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误差理论与数据处理 第1章 误差的基本概念华中科技大学机械学院2011 1.1 计量学的内容与作用 1.2 关于测量的一些概念 1.3 误差的概念 1.4 有效数字与数值运算1 计量学概述及误差的基本概念 本章主要内容2什么是计量学计量学是一门研究测量、保证测量统一和准确的科学。1.1 计量学的内容与作用主要内容(1)建立计量单位及其基准、标准，基准和标准的复制、保存和传递。(2)保证国家内部和国际间计量量值的统一性。(3)拟定测量方法，设计器具、工具，以便实施测量。(4)分析和估计测量结果的不确定度，并设法提高其准确度。廿六年，皇帝尽并兼天下诸侯，黔首大安，立号为皇帝，乃诏丞相状、绾，法度量则不壹歉疑者，皆明壹之。31.1 计量学的内容与作用门捷列夫门捷列夫 (1834-1907)(1834-1907)科学始于测量,没有测量，便没有精密的科学。门捷列夫41.1 计量学的内容与作用开尔文开尔文（1824-19071824-1907）当你能够测量你所关注的事物，而且能够用数量来描述他的时候，你就对其有所认识；当你不能测量他，也不能将其量化的时候，你对他的了解就是贫乏和不深入的。开尔文51.1 计量学的内容与作用钱学森钱学森 (1911-2010)(1911-2010)钱学森信息技术包括测量技术、计算机技术和通信技术，测量技术是信息技术的关键和基础。61.1 计量学的内容与作用王大珩王大珩(1915-)(1915-)王大珩等仪器仪表是工业生产的“倍增器”，是高新技术和科研的“催化剂”，在军事上体现的是“战斗力”。7 卫星上天离不开测控与计量技术作保障，半导体芯片工业生产需要亚微米级乃至纳米级的高精密光刻技术，纳米材料和纳米测量，精密的激光制导和光电对抗技术等，以及人民日常生活密切相关的生物基因研究也都离不开精密的计测技术。1.1 计量学的内容与作用8(1)信息收集；没有计量测试，就没有现代科学计量学的作用(2)发现物理定理：自由落体定理(4)计量与测试永远是促进科学技术和工业进步的重要因素；(3)进一步完善理论：光量子能量守恒(5)计量是精密加工的基础，是产品质量的保护神；(6)计量测试是认识客观世界的有力工具：冥王星的发现1.1 计量学的内容与作用9一 测量1.2 关于测量的一些概念被测量值测量单位比值物理量：可以用数值来评价（表示）其物质特性（状态、运动等）的量，称为 物理量。测量：用实验方法，将物理量与作为单位量的某量值相比较，并求出其比值的过程 称之为测量。测量的数学模型 L=qu10二 测量结果1.2 关于测量的一些概念测量结果：由测量所获得的量值叫测量结果。三 测量方法组成：比值测量单位误差，三大部分组成。按实验数据的处理方式，测量方法可分为直接测量、间接测量和组合测量。1 直接测量 y=x测量值结果0 01 12 23 34 4例如：直尺测长度；电子秤称重11 y=f(x)2 间接测量3 组合测量结果测量值函数1.2 关于测量的一些概念通过解方程，从而求出待求量的值例如：用弦长弓高法测量圆弧的直径12一 误差的含义1.3 误差的概念误差是评定精度的尺度，误差愈小表示精度愈高。测量值误差真值二 误差的类型真值可望不可即；一般用算术平均值或量值精度足够高的测量值来代替真值随机误差：在同一测量条件下，多次重复测量同一量值，测量误差的绝对值和正负符号以不可预知的方式变化。测量次数足够多时，随机误差服从一定的统计分布规律13在同一测量条件下，多次重复测量同一量值，测量误差的绝对值和正负符号保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差。1.3 误差的概念系统误差：粗大误差：粗大（疏忽）误差：由于测量者的疏忽大意，或环境的突然变化而引起的测量误差。测量过程四要素：测量对象；测量单位；测量方法；测量精度14三 误差的表示方法1.3 误差的概念1 绝对误差绝对误差可为正值或负值测量值误差真值示值误差示值真值修正值误差真值测量值偏差实际值标称值绝对误差的表现形式：152 相对误差绝对误差相对误差真值测得值（1）相对误差一般用百分比（）表示；（2）对于不同量值，相对误差越小，测量精度越高。1.3 误差的概念16例1.1 多级弹道导弹的射程为L11000km，其射击偏离预定点的误差为10.1km；而在射击场，优秀射手能在距离L2=50m远处，射击靶心的误差为2 2cm的，试比较哪一个射击精度高。1.3 误差的概念解：两种射击方法的相对误差为 ，故弹道导弹的射击精度比优秀射手的精度高 171.3 误差的概念3 引用误差例如：某电流表，其测量最大值为150mA，现测量的绝对误差为0.5mA，求测量的引用误差。解：18四 精密度、正确度、精确度（准确度）名词解 释意 义精密度在一定的条件下，进行多次测量，所得测量结果彼此之间符合的程度表示随机误差的大小程度（又叫随机不确定度）正确度在规定的条件下，实验中所有的系统误差的综合大小表示系统误差的大小程度精确度测量结果中删去粗大误差后，测量值与真值的一致程度表示系统误差与随机误差综合后，测量的准确程度精密度正确度精确度（准确度）1.3 误差的概念19五 测量误差的来源序号测量误差来源解 释误差种类1测量装置误差标准器具的误差：标准器具不可避免地含有一定的误差从而引起的误差系统误差测量装置的误差：仪器仪表、附件、安装、定位、测力等引起的误差系统误差;偶然误差2方法误差测量方法不完善引起的误差系统误差3人员误差测量者操作或读数产生的误差偶然误差；粗大误差；系统误差4环境误差各种环境因素与标准状态不一致而引起的误差系统误差;偶然误差1.3 误差的概念20六 研究误差的目的（1）分析误差的性质和产生的原因，采取相应的措施，以便从根源上消除误差，或将误差减小到最低限度；（2）正确计算和处理测量数据，尽可能提高测量结果的精确度。正确表达测量结果，以适应各方面的需求和交流；（3）合理地安排测量过程，正确地设计或选用计量器具和测量方法，以求在满足测量精度要求的前提下，提高测量效果，降低测量成本。1.3 误差的概念21一 近似值1.4 有效数字与数值运算物理量大多含有误差；工程问题中，由于参与计算的值为近似值；避免盲目追求不切实际的没有必要的高精确；计算效率提高二 有效数字和有效位数26.428mm22例如，下面的方程组（a）和（b）及其对应解为 两个方程组仅有一个系数相差万分之二，但所得结果差异极大。1.4 有效数字与数值运算23有效数字：一个数据，从第一个非“0”的数字起，到（包括）最后一位唯一不确定的数字为止所有的数字。1.4 有效数字与数值运算3.1416,0.21173,280.00 均为五位有效数字；0.00134，134,1.34 均为三位有效数字。在判断有效数字时，要特别注意“0”这个数字:(1)它既可以是有效数字，又可以不是有效数字。(2)是有效数字的0，决定该数的精确度，不可随意增加或减少。例如 0.00314的前面的三个0均不是有效数字；280.00的后面的三个0均是有效数字。例如 280.00的误差的绝对值为0.005；280的误差的绝对值为0.524 原有数据 舍入后数据 3.14159 2.71729 4.51050 3.21550 6.378501 7.691499 5.4360数据修约的“四舍五入”的方法法：1.4 有效数字与数值运算(1)拟舍弃的数字最左一位小于0.5时，则舍去；(2)拟舍弃的数字最左一位大于0.5时，则进一；(3)拟舍弃的数字最左一位等于0.5时，则看“5”前面的数字：为奇数时则去5进1；为偶数时则去5不进。工程上对近似数右边带有若干个“0”的数字，常写成 形式 ，这时有效位数由a确定，如 和 分别表示为有3位和2位有效数字，二者的精度是不同的。例：将下列测量结果修约为4位有效数。3.1422.7174.5103.216 6.379 7.691 5.43625三、数据运算规则 1.4 有效数字与数值运算（1）多个近似数（不超过10个）作加、减运算时，小数位数较多的近似数，只需比小数位数最少的近似数多保留一位。而计算结果的小数位数，应与小数位数最少的那个近似数相同。例如：（3）两个近似数作乘、除运算时，有效位数较多的近似数，比有效位数少的多保留一位，计算结果应保留与有效位数少的那个数相同的有效位数。例如：（2）若参加运算的各数属于同一量级，且第一位数的大小相差甚大时，为了避免第一位数小的那个数的相对误差过大，可将其有效数多保留一位。26（4）在近似数乘方或开方运算时，计算结果从第一个不是零的数字起，应保留的数字和原来近似数的有效数字的位数相同。1.4 有效数字与数值运算（7）如运算所得的数据还要进行再运算，则该数据的有效位数可比应截取的位数暂时多保留一位数字。（5）在三角函数的运算中，函数值的位数应随角度误差的减小而增多，当角度误差为10“，1“，0.1”及0.01“时，对应的函数值的位数为5,6,7及8位。（6）作对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位或（n+1）位对数表。（8）表示误差范围的参数，如测量不确定度、标准差，其有效位数一般为一位，最多为两位。27作业费业泰（第5版）P8:1-5;1-628？讨论29