G202第二型曲线积分.ppt
1寄寄 语语假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舆马者，非利足也，而致千里；假舆马者，非利足也，而致千里；-旬子旬子2第第2020章章 第一节、第一型曲线积分第一节、第一型曲线积分 第二节、第二型曲线积分第二节、第二型曲线积分曲线积分曲线积分 第20章 本章内容：本章内容：（或称：关于弧长的曲线积分）（或称：关于坐标的曲线积分）3积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分对弧长的曲线积分（第一型）对坐标的曲线积分（第二型）曲面积分曲面积分几类积分概况 4第2节一、一、第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的计算二、第二型曲线积分的计算第二型曲线积分 第20章 本节内容：本节内容：三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 5一、一、第二型曲线积分的概念与性质第二型曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移“分割”“近似代替”“求和”“取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.61)“分割”-大化小大化小.2)“近似代替”-常代常代变变.把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在73)“求和”-近似和近似和.4)“取极限取极限”其中82.定义定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割任意分割和在局部弧段上任意取点任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上第二型曲线积分第二型曲线积分,则称此极限为函数或对坐标的曲线积分坐标的曲线积分.其中L 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线.称为被积函数被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限记作9若 为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,101).1).组合形式组合形式2).2).物理意义物理意义113.性质性质(1)若 L 可分成 k 条首尾相接的有向光滑曲线弧(2)用L 表示 L 的反向弧,则且 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!存在,则(3)线性性(略!)12二、第二型曲线积分的计算法二、第二型曲线积分的计算法定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有思想方法：统一变量化为定积分,积分限由起点到终点。证明证明:下面先证13对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L 为光滑弧,同理可证14特别地,如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有15例例1.计算其中L 为沿抛物线解法解法1 取 x 为积分变量,则解法解法2 取 y 为积分变量,则从点的一段.16例例2.计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则17例例3.计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解解:(1)原式(2)原式(3)原式18例例4.已知为折线 ABCOA(如图),计算解解:19例例5.求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解:取 的参数方程20例例6.设在力场作用下,质点由沿移动到解解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为21三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系22类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为23例例1 124例例2.2.将积分化为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周25二者夹角为 例例3.设曲线段 L 的长度为s,证明续,证证:设说明说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 26作业作业 P208 1 (1),(3),(5);3;4;271.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结283.计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧294.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧:30原点 O 的距离成正比,备用题备用题1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示提示:F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.思考思考:若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 31方程为 2.323.计算其中L 为折线 OABO,O(0,0)A(1,0)B(1,2)解：解：334.解解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点345.设曲线C为曲面与曲面从 ox 轴正向(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分解解:(1)看去为逆时针方向.35(2)原式=令利用“偶倍奇零”
