概率统计与随机过程9(精品).ppt

第九章第九章 假设检验假设检验假设检验的提出假设检验的提出:在实际中存在着许多不同于参数估计的问题，请看下面的例子例1.某厂有一批产品,按国家规定标准,次品率不得超过4才能出厂.现从中任取10件进行检验(每次取1件,取后放回),发现有4件次品,问该批产品能否出厂？一般的方法是：首先假设该批产品的次品率p4%，然后利用抽样的结果来判断这一假设是否成立。从频率的角度来看，这批产品不能出厂，但我们现在所关心的问题是如何根据抽样得到的次品率4/10来推断整批产品的次品率是否超过4%例2.某车间生产的一种铜丝，其折断力服从N(570,64)。现改变生产工艺，并从新产品中抽取10个样品进行测量，得 575.2(N),问折断力大小与原来是否相同？(假定方差不会改变)。若以X表示折断力，那么这个例子的问题就化为：如何根据抽样的结果来判断等式：“EX570”是否成立。更一般的问题是：如何根据抽样的结果来判断总体X的分布函数F(x)是否等于给定的函数F0(x)。上述例子所代表的问题是很广泛的，它们的共同特点是：先对总体的参数或总体的分布函数的形式作某种假设H0，然后由抽样结果对假设H0是否成立进行推断。为此需要建立检验假设的方法。在数理统计学中，称检验假设H0的方法为假设检验。第一节第一节 假设检验的概念假设检验的概念1.定义 先对总体X的分布函数或参数提出假设,然后通过抽样并根据样本提供的信息对假设的正确性进行推断,作出接受或拒绝假设的决策.这一过程称为假设检验.2.参数假设检验和非参数假设检验3.理论依据 实际推断原理:小概率事件在一次试验中(几乎)是不可能发生的.第二节第二节 正态总体均值和方差的假设检验正态总体均值和方差的假设检验一.设XN(,2),而2 为已知.U检验(1)已知2.待检验的假设:H0:=0,检验水平:(给定的小量)双边检验 第一步 提出假设 H0:=0(原假设);第二步 构建检验统计量H1:0(备选假设).第三步 确定拒绝域第四步 由样本提供的信息计算出 的值,若 则拒绝原假设(H0伪)第五步 给出结论假设检验统计量拒绝域推断结论再对H0的正确性进行推断.若 则接受原假设(H0真)例例1 1根据大量调查得知,我国健康成年男子的脉搏平均为72次/分,标准差为6.4次/分,现从某体院男生中,随机抽出25人,测得平均脉搏为68.6次/分.根据经验脉搏X服从正态分布.如果标准差不变,试问该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏有无差异?并求出体院男生脉搏的置信区间(=0.05).解：此例是在已知=6.4的情况下，第一步 检验假设H0:0=72,第二步 统计量第四步 现在n=25,=68.6,对于=0.05，查标准正态分布表得因为|u0|=2.6561.96，故拒绝H0.第三步 确定拒绝域拒绝域:|u|1.96第五步 结论该体院男生的脉搏与一般健康 成年男子的脉搏存在差异。由于所以，该体院男生脉搏的95%的置信区间为 66.1,71.1 例1 某糖厂有一台自动打包机打包,额定标准每包质量为100kg.设包质量服从正态分布,且根据以往经验,其方差2(0.4)2.某天开工后,为检查打包机工作情况,随机地抽取9包,称得质量(单位：kg)如下：99 98.5 102.5 101 98 99 102 102.1 100.5问这天打包机工作是否正常？(1=0.05,2=0.01)解：此例是在已知2=(0.4)2的情况下，第一步 检验假设 H0:0=100,第二步 统计量第三步 现在n=9,=100.29,(1)对于=0.05，查标准正态分布表得第四步 确定拒绝域拒绝域:|u|1.96(2)对于=0.01，查标准正态分布表得拒绝域:|u|2.58因为|u0|=2.1721.96，故拒绝H0.因为|u0|=2.1720，此时样本信息显示 0H0 原假设;H1 备选假设第一步 提出假设 H0:=0(原假设);H1:0(备选假设).第二步 构建检验统计量第三步 确定拒绝域第四步 由样本提供的信息计算出 的值,并对H0的正确性进行推断.若 则拒绝原假设(H0伪)第五步 给出结论若 则接受原假设(H0真)例2 已知某零件的质量XN(,2),由经验知=10g,2=0.05.技术改新后,抽取8个样品,测得质量(单位:g)为9.8,9.5,10.1,9.6,10.2,10.1,9.8,10.0,若方差不变,问平均质量是否比10为小？(取=0.05)解 本例是一个左边检验问题,检验假设：选取统计量在H0为真的条件下由样本值计算出计算的试验值并比较查标准正态分布表得故接受假设 例例3 3 某厂生产的一种铜丝,它的主要质量指标是折断力大小.根据以往资料分析,可以认为折断力X服从正态分布,且数学期望EX=570(N),标准差是8(N).今换了原材料新生产一批铜丝,并从中抽出10个样品,测得折断力(单位：N)为：578 572 568 570 572 570 570 572 596 584 从性能上看,估计折断力的方差不会发生变化,问这批铜丝的折断力是否比以往生产的铜丝的折断力较大？(取=0.05)解：(1)假设(2)计算统计量先算出575.2的值，(3)当=0.05时，查标准正态分布表得临界值(4)比较 与 的值的大小。现在(5)拒绝假设H0即接受H1.也就是说新生产的铜丝的折断力比以往生产的铜丝的折断力要大.以上三种检验法由于都是使用U的分布，故又名U检验法.假设检验与置信区间对照假设检验与置信区间对照接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布 0 0（2 已知)（2 已知)原假设 H0备择假设 H1待估参数由于2未知，这时U已不是统计量，因此，我们很自然地用2的无偏估计量S2来代替2，选取检验函数为检验H0:=0的统计量。由第七章定理四得二二.2未知时，均值的假设检验1.未知方差未知方差2，检验假设H0:=0所以在H0为真时,类似于前面的讨论，采用双边检验，对于给定的检验水平，查t(n-1)表得 使得 即得是一个小概率事件 由样本值算出 ,然后与 相比较,做出判断:若 ,则接受假设H0.若 ,则拒绝假设H0;2.2.未知方差未知方差 2 2，检验假设 H0:=0;H1:0(事先算出样本值 ,才提这样的检验假设)选取检验用的统计量所以在H0为真时,类似于前面的讨论，采用单边检验，对于给定的检验水平，查t(n-1)表得使得 即得 是一个小概率事件由样本值算出然后与相比较,做出判断:则接受假设H0.若则拒绝假设H0,接受H1;若检验假设 H0:=0;H1:0,0,则下列结论中成立的是则下列结论中成立的是()()(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)A A 1.1.设总体设总体X X N(N(,2 2),),X X1 1,X,X2 2,X Xn n 为总体为总体X X的一的一个样本个样本,X X为样本均值为样本均值,S S2 2为样本方差为样本方差,且且DSDS2 2=4 4则则n=()n=()二二.填空题填空题2.2.设设X X1 1,X,X2 2,X,X3 3为总体为总体X X的一个样本的一个样本,在下列估计在下列估计量中量中 则总体均值则总体均值 的较有效的估计量是的较有效的估计量是()()C C3 33.3.设设X X1 1,X,X2 2,X,X3 3为总体为总体X N(0,2),的一个样本的一个样本,则则4.4.设设 是一个统计量是一个统计量,如果如果 ()()则称则称 是总体的未知参数是总体的未知参数 的的95%95%单侧置信下限单侧置信下限.5.5.设总体设总体X X N(N(,3 32 2),),X X1 1,X,X2 2,X X6 6 为总体为总体X X的一的一个样本个样本,X X为样本均值为样本均值,S S2 2为样本方差为样本方差,则则641.1.设设X X1 1,X,X2 2,X,X1616为来自总体为来自总体XN(10,2XN(10,22 2)的一个的一个样本样本,(1)(1)求样本均值求样本均值X X落入区间落入区间9.25,10.759.25,10.75的概率的概率;三计算题三计算题(2)(2)求求 答案(1)0.8662 (2)60；480；0.90.2.2.设设X X1 1,X,X2 2,X,X200200是总体是总体N(N(,2 2)的样本的样本,令令问问服从什么分布？证明之服从什么分布？证明之.又又(Y)(Y)2 2服从什么分布？服从什么分布？3.3.已知总体已知总体X X的分布密度为的分布密度为 X X1 1,X,X2 2,X,X3 3是总体是总体X X的样本的样本,求常数求常数c,c,使使为为 的无偏估计的无偏估计.4.4.设总体设总体X X的分布密度为的分布密度为 X X1 1,X,X2 2,X,Xn n是来自是来自X X的样本的样本,求参数求参数 的矩估的矩估计和极大似然估计计和极大似然估计.5.5.设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n是总体是总体N(N(0 0,2 2)的样本的样本,试求试求 2 2的极大似然估计量的极大似然估计量.6.6.设总体设总体X X的概率密度为的概率密度为 又又x x1 1,x,x2 2,x,xn n为来自于总体为来自于总体X X的样本值的样本值,求参数求参数 的的极大似然估计。极大似然估计。7.7.设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n是总体是总体N(N(0 0,2 2)的样本的样本,是是 2 2的无偏估计和一致性估计的无偏估计和一致性估计;判断判断 作为作为 2 2的估计量时的估计量时,哪些哪些是无偏估计量是无偏估计量,并确定哪一个估计并确定哪一个估计量更佳？量更佳？（2 2）令）令（1 1）验证）验证 2 2的估计量的估计量8.8.某厂生产了一批内径为某厂生产了一批内径为20mm20mm的铜管的铜管,设铜管设铜管内径内径X X N(N(,2 2),随机抽取随机抽取1616根根铜管铜管,测得样本测得样本均值均值(1)(1)求均值求均值 的置信度为的置信度为90%90%的置信区间及其长度的置信区间及其长度;(2)(2)问在水平问在水平=0.05=0.05下下,能否认为该批铜管合格能否认为该批铜管合格？(3)(3)问在水平问在水平=0.05=0.05下下,能否认为该批铜管内径大能否认为该批铜管内径大于于20mm20mm？(4)(4)在水平在水平=0.05=0.05下下,检验铜管内径的方差检验铜管内径的方差 2 2与以与以往的往的(0.7)(0.7)2 2有无显著差异？有无显著差异？mm,mm,样本均方差样本均方差s=0.92mm.s=0.92mm.自测考试题（一）自测考试题（一）一一.填空题填空题1.1.设袋中有设袋中有4 4只白球和只白球和3 3只黑球，现从袋中只黑球，现从袋中无放回地依次摸出无放回地依次摸出3 3只球，则恰有只球，则恰有2 2只是白只是白球的概率球的概率()()。2.2.设设A,BA,B为随机事件为随机事件,P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(B|P(B|A A)=0.85,)=0.85,则则 P(A|P(A|B B)=()=()。18/350.74.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4，则X2的数学期望EX2=5.设(X,Y)N(0,1;0,1;0)，Z=X2+Y2,则随机变量Z的概率密度fZ(z)=3.袋中有50个乒乓球,其中20个黄球,30个白球，今有4人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回,则第三个人取得黄球的概率是()。0.418.46从0，1中随机的取出两个数，则两个数之和小于6/5的概率为()。7一射手对同一目标进行4次射击，若至少命中一次的概率为80/81，则该射手的命中率为().17/25 2/38.一台仪器由五个元件组成，每个元件是否发生故障是相互独立的，且第i个元件发生故障的概率为 则发生故障的元件个数X的数学期望 EX=()9.设X服从泊松分布,已知E(X-1)(X-2)=1,则EX=(),PX=3=2110.将一颗匀称的骰子重复投掷n次,记X为出现点数小于3的次数，Y为出现点数大于2的次数，则 11.设总体XN(0,2),(X1,X6)是自总体X的样本.设则当C=()时,CY服从2分布,自由度为()2-113.重复射击同一目标，直至击中为止，设每次击中目标的概率均为p，记X为第一次击中目标的次数；Y表示第二次击中目标时射击的总次数，则X,Y的联合分布律为 12.设X1,Xn为来自正态总体N(,2)的样本,常数13.C使得 为2的无偏估计,则C=14.设r.v.X服从参数为的指数分布，则15.设r.v.X的方差DX，根据契比雪夫不等式估计e e-1-11/2二.选择题1.对事件A,B,下列命题正确的是 (A)如果A,B互不相容，则 也互不相容(B)如果A,B相容，则 也相容(C)如果A,B互不相容，且P(A)0,P(B)0则A,B相互独立。(D)如果A,B互逆，则 也互逆2.每次试验成功的概率为p(0p1),则在4次重复试验中至少失败一次的概率为 (A)p3(1-p),(B)1-p4,(C)(1-p)4,(D)4p3(1-p)D DB B3.甲，乙独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的的概率为 (A)0.6 (B)6/11 (C)0.75 (D)5/11 4.两人约定在某地相会,假定每人到达的时间是相互独立的,且到达时间在中午12点到下午1点之间服从均匀分布,则先到者等待10分钟以上的概率为 (A)25/36 (B)25/72 (C)47/52 (D)11/36C CA A5.随机变量XN(,2),则E|X-|=(A)0 (B)(C)(D)6.设随机变量X的概率密度f(x),且f(x)=f(-x),7.-x0,P|X|a=(A)21-F(a)(B)2F(a)-1 (C)2-F(a)(D)1-2F(a)7.设随机变量(X,Y)N(-3,1;2,1;0),设Z=X-2Y+7,则Z (A)N(0,-3)(B)N(0,5)(C)N(0,46)(D)N(0,54)C CA AB B8.设X的概率密度函数为则Y=3X,的密度函数为()C C(A)单调递增;(B)单调递减;(C)保持不变;(D)不能确定.9.设XN(10,2),则随的增大,概率将会()10.设XU0,对X进行3次独立试验，至少有一次观察值大于1的概率为26/27，则()C C1.设随机变量 Z 在-2,2上服从均匀分布，引入随机变量：求:(1)(X,Y)的联合分布律 (2)D(X+Y).三.计算题2设(X,Y)G 上的均匀分布,求:（1）f(x,y);（2）P(YX2);（3）(X,Y)在平面上的落点到y 轴距离 小于0.3的概率.3.某箱中装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件、10件、10件。现从中随机抽取一件，记试求：(1)X1与X2的联合分布律(2)问X1与X2是否独立？为什么？(3)求X1与X2的相关系数。4.设X1,X2,Xn是来自正态总体N(0,1)的一个样本，1m0,i=1,2,n).求参 数2的极大似然估计.9.设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机的抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为65.5分,标准差s=15分,问在检验水平=0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。9.设X在-,上服从均匀分布，YsinX,Z=cosX求(1)EY,EZ;(2)EY2,EZ2,DY,DZ;(3)cov(Y,Z);(4)求YZ.