24.1.2垂直于弦直径(2)(精品).ppt
24.1.2 垂直于弦的直径（二）知识点一：知识点一：垂径定理垂径定理定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.CDAB,知识点二：知识点二：垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理OCD由由 CD是是直径直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.MAB定理：定理：平分平分弦（不是直径）弦（不是直径）的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.知识点三：知识点三：垂径定理的推论垂径定理的推论定理：定理：如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.课本课本82页页2、如图，在、如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D,OEAC于于E,求证：四边形求证：四边形ADOE是正方形是正方形.证明：证明：ODAB,OEAC1=2=900又又AC ABA=900四边形四边形ADOE是矩形是矩形12矩形矩形ADOE是正方形是正方形.挑战自我挑战自我画一画画一画如如图图,M,M为为O O内内的的一一点点,利利用用尺尺规规作作一一条条弦弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OMAB线段线段AB就是所求弦就是所求弦挑战自我挑战自我如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相那么这两条弦所夹的弧相等吗等吗?提示提示:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.解：（解：（1）O在弦在弦AB、CD之间之间过过O作作ONCD垂足为垂足为N,直线直线ON交交AB于点于点M,连接连接AO、CO.ONCD，ABCD ONAB 即即OMAB OMAB，OM过圆心过圆心课本课本88页页9、O的半径为的半径为13cm，弦，弦ABCD,AB=24cm,CD=10Cm,求求AB和和CD的距离的距离.MN MN=OM+ON=5+12=17（2）O在弦在弦AB、CD的同侧的同侧与（与（1）同理可得）同理可得OM=5,ON=12MN=ONOM=125=7答：答：AB和和CD的距离为的距离为17cm或或7cm.MN例例2：如图，圆：如图，圆O的弦的弦AB8 ，DC2，直径直径CEAB于于D，求半，求半径径OC的长。的长。反思：反思：在在 O中，若中，若 O的的半径半径r、圆心到弦的距离圆心到弦的距离d、弦长弦长a中，中，任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据 定理求出第三个量定理求出第三个量.CDBAO垂径定理和勾股垂径定理和勾股练习练习2:在圆在圆O中，直径中，直径CEAB于于 D，OD=4，弦，弦AC=，求圆求圆O的半径。的半径。解：设圆的半径为解：设圆的半径为Rcm,连结连结OA，CEAB 由勾股定理得由勾股定理得AD2=AO2OD2,AD2=AC2CD2 AO2OD2=AC2CD2 R242=10(R4)2 R24R5=0R15,R2 1(不合题意，舍去不合题意，舍去)O的半径为的半径为5cm.例例3：如图，已知圆：如图，已知圆O的直径的直径AB与与 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E，BFCD于于F，且圆且圆O的半径为的半径为 10，CD=16，求求AEBF的长。的长。练习练习3:1、如图，、如图，CD为圆为圆O的直径，的直径，弦弦AB交交CD于于E，CEB=30，DE=12，CE=4，求弦求弦AB的的长。长。MNMH驶向胜利的彼岸2.已知：如图已知：如图,O 中中,弦弦ABCD,ABCD,直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F.图中相等的线段有图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有:.FEOMNABCD1、垂径定理、垂径定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所并且平分弦所的两条弧的两条弧.2、垂径、垂径定理的逆定理定理的逆定理：平分：平分弦（不是直径）弦（不是直径）的直径的直径垂直于弦垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.3、垂径定理及其推论：、垂径定理及其推论：如果一条直线，满足下列如果一条直线，满足下列五个条件：五个条件：过圆心过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平平分弦所对的优弧分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧中的任意两个，就能推出另外的三个结论中的任意两个，就能推出另外的三个结论.4、重要结论：、重要结论：圆中圆中两条平行弦所夹的弧相等两条平行弦所夹的弧相等.小小 结结名师学案名师学案50页页11题题 已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的为圆心的两个同心圆中，大圆的弦弦AD交小圆于交小圆于B，C两点两点.求证：求证：ABCD如果如果AD=6cm，BC=4cm，求圆，求圆环的面积环的面积.AEDE，BECEAEBEDECE即即ABCD证明：证明：过过O作作OEAD，垂足为，垂足为E，E.ABCDO解解:连接连接AO、BO,OEAD由勾股定理得由勾股定理得OA2=AE2+OE2,OB2=BE2+OE2OA2OB2=AE2BE2S圆环圆环=OA2OB2=(OA2OB2)=(AE2BE2)=(3222)=5答答:圆环面积为圆环面积为5cm2.13、如图，、如图，AB为为 O的直径，的直径，AB=26cm,CD为为 O 的弦，的弦，CD=24cm，ABCD于点于点E,DF CD交交CB的延长线于点的延长线于点F，求，求DF的长。的长。证明：连接证明：连接OD ABCD，AB为为 O的直径的直径 ABCD,DF CD ABDF又又E是是DC的中点的中点B是是FC的中点的中点EB是是CDF的中位线的中位线DF=2BE=28=1617、已知、已知 O的直径的直径AB垂直弦垂直弦CD于点于点E，连接，连接CO并延长交并延长交AD于点于点F，若，若CFAD,AB=2，求，求CD的长的长.证明：连接证明：连接AC直径直径AB垂直弦垂直弦CD AB平分弦平分弦CDA在线段在线段CD的垂直平分线上的垂直平分线上AC=AD同理同理AC=CD AC=CD=AD等边等边ACD中中D=600 1=900D=300又又 CFAD,AB=2在在Rt AOF中中1作业名师学案订正第二个练习课本课本82页1、2，87页1
