知的固着点。（4 4）分豆子与布鲁纳的认知理论）分豆子与布鲁纳的认知理论 实物操作实物操作 表象操作表象操作 符号操作符号操作 分豆子分豆子 脑中分豆子脑中分豆子 算式运算算式运算 （具体）（具体）（半具体、半抽象）（半具体、半抽象）（抽象）（抽象）寻找规律寻找规律 数学是具体与抽象的对话！数学是具体与抽象的对话！（5 5）师生语言互动状况及其理念与行为的改变）师生语言互动状况及其理念与行为的改变课堂静止或不理解的时间课堂静止或不理解的时间、教师指示或命令、教师指示或命令、批评或辩护、批评或辩护 权威行为权威行为在改进课中在改进课中下降为零下降为零；教师演讲；教师演讲、学生按老师要、学生按老师要 求表述求表述明显减少明显减少教师的提问教师的提问、学生主动表达自己的发现的语言、学生主动表达自己的发现的语言在改进课中在改进课中 明显增加明显增加；教师接纳学生感觉的语言；教师接纳学生感觉的语言也有上升也有上升简单情境简单情境：分豆子 有余数除法 （青浦实验）出现背景干扰，主要采用“剥离法”。（前苏联B.兹科娃）复杂情境：复杂情境：不能简单“剥离”，怎么办？（1 1）多因素制约的实际问题）多因素制约的实际问题 如何满足诸多技术限制条件如何满足诸多技术限制条件的同时，尽可能增大放置座位的的同时，尽可能增大放置座位的面积？需要处理下列制约关系：面积？需要处理下列制约关系：座位要尽可能多，就要尽量座位要尽可能多，就要尽量增大安排座位的面积区域；增大安排座位的面积区域；但对于舞台直径、辐射通道、但对于舞台直径、辐射通道、圆形通道均有技术要求；辐圆形通道均有技术要求；辐射通道要尽可能少，座位才射通道要尽可能少，座位才会尽可能多；但每排座位数会尽可能多；但每排座位数又不能多于又不能多于3030个。个。座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域舞台舞台座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域舞台舞台座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域座位区域舞台舞台课例：设计圆形剧场课例：设计圆形剧场3 3、复杂情境中的认知、复杂情境中的认知问题解决的策略问题解决的策略“艰难的艰难的2020分钟分钟”一位教师感叹：一位教师感叹：“竟然竟然冷场冷场这么多时间这么多时间”两位老师询问：两位老师询问：“快快2020分钟了，究竟要不要给学生一些提示？分钟了，究竟要不要给学生一些提示？”（2 2）面对问题学生无从下手）面对问题学生无从下手 工程专用语工程专用语“中心旋转舞台中心旋转舞台”、“辐射通道辐射通道”、“圆形圆形通道通道”、“座位纵深座位纵深”尚可尚可“剥离剥离”；但背景中的牵制关系但背景中的牵制关系却不能却不能“剥离剥离”。学生难以辨别出。学生难以辨别出“最外圈座位最外圈座位”是解决制是解决制约关系的突破口。约关系的突破口。简单化为简单化为“面积计算面积计算”运用面积方法投入计算：运用面积方法投入计算：（总面积圆形通道和辐射通道（总面积圆形通道和辐射通道占用面积舞台面积）占用面积舞台面积）每个座位面积每个座位面积。把设计任务等同于常。把设计任务等同于常规的应用题。规的应用题。成绩优的学生尤其缺乏合作意识成绩优的学生尤其缺乏合作意识 某某教师：教师：“他们一拿到问题埋头就算他们一拿到问题埋头就算我我提醒他们和其他组员讨论提醒他们和其他组员讨论”其中三条通道不用延伸到其中三条通道不用延伸到舞台，既符合设计任务要舞台，既符合设计任务要求、增加了座位数量，又求、增加了座位数量，又不影响剧场的对称美。不影响剧场的对称美。如图，个别学生提出具有创意的方案如图，个别学生提出具有创意的方案：（3 3）小组合作与交流产生多种设计方案）小组合作与交流产生多种设计方案第一种第一种第二种第二种第三种第三种个别学生个别学生设计方法设计方法5 5通道通道6 6通道通道6 6通道改进通道改进3 3、6 6通道组合通道组合报告结果（座位数）报告结果（座位数）15751575161416141619161916371637（4 4）学生处理制约关系能力的比较）学生处理制约关系能力的比较学生处置学生处置3 3个制约关系的水平个制约关系的水平.无从下手无从下手.处理了处理了1 1个制约关个制约关系系.处理了处理了2 2个制约关个制约关系系.处理处理了了3 3个制个制约关系约关系边和边和开设开设有数学活动课的学生有数学活动课的学生2 21 13 39 91515未开设未开设数学活动课的学生数学活动课的学生6 67 72 20 01515边和边和8 88 85 59 93030注：这种差别经注：这种差别经2 2检验，具有极其显著意义检验，具有极其显著意义(p0.005)(pAC,ABAC,由由“大大边对大角边对大角”得出矛盾得出矛盾ABCACBABCACB，应用应用“角边角角边角”ABC（3 3）变式练习分步解决问题）变式练习分步解决问题不断变换题目的条件：不断变换题目的条件：ABCABC中，中，ABCABCACBACB，BOBO平分平分B B，COCO平分平分C C。能得出。能得出什么结论？什么结论？过过O O作直线作直线EFBCEFBC。图图中有几个等腰三角形？中有几个等腰三角形？为什么？为什么？线段线段EFEF与线与线段段BEBE、FCFC之间有何关系之间有何关系？(学生编题学生编题)若若B B与与C C不相等不相等。图中有没有等腰三角形？图中有没有等腰三角形？为什么？为什么？线段线段EFEF与线段与线段BEBE、FCFC之间还有没有关系之间还有没有关系？(学生讨论学生讨论)直观看到一个，简直观看到一个，简单应用判定定理单应用判定定理必须综合应用判定定必须综合应用判定定理和性质定理论证两理和性质定理论证两个红色三角形以及线个红色三角形以及线段间的关系段间的关系直观看到三个，两个红直观看到三个，两个红色三角形必须应用判定色三角形必须应用判定定理论证；线段关系用定理论证；线段关系用到性质定理。到性质定理。一、现实：学与教的水平演变一、现实：学与教的水平演变 1 1教师观课视角走向能力为本教师观课视角走向能力为本 2 2学生能力目标测试喜中有忧学生能力目标测试喜中有忧二、两种教学方式的较量二、两种教学方式的较量 1 1两种方式的比较两种方式的比较 2 2简单情境中的认知简单情境中的认知数学化数学化 3 3复杂情境中的认知复杂情境中的认知问题解决的策略问题解决的策略三、实现：教师学习事关重大三、实现：教师学习事关重大 1 1把握最有学习价值的知识把握最有学习价值的知识 2 2提高教学效率的奥秘：了解学生容易理解或误解之处提高教学效率的奥秘：了解学生容易理解或误解之处 3 3纵横连贯才能纳入纵横连贯才能纳入“坚固的思想体系坚固的思想体系”4 4两种教学方式各自需要不同的内容呈现策略两种教学方式各自需要不同的内容呈现策略内容纲要谢谢 谢！谢！更多资源