第二章极限与连续(五).ppt
上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 一、函数的连续性连续性的变量:气温t、物体运动路程s等 函数的连续性.x从x0变动到x时,y从f(x0)变动到f(x0+x),函数yf(x)y yf f(x x0 0+x x)f f(x x0 0)函数改变量.x xx xx x0 0自变量改变量.yyxxoyf(x)x0 x0+xyyxxoyf(x)x0 x0+x连续点间断点上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 一、函数的连续性函数连续的定义函数连续的定义1:1:设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义.如果当自变量x在点x0处的改变量x趋近于零时,函数相应的改变量y也趋近于零,即yyxxoyf(x)x0 x0+xyyxxoyf(x)x0 x0+x称函数f(x)在点x0处连续.点x0称为函数f(x)的连续点.连续点间断点上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 一、函数的连续性函数连续的定义函数连续的定义2:2:设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义.如果函数f(x)当xx0时的极限存在,且等于它在点x0处的函数值f(x0),即yyxxoyf(x)x0 x yyxxoyf(x)x0 x0+x称函数f(x)在点x0处连续.求连续函数在某点的极限,只需求出该点的函数值即可.连续点间断点上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 一、函数的连续性左连续与右连续左连续与右连续:设函数yf(x)在区间(a,b内有定义.如果当xb时的左极限存在,且等于f(b),即yyxxoyf(x)a byyxxoyf(x)x0 x0+x称函数f(x)在点b左连续.连续点间断点左连续与右连续左连续与右连续:设函数yf(x)在区间a,b)内有定义.如果当xa时的右极限存在,且等于f(a),即称函数f(x)在点a右连续.上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 一、函数的连续性左连续与右连续左连续与右连续:设函数yf(x)在区间axb内有定义.如果当xb时的左极限存在,且等于f(b),即称函数f(x)在点b左连续.左连续与右连续左连续与右连续:设函数yf(x)在区间axb内有定义.如果当xa时的右极限存在,且等于f(a),即称函数f(x)在点a右连续.如果在区间内每一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数,若区间是闭区间,那么函数在左端点右连续,在右端点左连续.上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 一、函数的连续性例:函数连续的定义函数连续的定义1:1:函数连续的定义函数连续的定义2:2:证明线性函数yax+b在(-,+)内连续,并求x0点的极限.ya(x0+x)+b(ax0+b)ax上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 一、函数的连续性例:函数连续的定义函数连续的定义1:1:函数连续的定义函数连续的定义2:2:证明ysinx在(-,+)内连续.上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 二、函数的间断点函数f(x)在点x0连续的三个条件:(1)f(x)在点x0有定义;(2)f(x)在点x0有极限,即 存在;(3)f(x)在点x0的极限等于f(x)在该点的函数值,即;其中一个条件不满足,f(x)在点x0就不连续,x0就是间断点.上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 二、函数的间断点函数f(x)在点x0连续的三个条件:(1)f(x)在点x0有定义;(2)f(x)在点x0有极限,即 存在;(3)f(x)在点x0的极限等于f(x)在该点的函数值,即;定定义义:如果函数f(x)在点x0不满足连续条件,则称f(x)在点x0不连续,或称函数f(x)在点x0间断,点x0称为f(x)的间断点.上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 二、函数的间断点例:定定义义:如果函数f(x)在点x0不满足连续条件,则称f(x)在点x0不连续,或称函数f(x)在点x0间断,点x0称为f(x)的间断点.1.可去间断点若f(x)在点x0有 ,则称点x0为函数f(x)的可去间断点.令 ,函数f(x)在x0点就连续了.上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 二、函数的间断点例:定定义义:如果函数f(x)在点x0不满足连续条件,则称f(x)在点x0不连续,或称函数f(x)在点x0间断,点x0称为的间断点.1.可去间断点若f(x)在点x0存在左、右极限,但 ,则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点.2.跳跃间断点yxo1-1上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 二、函数的间断点例:定定义义:如果函数f(x)在点x0不满足连续条件,则称f(x)在点x0不连续,或称函数f(x)在点x0间断,点x0称为的间断点.1.可去间断点2.跳跃间断点第一类间断点,f(x)在点x0的左、右极限都存在.3.f(x0+0),f(x0-0)中至少有一个不存在,称为第二类间断点.yxo1x1处的左右极限都不存在.上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 三、连续函数的运算法则及初等函数的连续性例:1.多项式函数ya0 xn+an-1x+an在(-,+)内连续.定定理理:若函数f(x)与g(x)在点x0处连续,则这两个函数的和f(x)+g(x),差f(x)g(x),积f(x)g(x),商 ,在点x0处也连续.2.有理分式函数 除分母为零的点外,在其它点都连续.考察ytan x及ycot x的连续性.上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 三、连续函数的运算法则及初等函数的连续性定定理理:若函数f(x)与g(x)在点x0处连续,则这两个函数的和f(x)+g(x),差f(x)g(x),积f(x)g(x),商 ,在点x0处也连续.定理定理:连续函数的复合函数仍是连续函数.定理定理:连续增(减)函数的反函数xf-1(y)是连续增(减)函数.定理定理:一切初等函数在其定义区间内都是连续的.计算初等函数极限的方法:如果f(x)是初等函数,且x0是其定义域内的一点,则有上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 三、连续函数的运算法则及初等函数的连续性例:定定理理:若函数f(x)与g(x)在点x0处连续,则这两个函数的和f(x)+g(x),差f(x)g(x),积f(x)g(x),商 ,在点x0处也连续.定理定理:连续函数的复合函数仍是连续函数.定理定理:连续增(减)函数的反函数xf-1(y)是连续增(减)函数.定理定理:一切初等函数在其定义区间内都是连续的.求ln(sinx)在(0,)内有定义且连续,/2(0,).上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 四、在闭区间上连续函数的性质定定理理:如果函数yf(x)在闭区间a,b上连续,则f(x)在这个闭区间上有界.定理定理(最大值与最小值定理最大值与最小值定理):):在闭区间a,b上的连续函数f(x)一定有最大值和最小值.yxoab12yf(x)f(1)f(x)(axb)f(2)f(x)(axb)上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 四、在闭区间上连续函数的性质定定理理(介介值值定定理理):):设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且在这区间的端点取不同的函数值f(a)A与f(b)B,那么不论C是A与B之间怎样一个数,在开区间(a,b)内至少有一个点,使得f()C.yxoab13yf(x)2f(a)Af(b)BC上页下页铃结束返回首页补充例题下页2.6 函数的连续性 四、在闭区间上连续函数的性质推推论论(根根存存在在定定理理):):如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)与f(b)异号,则在(a,b)内至少有一点,使得f()0.yxoab13yf(x)2推推论论:在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.yxoab12yf(x)mM上页下页铃结束返回首页补充例题下页作业:8-1 8-3(1)、(4)8-4 8-5(2)、(4)、(6)8-6练习:8-2 8-3(2)、(3)、(5)8-5(1)、(3)、(5)8-7
