复合函数的单调性(精品).ppt
复合函数的单调性复合函数的定义：设复合函数的定义：设y=f(u)y=f(u)定义定义域域A A，u=g(x)u=g(x)值域为值域为B B，若，若A BA B，则则y y关于关于x x函数的函数的y=fg(x)y=fg(x)叫做函叫做函数数f f与与g g的复合函数，的复合函数，u u叫中间量叫中间量一、复习引入：一、复习引入：1.对于函数的定义域对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自内某个区间上的任意两个自变量的值变量的值若当若当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2),则说在这个区间则说在这个区间上是增函数；上是增函数；若当若当x1f(x2),则说在这个区则说在这个区间上是减函数间上是减函数.2.判断证明函数单调性的一般步骤是：判断证明函数单调性的一般步骤是：设设,给定给定区间内的任意两个值；区间内的任意两个值；作差，并将此差式变形作差，并将此差式变形（要注意变形的程度）（要注意变形的程度）,判断正负（要注意说理判断正负（要注意说理的充分性）；的充分性）；(3)确定其增减性确定其增减性.复合函数的单调性复合函数的定义：设复合函数的定义：设y=f(u)y=f(u)定义定义域域A A，u=g(x)u=g(x)值域为值域为B B，若，若A BA B，则则y y关于关于x x函数的函数的y=fg(x)y=fg(x)叫做函叫做函数数f f与与g g的复合函数，的复合函数，u u叫中间量叫中间量复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)f(u2),即y=fg(x1)y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。复合函数的单调性引理2：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2),即y=fg(x1)y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。复合函数的单调性引理3：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是减函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1f(u2),即y=fg(x1)y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是减函数。复合函数的单调性引理4：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是减函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)f(u2),即y=fg(x1)y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是减函数。复合函数的单调性复合函数的单调性若u=g(x)增函数减函数增函数减函数y=f(u)增函数减函数减函数增函数则y=fg(x)增函数增函数减函数减函数规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增增函数函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数减函数。“同增异减同增异减”复合函数的单调性例1：求下列函数的单调性y=log4(x24x+3)解 设 y=log4u,u=x24x+3.由 u0,u=x24x+3，解得原复合函数的定义域为x1或x3.当x(，1)时，u=x24x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(，1)是复合函数的单调减区间；当x(3，)时，u=x24x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+)是复合函数的单调增区间.解：设u=x24x+3，u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(复合函数定义域)x2(u减)解得x1.所以x(，1)时，函数u单调递减.由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x2)21的单调性与复合函数的单调性一致，所以(，1)是复合函数的单调减区间.u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(复合函数定义域)x2(u增)解得x3.所以(3，+)是复合函数的单调增区间.代数解法：代数解法：解:设 y=logu,u=2xx2.由u0,u=2xx2 解得原复合函数的定义域为0 x2.由于y=log13u在定义域(0，+)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数 u=2xx2的单调性正好相反.易知u=2x-x2=-(x1)2+1在x1时单调增.由 0 x2（复合函数定义域）x1，(u增)解得0 x1,所以(0，1是原复合函数的单调减区间.又u=(x1)2+1在x1时单调减，由 x2，(复合函数定义域)x1，(u减)解得0 x2,所以0，1是原复合函数的单调增区间.例2 求下列复合函数的单调区间：y=log(2xx2)例例3：求函数：求函数 的单调性。的单调性。解：设 ，f(u)和u(x)的定义域均为R因为，u在 上递减，在 上递增。而 在R上是减函数。所以，在 上是增函数。在 上是减函数。例4：求 的单调区间.解:设 由uR,u=x22x1,解得原复合函数的定义域为xR.因为 在定义域R内为减函数，所以由二次函数u=x22x1的单调性易知,u=x22x1=(x1)22在x1时单调减，由 xR,(复合函数定义域)x1，(u减)解得x1.所以(，1是复合函数的单调增区间.同理1，+)是复合函数的单调减区间.复合函数的单调性小结复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断：(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；(4)若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函数；(5)若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为减函数。复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
