信号与系统简明教程教案第5章.ppt

信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-1页电子教案电子教案第五章 连续信号与系统的s域分析 频域分析以虚指数信号 为基本信号，求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清楚。但也有不足：（1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍需按时域方法求解。（2）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t);（3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。为何引入系统的复频域分析？信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-2页电子教案电子教案为何引入系统的复频域分析？系统函数 H(s)系统的时域特性 h(t)系统的频域特性 H(j w)系统的稳定性系统的模拟系统的设计系统的复频域分析可以更全面地描述系统的特性，弥补了系统时域与频域描述的不足。第五章 连续系统的s域分析信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-3页电子教案电子教案 频域分析以虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。本章引入复频率 s=+j,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。第五章 连续系统的s域分析信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-4页电子教案电子教案第五章 连续系统的s域分析5.1 引言5.2 拉普拉斯变换 一、单边拉普拉斯变换的定义 二、单边拉普拉斯变换的性质 三、单边拉普拉斯逆变换5.3 连续线性时不变系统的S域分析 常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法5.4 系统函数H(s)一、系统函数的定义与求法 二、系统的S域框图 三、系统函数的零极点 四、系统函数的零极点与时域特性 五、系统函数的零极点与频域特性 六、系统的因果性与稳定性信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-5页电子教案电子教案 法国数学家、天文学家。1749 年生于诺曼底，1827 年卒于巴黎。家境贫寒，靠邻居资助上学，显露数学才华。1785 年当选为法国科学院院士。1816 年成为法兰西学院院士，次年任该院院长。主要研究天体力学和物理学，认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新方法。主要成就是：在天体力学阐述了天体运行、地球形状、行星摄动、月离理论和三体问题等等，引入著名的拉普拉斯方程在概率的分析理论（1812）中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用，导入拉普拉斯变换等。拉普拉斯（Laplace,1749-1827）第五章 连续系统的s域分析信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-6页电子教案电子教案5.2 拉普拉斯变换1、从傅里叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t)，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t当t 时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换 为f(t)e-t=Fb(+j)=f(t)e-t=令s=+j,d=ds/j，有一、单边拉普拉斯变换的定义5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-7页电子教案电子教案双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。2、收敛域 只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-8页电子教案电子教案例1 因果信号f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯变换。解 可见，对于因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域收敛边界5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-9页电子教案电子教案例2 反因果信号f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯变换。解 可见，对于反因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-10页电子教案电子教案例3 双边信号求其拉普拉斯变换。求其拉普拉斯变换。解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)仅当 时，其收敛域为 Res 的一个带状区域，如图所示。5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-11页电子教案电子教案例4 求下列信号的双边拉氏变换。f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)f2(t)=e-3t(t)e-2t(t)f3(t)=e-3t(t)e-2t(t)解 Res=2Res=3 3 2可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-12页电子教案电子教案通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。3、单边拉氏变换 简记为F(s)=f(t)f(t)=-1F(s)或 f(t)F(s)5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-13页电子教案电子教案4、常见函数的拉普拉斯变换 1）(t)1，(t)s-2）(t)或1 1/s，03）指数函数es0t Res0cos 0t=(ej 0t+e-j 0t)/2 sin 0t=(ej 0t e-j 0t)/2j 5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-14页电子教案电子教案4）t(t)1/s2，05）矩形脉冲信号5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-15页电子教案电子教案5、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 Res 0 要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况：（1）0-2；则 F(j)=1/(j+2)5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-16页电子教案电子教案（2）0=0，即F(s)的收敛边界为j 轴，如f(t)=(t)F(s)=1/s=()+1/j（3）0 0，F(j)不存在。例f(t)=e2t(t)F(s)=1/(s 2),2；其傅里叶变换不存在。5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-17页电子教案电子教案二、单边拉普拉斯变换的性质若f1(t)F1(s)Res 1,f2(t)F2(s)Res 2则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)Resmax(1,2)例f(t)=(t)+(t)1+1/s，0 2、尺度变换若f(t)F(s),Res 0，且有实常数a0，则f(at)Resa 0 1、线性性质5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-18页电子教案电子教案例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s)=求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=42 F(2s)5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-19页电子教案电子教案3、时移（延时）特性 若f(t)F(s),Res 0,且有实常数t00,则f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s),Res 0 与尺度变换相结合f(at-t0)(at-t0)例1:求如图信号的单边拉氏变换。解：f1(t)=(t)(t-1)，f2(t)=(t+1)(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-20页电子教案电子教案例2:已知f1(t)F1(s),求f2(t)F2(s)解：f2(t)=f1(0.5t)f1 0.5(t-2)f1(0.5t)2F1(2s)f1 0.5(t-2)2F1(2s)e-2sf2(t)2F1(2s)(1 e-2s)例3:求f(t)=e-2(t-1)(t)F(s)=?5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-21页电子教案电子教案例3 周期信号fT(t)的拉普拉斯变换 特例：T(t)1/(1 e-sT)思考：5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-22页电子教案电子教案4、复频移（s域平移）特性 若f(t)F(s),Res 0,且有复常数sa=a+j a,则f(t)esat F(s-sa),Res 0+a 例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=求e-tf(3t-2)的象函数。解：e-tf(3t-2)例2:f(t)=cos(2t/4)F(s)=?解cos(2t/4)=cos(2t)cos(/4)+sin(2t)sin(/4)5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-23页电子教案电子教案5、时域的微分特性（微分定理）若f(t)F(s),Res 0,则f(t)sF(s)f(0-)f(t)s2F(s)sf(0-)f(0-)f(n)(t)snF(s)若f(t)为因果信号，则f(n)(t)snF(s)例1:(n)(t)?例2:例3:5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-24页电子教案电子教案6、时域积分特性（积分定理）若f(t)F(s),Res 0,则 例1:t2(t)?f(t)是因果信号5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-25页电子教案电子教案例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s)解：对f(t)求导得f(t)，如图由于f(t)为因果信号，故f(0-)=0f(t)=(t)(t 2)2(t 2)F1(s)结论：若f(t)为因果信号，已知f(n)(t)Fn(s)则 f(t)Fn(s)/sn 注意 P223 5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-26页电子教案电子教案7、卷积定理 时域卷积定理 若因果函数 f1(t)F1(s),Res 1,f2(t)F2(s),Res 2则 f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s)复频域（s域）卷积定理 例1：t(t)?例2：已知F(s)=5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-27页电子教案电子教案8、s域微分和积分 若f(t)F(s),Res 0,则 例1：t2e-2t(t)?e-2t(t)1/(s+2)t2e-2t(t)5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-28页电子教案电子教案例2：例3：5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-29页电子教案电子教案9、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函数f(t)初值定理设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则 终值定理 若f(t)当t 时存在，并且 f(t)F(s),Res 0,00，则 5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-30页电子教案电子教案例1：例2：5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-31页电子教案电子教案三、单边拉普拉斯反变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。通常的方法（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-结合 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为 若mn（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-32页电子教案电子教案由于L-11=(t)，L-1sn=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。部分分式展开法若F(s)是s的实系数有理真分式（mn)，则可写为 式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-33页电子教案电子教案（1）F(s)为单极点（单根）例1:5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-34页电子教案电子教案5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-35页电子教案电子教案例2:5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-36页电子教案电子教案5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-37页电子教案电子教案特例：若F(s)包含共轭复根时(p1,2=j)K2=K1*f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t)若写为K1,2=A jB f1(t)=2e-tAcos(t)Bsin(t)(t)5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-38页电子教案电子教案例35.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-39页电子教案电子教案5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-40页电子教案电子教案例4：求象函数F(s)的原函数f(t)。解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2=1，s3,4=j1，s5,6=1 j1，故 K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=1 K3=(s j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(/2),K4=K3*=(1/2)e-j(/2)K5=(s+1 j)F(s)|s=-1+j=K6=K5*5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-41页电子教案电子教案（2）F(s)有重极点（重根）若A(s)=0在s=p1处有r重根，K11=(s p1)rF(s)|s=p1，K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1 5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-42页电子教案电子教案举例:5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-43页电子教案电子教案5.2 拉普拉斯变换信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-44页电子教案电子教案5.3 连续线性时不变系统的S域分析常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法描述n阶系统的微分方程的一般形式为 系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯变换微分特性若f(t)在t=0时接入系统，则 f(j)(t)s j F(s)5.3 连续线性时不变系统的S域分析信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-45页电子教案电子教案例1 描述某LTI系统的微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+6 f(t)已知初始状态y(0-)=1，y(0-)=-1，激励f(t)=5cost(t)，求系统的全响应y(t)。解：方程取拉氏变换，并整理得y(t)，yzi(t)，yzs(t)s 域的代数方程Yzi(s)Yzs(s)5.3 连续线性时不变系统的S域分析信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-46页电子教案电子教案y(t)=2e2t(t)e3t(t)-4e2t(t)+yzi(t)yzs(t)暂态分量yt(t)稳态分量ys(t)若已知y(0+)=1，y(0+)=9Yzi(s)Yzs(s)5.3 连续线性时不变系统的S域分析信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-47页电子教案电子教案5.4 系统函数H(s)系统函数H(s)定义为 它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。yzs(t)=h(t)*f(t)H(s)=L h(t)Yzs(s)=L h(t)F(s)一、系统函数的定义与求法5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-48页电子教案电子教案例2 已知当输入f(t)=e-t(t)时，某LTI因果系统的零状态响应 yzs(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。解h(t)=(4e-2t-2e-3t)(t)微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t)s2Yzs(s)+5sYzs(s)+6Yzs(s)=2sF(s)+8F(s)取逆变换 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t)=2f(t)+8f(t)5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-49页电子教案电子教案二、系统的s域框图 时域框图基本单元f(t)af(t)y(t)=a f(t)s域框图基本单元s1F(s)Y(s)=s1F(s)aF(s)Y(s)=a F(s)f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)+F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)+5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-50页电子教案电子教案X(s)s-1X(s)s-2X(s)例3 如图框图，列出其微分方程解 画出s域框图,s-1s-1F(s)Y(s)设左边加法器输出为X(s)，如图X(s)=F(s)3s-1X(s)2s-2X(s)s 域的代数方程Y(s)=X(s)+4s-2X(s)微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)+4f(t)再求h(t)?5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-51页电子教案电子教案总结：分析连续系统的方法信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-52页电子教案电子教案三、系统函数的零、极点LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即 A(.)=0的根p1，p2，pn称为系统函数H(.)的极点；B(.)=0的根1，2，m称为系统函数H(.)的零点。将零极点画在复平面上得零、极点分布图。例5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-53页电子教案电子教案例：已知H(s)的零、极点分布图如示，并且h(0+)=2。求H(s)的表达式。解：由分布图可得根据初值定理，有5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-54页电子教案电子教案四、系统函数的零极点与时域特性 冲激响应的函数形式由H(s)的极点确定。下面讨论H(s)极点的位置与其时域响应的函数形式。所讨论系统均为因果系统。1连续因果系统 H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。（1）在左半平面(a)若系统函数有负实单极点p=(0)，则A(s)中有因子(s+)，其所对应的响应函数为Ke-t(t)5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-55页电子教案电子教案(b)若有一对共轭复极点p12=-j，则A(s)中有因子(s+)2+2-K e-tcos(t+)(t)(c)若有r重极点，则A(s)中有因子(s+)r或(s+)2+2r，其响应为Kiti e-t(t)或Kiti e-tcos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)以上三种情况：当t时，响应均趋于0。暂态分量。（2）在虚轴上(a)单极点p=0或p12=j，则响应为K(t)或Kcos(t+)(t)-稳态分量(b)r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+2)r，其响应函数为Kiti(t)或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)递增函数 5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-56页电子教案电子教案（3）在右半开平面：均为递增函数。综合结论：LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t时，响应均趋于0。H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t时，响应均趋于。5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-57页电子教案电子教案 5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-58页电子教案电子教案五、系统函数的零极点与频率特性 1、连续因果系统 若系统函数H(s)的极点均在左半平面，则它在虚轴上(s=j)也收敛，有H(j)=H(s)|s=j，下面介绍两种常见的系统。（1）全通函数 若系统的幅频响应|H(j)|为常数，则称为全通系统，其相应的H(s)称为全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-59页电子教案电子教案（2）最小相移函数 右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-60页电子教案电子教案六、系统的因果性与稳定性1、因果系统 因果系统是指，系统的零状态响应yzs(s)不会出现于f(t)之前的系统。连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t0 5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-61页电子教案电子教案2、系统的稳定性 稳定系统的定义 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励|f(t)|Mf，其零状态响应|yzs(s)|My，则称该系统稳定。连续系统稳定的充分必要条件是 若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-62页电子教案电子教案因果系统稳定性的充分必要条件可简化为 连续因果系统 因为因果系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数。故，若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的因果系统。5.4 系统函数H(s)信号与系统信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心第5-63页电子教案电子教案例1：如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系统是稳定的？其中子系统的系统函数G(s)=1/(s+1)(s+2)解：设加法器的输出信号X(s)X(s)X(s)=KY(s)+F(s)Y(s)=G(s)X(s)=K G(s)Y(s)+G(s)F(s)H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/1-KG(s)=1/(s2+3s+2-k)H(s)的极点为为使极点在左半平面，必须(3/2)2-2+k(3/2)2,k2，即当k2，系统稳定。5.4 系统函数H(s)