苏锡常镇四市2018-2019学年度高三教学情况调查(一)数学试题含答案.pdf
2018-2019 学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学一、填空题，本大题共14 题，每小题5 分，共 70 分，不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合A 0，1，2，B x|1 x 1，则AB 答案：=0AB。2、i为虚数单位，复数1 2i2 的虚部为答案：2312()4ii，即虚部为-4。3、抛物线y 2 4x 的焦点坐标为答案：1,0。4、箱子中有形状、大小相同的3只红球、1只白球，一次摸出2 只球，则摸到的2 只球颜色相同的概率为答案：12解析：232412CC。5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前3组的频率成等差数列，则第2 组的频数为答案：406、如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是答案：327、已知函数2log(3),0()21,0 xxxf xx，若1(1)2f a，则实数a 答案：2log 3解析：222133(1)1log1loglog 3222f aaa8、中国古代著作张丘建算经有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700 里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为答案：700127解析：设第七天走的路程为x，那么七天总共走的路程为76127002270012127xxxxx。9、已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为答案：2解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，那么2244rh，圆柱的侧面积为224222rhrh。10、设定义在区间(0，2)上的函数y 33sin x 的图像与y 3cos 2x 2 的图像交于点P，则点P 到x 轴的距离为答案：3 解析：23 33 223 122sinxcosxsin x2233 33 1226+3 35=03sinxsin xsin xsinxsinx3 3sin3ppyx11、在ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知5a 8b，A 2B，则sin（A4）答案：17 250解析：345825sin8sin2sin,cos,5564abABABABBBB，2472172sinA,cosA,sinsinAcosA25254250A（）=。12、若直线l:ax y 4a 0 上存在相距为2 的两个动点A，B，圆O:x2y2 1上存在点C，使得ABC 为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为答案：3333，解析：根据题意得，圆O:x2y2 1上存在点C，使得点 C 到直线l的距离为 1，那么圆心O 到直线l的距离为不大于2，即2|4|21aa，于是3333，。13、在ABC 中，已知AB 2，AC 1，BAC 90o，D，E 分别为BC，AD 的中点，过点E 的直线交AB 于点P，交AC 于点Q，则BQ CPuu u r uur的最大值为答案：94解析：以 AC为 x 轴，AB为 y 轴，建立直角坐标系，那么B(0,2),C(1,0),并且 E 点的坐标为1 1,4 2，设直线PQ的方程为11()42yk x，所以有11120,0624423kPQkk，11125151|921,624224342242|24kkkBQ CPkkkk，uu u r uu r14、已知函数f(x)2|xxa，g(x)(2a 1)x a ln x，若函数y f(x)与函数y g(x)的图像恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为答案：1,解析：很显然，0a，()()h xf xg x单调递增，至多有一个零点，不符合题意。0a时，令22()()|(1ln)xxh xf xg xaxaax2222ln,2l)n(,xxaxaax xaaxaax xa，可以求得0a时，01h aa，二、解答题：共 6 小题，共 90 分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14 分）如图，三棱锥D ABC 中，已知AC BC，AC DC，BC DC，E，F分别为BD，CD 的中点，求证：（1）EF/平面ABC;（2）BD 平面ACE.解：（1）三棱锥DABC中，E为DC的中点，F为DB的中点，EFBC，3分BC平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC6分（2）ACBC，ACDC，BCDCC，AC平面BCD，8分BD平面BCD，ACBD，10分,DCBC E为BD的中点，CEBD，12分ACCEC，BD平面ACE14分16（本小题满分14 分）已知向量a2cos，2sin，bcos sin，cos sin.（1）求向量a与b的夹角；（2）若baa，求实数的值.解：（1）设向量a与b的夹角为，因为2a，22(cossin)(cossin)2b，4 分所以cosa bab(2cos,2sin)(cossin,cossin)2 2222cos2sin222 27 分考虑到0剟，得向量a与b的夹角49分（2）若()baa，则()0baa，即20b aa，12 分因为2b a，24a，所以240，解得214分17（本小题满分14 分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图）.拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD 区域种植草坪，其中A，B，C，D 均在该抛物线上.经测量，直路AB长为 40 米，抛物线的顶点P 到直路AB 的距离为40 米.设点C 到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n 米.（1）求出n 关于m 的函数关系式；（2）当m 为多大时，等腰梯形草坪ABCD 的面积最大？并求出其最大值.解：（1）以路 AB 所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，1分则(20,0)A，(20,0)B，(0,40)P，2分曲线段APB 为抛物线的一段弧，可以设抛物线的解析式为(20)(20)ya xx，将点(0,40)P代入得：40400a，解得110a，4分抛物线的解析式为21(400)10yx，5分点 C 在抛物线上，21(400)10nm，00m6分（2）设等腰梯形ABCD 的面积为S，则211(240)(400)210Smm，8分321(204008000)10Smmm，9分211(340400)(320)(20)1010Smmmm，10 分令0S，得203m，11分m20(0,)3m203m20(,20)3mS0S0S0SS增极大值减13分当203m时，等腰梯形ABCD 的面积最大，最大值为2560027平方米 14 分18（本小题满分16 分）已知椭圆 E:22221(0)xyabab的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知P(t，0)为椭圆E 外一动点，过点P 分别作直线l1和l2，l1和l2 分别交椭圆E 于点A，B和点 C，D，且l1和l2 的斜率分别为定值k1和 k2，求证：PA PBPC PD为定值.解：(1)设椭圆的半焦距为c，由已知得，32ca，则233acc，222cab，3分解得2a，1b，3c，5分椭圆 E 的标准方程是2214xy6分(2)由题意，设直线1l的方程为1()ykxt，代入椭圆E 的方程中，并化简得，22222111(14)8440kxkt xkt，8分设11(,)A xy，22(,)B xy则211221814k txxk，22112214414k tx xk，因为 PA2111kxt，PB2121kxt，10分所以PA PB2112(1)kxt xt2211212(1)()ktxxtx x2222221112211844(1)1414k tk tktkk221211|4|14ktk（），12分同理，PC PD222221|4|14ktk（），14分所以PA PBPC PD22122221(114114kkkk)()()()为定值16分19（本小题满分16 分）已知函数f(x)(x 1)ln x ax(a R).（1）若y f(x)在1，f(1)处的切线方程为x y b 0，求实数a，b 的值；（2）设函数g(x)()f xx，x1，e（中e 为自然对数的底数）.当a 1时，求g(x)的最大值；若h(x)()g xx是单调递减函数，求实数a 的取值范围.解：（1）1()lnxfxxax，(1)21fa，3a，1分(1)3fa，(1,3)代入0 xyb解得2b2分（2）1()(1)ln1g xxx，则222ln1ln1()xxxxgxxxx 3 分令()ln1xxx，则1()10 xx，()x在1,e单调递增，5分()(1)0 x，6分()0g x，()g x在1,e单调递增，()g x的最大值为1(e)eg 8 分同理，单调递增函数()()f xg xx1,1ea a，9分则11()(1)lnexh xxax1若0a，()0g x，1(1)ln()exxaxh x，22111ln(1)ln()exxxxaxxxh x222(1)ln10exxxxaxxx,，令22()(1)ln1u xxxxaxx，则1()(12)ln(21)0u xxxaxx即()u x在1,e单调递减，max()(1)20uxua,，2a 11分2若e1ea,，()0g x,，1(1)ln()exxaxh x，由1知，2()()exu xh xx，又()h x在区间1,e上是单调减函数，所以22()(1)ln10u xxxxaxx对1,ex恒成立，即221(1)lnaxxxxx对1,ex恒成立，即221111(1)lnaxxxxx对1,ex恒成立，令221111()=(1)ln,1,exx xxxxx，233223232122111132121()()ln(1)()lnxxxxxxxxxxxxxxx记()ln1(1e)xxxx，又11()10 xxxx，所以()x在区间1,e上单调递减，故max()(1)0 x，即ln1xx，所以3232323232321213212151()()ln()(1)0 xxxxxxxxxxxxxxx即()x在区间1,e上是单调递减，所以min221111()(e)(1)lne1eeeex，所以min()1ax，又e 1ea,，e1ea,13分3若e10ea，因为()1()(1)lnf xg xxaxx，22222ln1ln1112()0 xxxxxxg xxxxxx，所以()()f xg xx在1,e上单调递增，又1(1)(e)(1)0egga a，则存在唯一的0(1,e)x，使000011()(1)ln)0exh xxax，()h x在1,e上不单调15分综上所述，1,12,ea 16分20（本小题满分16 分）定义：若有穷数列a1，a2，an 同时满足下列三个条件，则称该数列为P 数列.首项a1 1；a1 a2 an；对于该数列中的任意两项ai 和a j(1 i j n)，其积aia j 或商jiaa仍是该数列中的项.（1）问等差数列1，3，5 是否为P 数列？（2）若数列a，b，c，6 是P 数列，求b 的取值范围；（3）若n 4，且数列b1，b2，bn 是P 数列，求证：数列b1，b2，bn 是等比数列.解：（1）3 5 15，53均不在此等差数列中，等差数列1,3,5不是 P 数列；2分（2）数列 a，b，c，6 是 P 数列，所以1abc6，3分由于 6b 或6b是数列中的项，而6b 大于数列中的最大项6，6b是数列中的项，同理6c也是数列中的项，5分考虑到 16c6b6，于是6cb，6bc，bc6，又 1bc，所以 1b6，7分综上，b 的取值范围是(1，6)8分（3）数列 bn 是 P 数列，所以1b1b2b3bn，由于 b2bn或2nbb是数列中的项，而b2bn大于数列中的最大项bn，2nbb是数列 bn中的项，10分同理3nbb，4nbb，1nnbb也都是数列 bn 中的项，考虑到 11nnbb 2nbbbn，且 1，1nnbb，2nbb，bn这 n 个数全是共有n 项的增数列1，b2，bn中的项，21nnbbb，12nnbbb，从而 bnbibn1i(i1，2，n 1)，12 分又 bn1b3bn1b2bn，所以 bn1b3不是数列 bn 中的项，13nbb是数列 bn 中的项，同理14nbb，12nnbb也都是数列 bn中的项，考虑到 112nnbb14nbb13nbb3nbb bn2bn1bn，且 1，12nnbb，14nbb，13nbb，3nbb，bn1，bn这 n 个数全是共有n 项的增数列1，b2，bn中的项，于是，同理有，bn1bibni(i1，2，n2)，14 分在中将i 换成 i1 后与相除，得1nnbb1iibb，i1，2，n2，b 1，b2，bn是等比数列16分2018-2019 学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学（附加题）21【选做题】本题包括A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修 4 2：矩阵与变换已知 x，yR，12是矩阵 A 10 xy的属于特征值1 的一个特征向量，求矩阵A 的另一个特征值解：12是矩阵10 xAy的属于特征值1的一个特征向量，111022xy，21,22,xy解得3,1xy，4分3101A，6分特征多项式为31()001f，即(3)(1)0，8分另一个特征值为310分B选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l：sin()03，在直角坐标系（原点与极点重合，x 轴正方向为极轴的正方向）中，曲线C 的参数方程为1414yttxtt（t 为参数）设 l 与 C 交于 A，B 两点，求 AB 的长解：以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴建立坐标系，直线sin()03的直角坐标方程为3yx，2分曲线1,41,4yttxtt的普通方程为221yx，4分则直线与曲线的交点为26(,)22A和26(,)22B，7分262 2AB10分C选修 45：不等式选讲若不等式15xxa对任意的xR 恒成立，求实数a 的取值范围解：111xxaxxaa，4分要使不等式15xxa 对任意的Rx恒成立，当且仅当15a，7 分4a或6a,10分【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22（本小题满分10 分）从批量较大的产品中随机取出10 件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X 表示这 10件产品中的不合格产品的件数（1）蚊：这 10 件产品中“恰好有2 件不合格的概率P(X2)”和“恰好有3 件不合格的概率P(X3)”哪个大？请说明理由；（2）求随机变量X 的数学期望E(X)解：由于批量较大，可以认为随机变量(10,0.05)XB,2分（1）恰好有2 件不合格的概率22810(2)0.050.95P XC，恰好有 3 件不合格的概率33710(3)0.050.95P XC，4分22810337100.050.95(2)571(3)0.050.958CP XP XC，(2)(3)P XP X，即恰好有2 件不合格的概率大；6分（2）1010()(1)kkkkP XkpC pp，0,1,2,10k.随机变量X的概率分布为：X0 1 2 10 kp001010(1)C pp11910(1)Cpp22810(1)C pp1010010(1)Cpp故100()0.5kkE Xkp9分答：随机变量X的数学期望()E X为0.510分23（本小题满分10 分）已知34268243451681022()nnnnCCCCf nCCCC，562468243451681022()nnnnCCCCg nCCCC，其中nN，2n（1）求(2)f，(3)f，(2)g，(3)g的值；（2）记()()()h nf ng n，求证：对任意的mN，m2，总有1(2)2mmh解：（1）24363(2)10CfC，3264346841(3)70CCfCC，44361(2)20CgC，5464346819(3)140CCgCC；3分（2）222122(2)!(2)!(!)(!)(2)!)(2)!)(22)!(1)!)(1)!)kkkkkkkkCCkkkkkCkk2(1)(2)(1)(1)(22)(21)(2)kkkk kkkk(1)(42)1(22)(21)(2)2kkkkkk，4分222122221()()()2kknnkkkkkkCCh nf ng nCk 5分下面用数学归纳法证：对任意的*,2Nmm，总有1(2)2mmh当2m时，111371(4)456602h，命题成立；当3m时，371111374(8)60789106010h372460601，命题成立，6 分假设当mt（3t）时，命题成立，即1(2)2tth成立；则当1mt时，11111(2)(2)232422ttttthh111111122324252622tttttt（），7分3t，1113232422ttt1(23)2(23)(24)(22)ttttt0，1113232422ttt8分又1111252622ttt111111222222ttt12222tt，9分1111322(2)222222tttttth，命题成立10分
