随机振动.ppt

本章主要内容有本章主要内容有4-1 4-1 傅立叶分析傅立叶分析4-2 4-2 自谱密度自谱密度4-3 4-3 窄带和宽带随机过程窄带和宽带随机过程4-4 4-4 导出过程的谱密度导出过程的谱密度4-5 4-5 互谱密度互谱密度4-6 4-6 多个平稳过程的谱矩阵和相干函数多个平稳过程的谱矩阵和相干函数4-7 4-7 单边与双边谱密度单边与双边谱密度第第4 4章章 随机振动的频域描述随机振动的频域描述谱密度谱密度4-1 4-1 傅立叶分析傅立叶分析1.1.振动的频谱分析振动的频谱分析 实际上遇到的振动问题，往往不是简单的简谐振动，实际上遇到的振动问题，往往不是简单的简谐振动，而是有多种频率同时存在的周期性振动、非周期振动、随而是有多种频率同时存在的周期性振动、非周期振动、随机振动。因此，研究这些复杂振动，就要把它们进行分解，机振动。因此，研究这些复杂振动，就要把它们进行分解，分析它们究竟含有多少种频率成分。分析它们究竟含有多少种频率成分。如果振动波形是任何形式的周期函数，根据周期函数如果振动波形是任何形式的周期函数，根据周期函数可用傅立叶级数表示，可将其分解为一系列简谐振动，这可用傅立叶级数表示，可将其分解为一系列简谐振动，这些简谐振动成整数倍关系。些简谐振动成整数倍关系。4-1 4-1 傅立叶分析傅立叶分析设周期性振动的时间函数为设周期性振动的时间函数为xT(t)，其周期为其周期为T T，则它则它的傅立叶展开式为的傅立叶展开式为式中式中 是基频是基频为了方便起见，我们将上式写成为了方便起见，我们将上式写成式中式中 通常称通常称 是是 的一个谐波分量。只要的一个谐波分量。只要是一个确定的周期函数，则各次的谐波分量都可以用上述公式计是一个确定的周期函数，则各次的谐波分量都可以用上述公式计算出来。这样将一个周期函数分解为一系列简谐函数的过程叫做算出来。这样将一个周期函数分解为一系列简谐函数的过程叫做谐波分析，或称振动的分解。谐波分析，或称振动的分解。4-1 4-1 傅立叶分析傅立叶分析4-1 4-1 傅立叶分析傅立叶分析 从上图中可以看出这是一组离散的垂直线。只是从上图中可以看出这是一组离散的垂直线。只是在在 、处，处，和和 才有确定的数值。这才有确定的数值。这样的图形叫做波形频谱图。它是在频率域上描述振动样的图形叫做波形频谱图。它是在频率域上描述振动的规律，即不同的频率有它对应的幅值和相位角。的规律，即不同的频率有它对应的幅值和相位角。2.2.傅立叶积分傅立叶积分 对于一个非周期振动的时间函数对于一个非周期振动的时间函数x(t),x(t),傅立叶级数展傅立叶级数展开方法已不适用，可采用傅立叶积分方法。在上面的频谱开方法已不适用，可采用傅立叶积分方法。在上面的频谱图中，水平轴表示频率，所以第图中，水平轴表示频率，所以第n n个系数的位置为个系数的位置为相邻谐和频率之间的间隔为相邻谐和频率之间的间隔为当周期当周期T T增大时，频率的间隔增大时，频率的间隔 将变小，图中的图线将紧将变小，图中的图线将紧紧挤在一起。当紧挤在一起。当T T趋于无穷大时（周期函数趋于无穷大时（周期函数 变成非周变成非周期函数期函数x(t)x(t)的离散谱变成的离散谱变成x(t)x(t)的连续谱，即的连续谱，即非周期非周期4-1 4-1 傅立叶分析傅立叶分析函数不能分解为离散的频率分量函数不能分解为离散的频率分量。如果如果x(t)绝对可积，即绝对可积，即则则x(t)的傅立叶变换对存在。因此，可以把傅立叶级数转的傅立叶变换对存在。因此，可以把傅立叶级数转化为傅立叶积分。化为傅立叶积分。当当 时，傅立叶级数为时，傅立叶级数为整理得整理得4-1 4-1 傅立叶分析傅立叶分析 当周期当周期T T趋于无穷大时，则有趋于无穷大时，则有 ，求和变成自，求和变成自 到到 的积分。这时频率是在一个宽广的频带上的积分。这时频率是在一个宽广的频带上变化，为一连续变量，把变化，为一连续变量，把 记做记做 ，因此上式可以写成，因此上式可以写成4-1 4-1 傅立叶分析傅立叶分析记记4-1 4-1 傅立叶分析傅立叶分析因此上式可以写成因此上式可以写成 和和 就是就是x(t)的傅立叶积变换分量。上式可写成的傅立叶积变换分量。上式可写成这就是这就是x(t)的傅立叶积分表达式，或称为傅立叶逆变换。的傅立叶积分表达式，或称为傅立叶逆变换。傅立叶积分是傅立叶级数在周期趋于无穷大时形式上傅立叶积分是傅立叶级数在周期趋于无穷大时形式上的极限，傅立叶级数给出了一个周期振动的频率成分（一的极限，傅立叶级数给出了一个周期振动的频率成分（一系列的谐波分量），而傅立叶积分给出了一个非周期振动系列的谐波分量），而傅立叶积分给出了一个非周期振动的频率成分。的频率成分。和和 的量纲为的量纲为x的量纲，而的量纲，而 与与 的的量纲为量纲为 的量纲。的量纲。3.3.傅立叶变换的复数形式傅立叶变换的复数形式 在随机振动的问题中，使用复数形式的傅立叶变换更在随机振动的问题中，使用复数形式的傅立叶变换更为方便。现在对其进行推导。为方便。现在对其进行推导。根据欧拉公式根据欧拉公式 ，可得可得4-1 4-1 傅立叶分析傅立叶分析定义复变函数定义复变函数 为为将将 和和 代入并整理得代入并整理得注意到注意到 是是 的偶函数，的偶函数，是是 的奇函数，的奇函数，与与 都是都是 的偶函数，所以的偶函数，所以x(t)x(t)可以写成可以写成因为因为 和和 为奇函数，所以有为奇函数，所以有将上式乘以将上式乘以i后加到后加到x(t)上，并不影响上，并不影响x(t t)的值。得到的值。得到4-1 4-1 傅立叶分析傅立叶分析将上式各项进行整理得到将上式各项进行整理得到我们把上式与我们把上式与 称称互为傅立叶变换，互为傅立叶变换，是是 的傅立叶变换，的傅立叶变换，是是 的的逆变换。逆变换。是以时间为变量的函数，是以时间为变量的函数，是以频率为变是以频率为变量的函数。即量的函数。即 4-1 4-1 傅立叶分析傅立叶分析傅立叶级数和傅立叶积分都是把一个波形分解为简谐波的傅立叶级数和傅立叶积分都是把一个波形分解为简谐波的迭加。但是两者的迭加却有差异。傅立叶级数是离散的迭迭加。但是两者的迭加却有差异。傅立叶级数是离散的迭4-1 4-1 傅立叶分析傅立叶分析加，其简谐波有一个基本频率加，其简谐波有一个基本频率 ，其余频率是基，其余频率是基频频 的整数倍。所以迭加的结果表示一个周期为的整数倍。所以迭加的结果表示一个周期为T T的周期的周期函数。而傅立叶积分是频率的一个连续迭加函数，函数。而傅立叶积分是频率的一个连续迭加函数，可可以取任意实数。虽然迭加的每一项以取任意实数。虽然迭加的每一项 都是周期函都是周期函数，但它们的周期之间不存在整数关系，因而迭加的结果数，但它们的周期之间不存在整数关系，因而迭加的结果不是周期函数，而是一个非周期函数。不是周期函数，而是一个非周期函数。另外，另外，x(t)用傅立叶积分表示时，其简谐分量的振幅用傅立叶积分表示时，其简谐分量的振幅为为 ，这是一个无穷小量，确切的说，这是一个无穷小量，确切的说，不象傅不象傅立叶级数中的立叶级数中的 那样表示振幅谱，而是在长度为那样表示振幅谱，而是在长度为 这样这样一个很小的频率区间内的单位频率上的幅值。不过习惯上一个很小的频率区间内的单位频率上的幅值。不过习惯上仍称仍称 为复变谱，为复变谱，为振幅谱。为振幅谱。根据傅立叶积分变换，认为非周期振动函数根据傅立叶积分变换，认为非周期振动函数x(t)，是是由无数个幅值为由无数个幅值为 的谐波分量组成的，故有时称的谐波分量组成的，故有时称 是是x(t)的频谱（或傅立叶谱）。在实际工作中，经常的频谱（或傅立叶谱）。在实际工作中，经常4-1 4-1 傅立叶分析傅立叶分析需要用振动的时间历程来求出它的频谱，这称为频谱分析。需要用振动的时间历程来求出它的频谱，这称为频谱分析。4-2 4-2 自谱密度自谱密度1.1.自谱密度的概念自谱密度的概念 一般说来，我们遇到的随机过程一般说来，我们遇到的随机过程X(t)X(t)的样本函数的样本函数x(t)是非周期的，不能用傅立叶级数来表示。特别是对于平稳是非周期的，不能用傅立叶级数来表示。特别是对于平稳过程的样本函数过程的样本函数x(t)x(t)是始终继续下去的，不满足条件是始终继续下去的，不满足条件 除非采用特殊措施，否则不能通过对除非采用特殊措施，否则不能通过对X(t)的傅立叶变的傅立叶变换得到该随机过程的频率组成信息。换得到该随机过程的频率组成信息。4-2 4-2 自谱密度自谱密度这个困难可以通过该过程的自相关函数这个困难可以通过该过程的自相关函数 作傅立叶分作傅立叶分析得到解决。其原因是自相关函数能间接的给出包含在随析得到解决。其原因是自相关函数能间接的给出包含在随机过程中的频率信息。如果对随机过程机过程中的频率信息。如果对随机过程X(t)的零点进行调的零点进行调整，使得整，使得X(t)的平均值的平均值 ，并假定没有周期分，并假定没有周期分量，那么量，那么且条件且条件 得到满足，所以可以用傅立叶变换来得到满足，所以可以用傅立叶变换来计算，于是得到计算，于是得到 的傅立叶变换和逆变换，即的傅立叶变换和逆变换，即式中式中 称为随机过程称为随机过程X(t)的自谱密度（或自功率谱密的自谱密度（或自功率谱密度函数，或称均方谱密度函数），它是圆频率的函数。上度函数，或称均方谱密度函数），它是圆频率的函数。上式通常叫做维纳辛钦定理，即自相关函数与自谱函数互式通常叫做维纳辛钦定理，即自相关函数与自谱函数互为傅立叶变换。为傅立叶变换。4-2 4-2 自谱密度自谱密度 2.2.自谱密度的性质自谱密度的性质（1 1）当）当 时，上式变为时，上式变为4-2 4-2 自谱密度自谱密度数学意义：自功率密度函数数学意义：自功率密度函数 曲线下的面积等于振动曲线下的面积等于振动量在量在 时的自相关函数值。时的自相关函数值。此式表示自相关函数在此式表示自相关函数在 时又等于振动量的均方值，时又等于振动量的均方值，所以，自功率谱密度函数曲线下的面积等于振动量所以，自功率谱密度函数曲线下的面积等于振动量X(t)的的均方值。即均方值。即而而（2 2）是实偶函数是实偶函数应用傅立叶变换进行证明，若应用傅立叶变换进行证明，若其傅立叶变换分量式为其傅立叶变换分量式为4-2 4-2 自谱密度自谱密度因为因为 是是 的偶函数，的偶函数，是是 的奇函数，所以的奇函数，所以 是是 的奇函数，于是有的奇函数，于是有 ，故，故因为因为 是实偶函数，所以自谱函数是实偶函数，所以自谱函数 是实偶函数。是实偶函数。不会是负数，因为在任何特定的频率范围不会是负数，因为在任何特定的频率范围内的均方值为内的均方值为 而而 不会是负数，故不会是负数，故 不会小于零。不会小于零。（3 3）的单位是均方值单位的单位是均方值单位/频率单位。频率单位。4-2 4-2 自谱密度自谱密度SX(w w)w wO3.3.物理意义物理意义 自功率谱密度自功率谱密度 是每单位频带宽内的均方值，即是每单位频带宽内的均方值，即自功率谱密度表征能量按频率的分布情况。自功率谱密度表征能量按频率的分布情况。4-2 4-2 自谱密度自谱密度4.4.自功率密度的应用自功率密度的应用（1 1）分析振动频率成分，理解振动的物理机理。分析振动频率成分，理解振动的物理机理。有了有了 的曲线，就可知道在哪些频率范围内的振动占优势。的曲线，就可知道在哪些频率范围内的振动占优势。比如，载荷谱（自谱密度）反映了载荷在各频率成分上的比如，载荷谱（自谱密度）反映了载荷在各频率成分上的振动能量与振幅，这对于合理设计零部件的强度十分重要。振动能量与振幅，这对于合理设计零部件的强度十分重要。（2 2）作为设计工作和振动模拟试验的重要依据。作为设计工作和振动模拟试验的重要依据。（3 3）对故障的判断和分析。对故障的判断和分析。例如一些重要设备，如汽例如一些重要设备，如汽轮机、飞机、机床等均可根据自谱的变化来判断故障轮机、飞机、机床等均可根据自谱的变化来判断故障的发生原因，以便迅速排除，保证安全运行。的发生原因，以便迅速排除，保证安全运行。（4 4）在医学上，可根据量测的脑电波、心电波进行自谱在医学上，可根据量测的脑电波、心电波进行自谱分析来研究病症及病理。分析来研究病症及病理。4-2 4-2 自谱密度自谱密度（5 5）军事上可以利用谱图来侦察并判明潜水艇型号。军事上可以利用谱图来侦察并判明潜水艇型号。【例【例4-14-1】已知一平稳随机过程】已知一平稳随机过程X(t)，其均方谱密度如图其均方谱密度如图所示，求均方值及自相关函数。所示，求均方值及自相关函数。4-2 4-2 自谱密度自谱密度【解】【解】因为因为 是是 的偶函数，上式右边第一项被积函数为奇的偶函数，上式右边第一项被积函数为奇函数，其积分为零，右边第二项积分不为零，故函数，其积分为零，右边第二项积分不为零，故利用和差化积公式得到利用和差化积公式得到4-2 4-2 自谱密度自谱密度4-2 4-2 自谱密度自谱密度t tRX(t)2S0(w2-w1)4-34-3 窄带和宽带随机过程 1.1.定义定义 （1 1）窄带过程：）窄带过程：所谓所谓“窄带窄带”过程是指该过程的谱密过程是指该过程的谱密度仅占据频率轴上很窄的一段频带，即该过程的谱密度主度仅占据频率轴上很窄的一段频带，即该过程的谱密度主要集中在此窄带的频带内，而在此窄带频带外，谱密度很要集中在此窄带的频带内，而在此窄带频带外，谱密度很小，实际上可以忽略不计。小，实际上可以忽略不计。w w0-w-w0w wSX(w w)Otx(t)O近似近似理想化理想化4-34-3 窄带和宽带随机过程（2 2）宽带过程）宽带过程:宽带过程是它的谱密度占据一个宽广的频宽带过程是它的谱密度占据一个宽广的频带，而其时间历程是由整个频带中各种频率信号叠加而成带，而其时间历程是由整个频带中各种频率信号叠加而成的。宽带过程或多或少真实地近似实际环境中出现的随机的。宽带过程或多或少真实地近似实际环境中出现的随机振动过程。一般的说，随着与激励源的距离增加和振动传振动过程。一般的说，随着与激励源的距离增加和振动传递路线中运用各种滤波结构，带宽将会缩小。递路线中运用各种滤波结构，带宽将会缩小。w w1-w-w2w wSX(w w)Otx(t)O-w-w1w w24-34-3 窄带和宽带随机过程 （3 3）白谱：如果谱密度的值不变，而频带从白谱：如果谱密度的值不变，而频带从 到延伸到到延伸到 ，则称为白谱或白噪声谱。实际上白噪声，则称为白谱或白噪声谱。实际上白噪声是不可能存在的，它仅仅是个理论上的概念。是不可能存在的，它仅仅是个理论上的概念。实际上，如果一个宽带噪声，它的带宽延伸超过了所实际上，如果一个宽带噪声，它的带宽延伸超过了所有重要的频率且谱密度是不变数值时，就可以把它看作白有重要的频率且谱密度是不变数值时，就可以把它看作白频谱。频谱。4-34-3 窄带和宽带随机过程 2.2.窄带和宽带过程的自相关函数窄带和宽带过程的自相关函数 由维纳辛钦公式可得由维纳辛钦公式可得因为因为 是是 的偶函数，上式右边第二项被积函数为的偶函数，上式右边第二项被积函数为 的的奇函数，其积分为零，故奇函数，其积分为零，故利用和差化积公式，得到利用和差化积公式，得到RX(t t)4-34-3 窄带和宽带随机过程对于窄带过程，对于窄带过程，相对相对 的主要频率是平均值的主要频率是平均值 。当。当 时，相关函数值最大。而对于宽带过程，由于时，相关函数值最大。而对于宽带过程，由于频带宽，公式中的因子频带宽，公式中的因子 作用也较大，所以作用也较大，所以相关函数的幅值衰减较快。相关函数的幅值衰减较快。4-34-3 窄带和宽带随机过程3.3.白噪声过程的自相关函数白噪声过程的自相关函数 在窄带与宽带过程的自相关函数中，当低限频率在窄带与宽带过程的自相关函数中，当低限频率 时，时，为为此式的图形如下图所示此式的图形如下图所示 4-34-3 窄带和宽带随机过程当当 ，除，除 处的高峰外，相邻循环的高峰靠得很处的高峰外，相邻循环的高峰靠得很紧，挤在一起，以致彼此抵消，只在紧，挤在一起，以致彼此抵消，只在 处保留一个无处保留一个无限高零宽度的尖峰，其面积为限高零宽度的尖峰，其面积为 。这个特性数学上可用。这个特性数学上可用 函数函数 来表示。来表示。的定义是除了的定义是除了 处外，它在任处外，它在任何处的值都为零；当何处的值都为零；当 时，它为无限大，且有时，它为无限大，且有更为一般的情况下。更为一般的情况下。的定义是除了的定义是除了 处外，其处外，其余各处余各处 。4-34-3 窄带和宽带随机过程 、有如下特性：有如下特性：其中其中 是是 的任意连续函数。所以谱密度为的任意连续函数。所以谱密度为 的平稳的平稳随机白噪声过程的自相关函数为随机白噪声过程的自相关函数为4-34-3 窄带和宽带随机过程事实上，根据事实上，根据 函数的基本性质与维纳辛钦公式，可得函数的基本性质与维纳辛钦公式，可得以下傅立叶变换式：以下傅立叶变换式：所以，白噪声过程的自相关函数在原点含有一个所以，白噪声过程的自相关函数在原点含有一个 函数。函数。这说明，白噪声过程对所有时差的自相关为零，也就是任这说明，白噪声过程对所有时差的自相关为零，也就是任一时刻的波形与其他时刻完全不相关，当一时刻的波形与其他时刻完全不相关，当 时，时，理论上白噪声过程的均方值为无穷大理论上白噪声过程的均方值为无穷大4-4 导出过程的谱密度 如果已知平稳过程如果已知平稳过程 的自谱密度的自谱密度 ，就能用它，就能用它来计算该过程的导出过程的自谱密度。从而也可以计算导来计算该过程的导出过程的自谱密度。从而也可以计算导出过程的均方值。出过程的均方值。计算可以从自相关函数开始计算可以从自相关函数开始考虑考虑 对对 的微分，为此，必须对和式中每一组成项都的微分，为此，必须对和式中每一组成项都对对 微分，把微分，把t t视为常数，即有：视为常数，即有：4-4 导出过程的谱密度 对于平稳过程对于平稳过程 与与 （平稳过程的导出过程也是（平稳过程的导出过程也是平稳过程），集合平均与时间平稳过程），集合平均与时间t无关，所以无关，所以由此可得由此可得将上式对将上式对t t再微分一次，得再微分一次，得其中其中 是导出过程的自相关函数。是导出过程的自相关函数。4-44-4 导出过程的谱密度上式说明，平稳随机过程上式说明，平稳随机过程 的自相关函数对时差的自相关函数对时差 的的二阶导数等于该过程的导出过程的自相关函数加一负号。二阶导数等于该过程的导出过程的自相关函数加一负号。由维纳辛钦公式得到由维纳辛钦公式得到于是有于是有再微分一次，得到再微分一次，得到4-44-4 导出过程的谱密度根据维纳辛钦公式根据维纳辛钦公式由此可以得出结论：导出过程的自谱密度等于原过程的自由此可以得出结论：导出过程的自谱密度等于原过程的自谱密度的谱密度的 倍，从已知的自谱密度算出均方值，即倍，从已知的自谱密度算出均方值，即同理有同理有和和224-54-5 互谱密度 1.1.定义：定义：将将 与与 的两个互相关函数的两个互相关函数 与与 进行傅立叶变换，即有进行傅立叶变换，即有称称 与与 为两个随机过程的互谱密度。它可以在为两个随机过程的互谱密度。它可以在频域描述两个随机过程之间的相关性。频域描述两个随机过程之间的相关性。4-54-5 互谱密度 2.2.性质性质 （1 1）与与 互为共轭函数。记为：互为共轭函数。记为：推导过程为：推导过程为：互谱密度定义式的逆变换式为互谱密度定义式的逆变换式为4-54-5 互谱密度根据傅立叶变换理论，若上述积分存在，必须有根据傅立叶变换理论，若上述积分存在，必须有这就意味着：当这就意味着：当 时，时，与与 必须互不相关，必须互不相关，且且 或或 必须为零。必须为零。因为互相关函数之间存在一定的关系因为互相关函数之间存在一定的关系所以得到所以得到4-54-5 互谱密度令令 ，代入上式，即有，代入上式，即有谱函数定义式谱函数定义式比较上式与谱函数定义式第二式右端，除比较上式与谱函数定义式第二式右端，除 差一负号外，差一负号外，完全相同，如果令完全相同，如果令与与其中其中 是实函数。所以有是实函数。所以有所以，所以，与与 实部相同，虚部反号，即二者互为实部相同，虚部反号，即二者互为共轭函数。共轭函数。4-54-5 互谱密度 （2 2）与与 的实部均为的实部均为 的偶函数，虚部均的偶函数，虚部均为为 的奇函数。的奇函数。因为定义式的第一式可以写成因为定义式的第一式可以写成4-54-5 互谱密度上式第一个积分为上式第一个积分为w w偶函数，第二个积分为偶函数，第二个积分为w w奇函数奇函数【例【例4-24-2】已知已知 是白噪声各态历经过程的一个样本函是白噪声各态历经过程的一个样本函数，数，是是 延迟时间延迟时间T后产生的。若后产生的。若 与与 的谱密的谱密度为度为 ，求互相关函数，求互相关函数 和和 以及互谱密度以及互谱密度 与与 。【解解】因为因为此处此处 ，所以，所以 故得故得4-54-5 互谱密度4-54-5 互谱密度|令令 ，则有，则有4-54-5 互谱密度t tRXY(t t)2 2p pS0 0d d(t-t-T)OTt tRYX(t t)2 2p pS0 0d d(t t+T)O-T4-64-6 多个平稳过程的谱矩阵和相干函数 1.1.谱矩阵的描述谱矩阵的描述 在频域可用谱矩阵来表示多个平稳过程的相关性。其在频域可用谱矩阵来表示多个平稳过程的相关性。其表达式为：表达式为：式中对角线上的元素分别为随机过程的自谱密度，非对角式中对角线上的元素分别为随机过程的自谱密度，非对角线上的元素为互谱密度。线上的元素为互谱密度。4-64-6 多个平稳过程的谱矩阵和相干函数2.2.互谱密度与自谱密度的关系互谱密度与自谱密度的关系 它们之间满足以下关系：它们之间满足以下关系：我们来推导上式：我们来推导上式：因为因为把维纳把维纳-辛钦公式代入上式。则辛钦公式代入上式。则上式对于任何上式对于任何 均成立。令均成立。令 ，则，则4-64-6 多个平稳过程的谱矩阵和相干函数令令则有则有4-64-6 多个平稳过程的谱矩阵和相干函数4-64-6 多个平稳过程的谱矩阵和相干函数4-64-6 多个平稳过程的谱矩阵和相干函数 3.3.相干函数的概念相干函数的概念 相干函数（又称相关函数或凝取函数）由下式定义相干函数（又称相关函数或凝取函数）由下式定义式中，式中，为系统的输入自谱密度，为系统的输入自谱密度，为系统的输出为系统的输出密度，密度，为输入与输出的互谱密度。为输入与输出的互谱密度。其中，其中，对于线性系统，若对于线性系统，若 ，说明输出完全来自输入；，说明输出完全来自输入；若若 ，说明输入和输出无关；若，说明输入和输出无关；若 ，可以，可以认为输出不完全来自输入，还可能来自别的输入和噪音。认为输出不完全来自输入，还可能来自别的输入和噪音。4-64-6 多个平稳过程的谱矩阵和相干函数 【例题】如图所示【例题】如图所示其自相关函数为其自相关函数为若若Z Z与与V V不相关，即有不相关，即有故故输入X输出Y干扰ZVRVZ(t t)4-64-6 多个平稳过程的谱矩阵和相干函数作傅立叶变换得到作傅立叶变换得到即即又因为又因为4-64-6 多个平稳过程的谱矩阵和相干函数若若X X与与Z Z不相关，即不相关，即 ，所以，所以对上式进行傅立叶变换，得对上式进行傅立叶变换，得所以有所以有4-64-6 多个平稳过程的谱矩阵和相干函数于是有于是有当当 时，时，即没有干扰，即没有干扰，Y Y（t t）完全来自完全来自于于X(t);X(t);当当 时，时，即，即Y(t)Y(t)完全来自完全来自于干扰；当于干扰；当 时，时，增加，增加，减小即减小即来自输入来自输入 的成分增加。反之，的成分增加。反之，减小，输出减小，输出来自输入来自输入 的成分减小，而来自噪声干扰的成分增加。的成分减小，而来自噪声干扰的成分增加。4-74-7 单边与双边谱密度 前面讲的谱密度的频率范围是前面讲的谱密度的频率范围是 到到 ，即为双边，即为双边谱密度。谱密度。式中式中 、是与双边谱密度等价的单边谱密度。是与双边谱密度等价的单边谱密度。容易推导，单边谱密度容易推导，单边谱密度 与双边谱密度满足如下与双边谱密度满足如下关系关系:4-74-7 单边与双边谱密度 同理，对于同理，对于 与双边谱密度与双边谱密度SX(w w)有以下关系：有以下关系：也可以这样描述单边谱密度与双边自谱密度：也可以这样描述单边谱密度与双边自谱密度：上述关于自谱密度的结果也适用与互谱密度。上述关于自谱密度的结果也适用与互谱密度。