第三节三重积分的计算法.ppt
第三节第三节 三重积分的计算法三重积分的计算法一、利用直角坐标计算三重积分一、利用直角坐标计算三重积分二、利用柱面坐标计算三重积分二、利用柱面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分 可以用可以用直角坐标、柱面坐标直角坐标、柱面坐标和和球面坐标球面坐标来计算来计算.计算方法是将计算方法是将三重积分化为三重积分化为三次积分三次积分,三重积分三重积分或或单积分单积分和和二重积分二重积分.一、一、利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分用平行于坐标面的平面族：用平行于坐标面的平面族：去分割积分区域去分割积分区域除边界外每个小块都是除边界外每个小块都是一个长方体，于是得到一个长方体，于是得到体积元素体积元素得得 ,把把 分为下上两个边界：分为下上两个边界：以以 的边界为准线的边界为准线于是于是将将 向向xoy面投影面投影，设设 如图如图,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面则则积分区域可表示为积分区域可表示为(先一后二）先一后二）这是先对这是先对z，次对，次对y，最后对，最后对x的三次积分的三次积分(先一后二）先一后二）若根据若根据 是是X型域或型域或Y型域确定二重积分型域确定二重积分的积分限的积分限,就得到化为就得到化为三次积分的三次积分的公式公式.若若 为为X型域，则有型域，则有例例1 计算计算 ,其中其中 为三个坐标面及为三个坐标面及平面平面x2yz1所围成的区域所围成的区域.解解 在在xoy面上的投影为面上的投影为若若 看成看成X型域，则型域，则例例2 将将 化为直角坐标系下的化为直角坐标系下的三次积分，其中三次积分，其中 是由平面是由平面 xyz1，xy1，x0，y0，z1围成的区域围成的区域.的下底是的下底是xyz1，的投影的投影 是由是由 x+y=1，x=0，y=0围成的三角形域围成的三角形域，解解上底是上底是z1的立体的立体.2）截面法（先二后一）截面法（先二后一）1）投影法（先一后二）投影法（先一后二）计算三重积分时，先求一个二重积计算三重积分时，先求一个二重积分，再求一个定积分的方法分，再求一个定积分的方法 设区域设区域 的的 z 值的最大值值的最大值内任一点内任一点 z,作平行于作平行于xoy的的平面与平面与 交出截面交出截面和最小值为和最小值为 和和 ，先在先在 上对上对x,y积分然后在积分然后在 上对上对z积分积分.2 2）截面法（先二后一）截面法（先二后一）过过二重积分的积分区域二重积分的积分区域.就是就是这样得到这样得到先求出先求出 上的二重积分再求定积分上的二重积分再求定积分.先二后一先二后一此法常用于此法常用于 上的二重积分易求的情形上的二重积分易求的情形z的最小值和最大值为的最小值和最大值为例例3 计算计算 ，其中，其中 是由椭球是由椭球面面 所围成的空间闭区域。所围成的空间闭区域。解解 用先二后一法：用先二后一法：即即和和 ，的面积为的面积为二二 用柱面坐标计算三重积分用柱面坐标计算三重积分在在xoy面上面上 就是极坐标就是极坐标.设设M（x,y,z）为空间为空间一点，如果将一点，如果将x，y，z改用另外三个数改用另外三个数来表示，则称来表示，则称为点为点M 的的柱面坐标柱面坐标。三组坐标面三组坐标面：柱面与直角坐标的关系是柱面与直角坐标的关系是常数常数 （水平平面水平平面）常数常数 （半平面半平面）常数常数 （圆柱面圆柱面）由图可知由图可知用三组坐标面族用三组坐标面族去分割空间区域去分割空间区域 ，其，其任一小块的体积任一小块的体积 可以可以近似近似看成以看成以 为底，为底，为高的为高的柱体体积柱体体积。体积元素体积元素因此因此则积分区域在柱面坐标系下的表示为：则积分区域在柱面坐标系下的表示为：在柱面坐标系下在柱面坐标系下区域由直角变为柱面坐标表示区域由直角变为柱面坐标表示则三重积分化为柱面坐标的三次积分则三重积分化为柱面坐标的三次积分：若若例例4 计算计算 其中其中 是由上半球面是由上半球面 和旋转抛物面和旋转抛物面 所围成的区域所围成的区域.解解 将积分区域将积分区域 向向xoy面投影，得面投影，得柱面坐标柱面坐标例例5 计算计算 其中其中 是由曲面是由曲面 与平面与平面 围成的区域围成的区域.解解 在在xoy面上的投影区域为圆域面上的投影区域为圆域:所以所以 例例6 计算计算其中其中解解 采用柱面坐标采用柱面坐标 问题问题若例若例6中的积分区域改为中的积分区域改为则则答答 由对称性，有由对称性，有思考题思考题 在柱面坐标系下求三重积分可以看作在柱面坐标系下求三重积分可以看作在直角坐标系对在直角坐标系对 作单积分，然后在投作单积分，然后在投影区域影区域 上用极坐标作二重积分吗？上用极坐标作二重积分吗？答：可以答：可以三、用球面坐标计算三重积分 设设M(x,y,z)为空间一点，为空间一点，如果将如果将x,y,z 改用另外改用另外三个数三个数 r，来表示来表示,则称则称(r，)为点为点M 的的球面坐标球面坐标。球面坐标与直角坐标的关系是球面坐标与直角坐标的关系是分割空间区域分割空间区域 可以近似地看成是可以近似地看成是高为高为 的长方体体积的长方体体积积分元素积分元素宽为宽为长为长为其任一小块的体积其任一小块的体积其中其中 一般将右端的形式化为先对一般将右端的形式化为先对r、次对、次对 、最后对、最后对 的三次积分来计算。的三次积分来计算。三重积分在球面坐标系下的形式：三重积分在球面坐标系下的形式：一般地，空间区域一般地，空间区域 包含原点在其内包含原点在其内部，边界曲面为部，边界曲面为 则有则有例如例如 当当 为球面为球面 时时例例7 7 求半径为求半径为 的球面与半顶角的球面与半顶角为为 的内接圆锥的内接圆锥面所围成的立体面所围成的立体的体积的体积(如图如图).).解解 根据积分性质：根据积分性质：的度量，的度量，将将 用球面坐标表示用球面坐标表示成不等式：成不等式：思考题：思考题：球面方程球面方程柱面柱面球面球面柱面方程柱面方程直角直角坐坐标标系系1.1.填写下表中的空格：填写下表中的空格：2.计算重积分应怎样选择合适的坐标系？计算重积分应怎样选择合适的坐标系？应考虑哪两个方面？哪个方面更重要些？应考虑哪两个方面？哪个方面更重要些？（1）积分区域）积分区域（2）被积函数）被积函数积分区域边界的积分区域边界的表达式简单，便表达式简单，便于定限于定限被积函数的表达被积函数的表达式简单，便于积式简单，便于积分分相对而言，便于积分更重要一些相对而言，便于积分更重要一些.小小结结1.1.柱面坐标系下柱面坐标系下两种坐标系下三重积分的计算两种坐标系下三重积分的计算由柱面与直角坐标的关系由柱面与直角坐标的关系有有体积元素体积元素若若则则的侧面由圆柱面或的侧面由圆柱面或且被积函数含有且被积函数含有 常用柱坐标常用柱坐标 2.球面坐标球面坐标由球面坐标与直角坐标的关系：由球面坐标与直角坐标的关系：三重积分在球面坐标系下的形式三重积分在球面坐标系下的形式：体积元素体积元素其中其中 一般地，空间区域一般地，空间区域 包含原点在其内包含原点在其内部，边界曲面为部，边界曲面为 则有则有 当当 的边界由球面、锥面等围成，且的边界由球面、锥面等围成，且被积函数中含有被积函数中含有常用球面坐标常用球面坐标常用球面坐标常用球面坐标作作 业业p.106 习题习题9-31.(1);(3);2.9.10.11.(1);(2);(3);12.(1).
