GCT入学资格考试(微积分.ppt

硕士专业学位研究生入学资格硕士专业学位研究生入学资格考试数学复习考试数学复习 河海大学理学院（210098）袁永生 教授对新考试特点的分析 GCT-ME重重在在考考查查获获取取知知识识的的能能力力；重重在在直直观观分分析析、判判断断综综合合；考查的不是难度、深度，而是能力。考查的不是难度、深度，而是能力。（以下来自考试大纲）（以下来自考试大纲）GCT-ME 考试数学基础能力测试宗旨：考试数学基础能力测试宗旨：考考查查考考生生所所具具有有的的数数学学方方面面的的基基础础知知识识、基基本本思思想想方方法法，及及使使用所掌握数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。用所掌握数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。试题结构：试题结构：25道道单单项项选选择择题题，每每题题4分分，时时间间为为45分分钟钟。内内容容为为算算术术、代代数数、几何与三角、一元微积分、线性代数五部分（各几何与三角、一元微积分、线性代数五部分（各5道题）。道题）。包括审题、涂答案和分析计算在内，平均每题包括审题、涂答案和分析计算在内，平均每题2分钟不到，少量题上最长不宜超过分钟不到，少量题上最长不宜超过3分钟。分钟。命题范围：命题范围：算算术术、代代数数、几几何何与与三三角角、一一元元微微积积分分、线线性性代代数数的的基基础础知知识识，及及其其在在日日常常生生活活、科科学学研研究究和和实实际际工工程程中中的的应应用用，要要求求考考生生对所列数学知识有较深刻的对所列数学知识有较深刻的理性认识理性认识。基础知识、思维方式及应用（思维方式：基础知识、思维方式及应用（思维方式：理性理性直观）直观）应有的基本对策 由由于于考考查查是是在在基基础础知知识识上上的的直直观观分分析析、判判断断综综合合；而而且且选选择择题题适宜考查基本概念及基本计算。因此复习中应注意：适宜考查基本概念及基本计算。因此复习中应注意：1、强强调调“正正确确”理理解解基基本本概概念念，熟熟练练基基本本运运算算。注注意意概概念念、性质、方法、结论的变化和综合性质、方法、结论的变化和综合；2、强强调调理理性性直直观观的的分分析析问问题题能能力力，尤尤其其是是通通过过图图形形的的直直观观分分析能力析能力；3、注意以前有关学习中容易错，不是很清楚的地方；、注意以前有关学习中容易错，不是很清楚的地方；应试基础：以不变应万变应试基础：以不变应万变(不变不变 熟练的双基、稳定的心态熟练的双基、稳定的心态);应试要领：速度；应试要领：速度；应试方法：应试方法：题目读完后，先看一下四个答案的特征题目读完后，先看一下四个答案的特征(因最终要选因最终要选);能画图的尽量画个准确的图能画图的尽量画个准确的图;画画不不出出图图，四四答答案案也也不不能能帮帮助助分分析析的的，注注意意相相关关概概念念本本质质和和结论。这些都不行，别忘记再看一遍已知。结论。这些都不行，别忘记再看一遍已知。注意应对选择题的多种有效方法等等。注意应对选择题的多种有效方法等等。课后：课后：熟悉相关概念的熟悉相关概念的“正确正确”理解和强调的方法理解和强调的方法.第四部分 一元一元函数微积分第一节 函数及其图形考试要求 集合，映射，函数，函数的应用内容综述内容综述 函数及有关概念函数及有关概念 1、定义：设、定义：设A，B是两个实数域是两个实数域 R 的非空子集，则的非空子集，则A到到B的对的对应应 f：AB 称为称为A到到B的函数。通常记作的函数。通常记作y=f(x),x A ，或或 相关概念：相关概念：定义域、自变量、因变量、基本初等函数定义域、自变量、因变量、基本初等函数(幂、指、对、幂、指、对、三角、反三角）、初等函数、分段函数（不属初等函数）。三角、反三角）、初等函数、分段函数（不属初等函数）。注意注意:定义域及对应法则是两个基本要素：定义域及对应法则是两个基本要素：x本身不一定是数，也可以是函数、定积分、行列式。本身不一定是数，也可以是函数、定积分、行列式。x本身不一定是一个字母，也可以是复杂的形式；本身不一定是一个字母，也可以是复杂的形式；确定任何函数的函数值，都必须先确定自变量的值。确定任何函数的函数值，都必须先确定自变量的值。2、函数的性质：有界，单调，奇偶，周期、函数的性质：有界，单调，奇偶，周期例1 已知 f(x+1)=x2+1，求f(x)的表达式例2 已知例3 设函数f(x)的定义域是 ，且f(x)的图形 关于直线x=a与x=b对称(ab)，求f(x)的周期。例4 研究下列函数的奇偶性：(1)(2)例5 已知函数f(x)的周期是2，求函数 的周期。第二节 数列与函数的极限考试要求 数列、函数的极限，极限的运算，极限存在准则，两个重要极限，连续，无穷大、无穷小。1、数列与函数极限定义；、数列与函数极限定义；2、极限性质；、极限性质；若数列若数列(或函数或函数)极限存在极限存在(收敛收敛),),则其极限唯一则其极限唯一;若数列若数列(或函数或函数)极限存在极限存在(收敛收敛),),则其极限有界则其极限有界;3、极限运算；、极限运算；4、两个重要极限、两个重要极限;,特别特别（注意核心：（注意核心：(1+无穷小无穷小)无穷大无穷大，且三种形式对应且三种形式对应.)（注意形式对应）（注意形式对应）内容综述 5、无穷大量与无穷小量的定义与性质：、无穷大量与无穷小量的定义与性质：定义：定义：时，时，称，称 f(x)在在 时为无穷小量；时为无穷小量；若若 时，时，称，称 f(x)在在 时为无穷大量；时为无穷大量；注意：注意：1 1都是指函数值是否具有某种趋势都是指函数值是否具有某种趋势:能越来越接能越来越接近近 0(0(或或)，是变化的量；，是变化的量；2 2区别无穷大量与无界量区别无穷大量与无界量.如如性质：有限个无穷小量的代数和、积仍为无穷性质：有限个无穷小量的代数和、积仍为无穷 小；无穷小量与有界量的积为无穷小。小；无穷小量与有界量的积为无穷小。6、无穷小量的比较及等价无穷小的替换、无穷小量的比较及等价无穷小的替换；定义：定义：注意条件注意条件x*,*,则则 (注意分子注意分子 分母整体替换分母整体替换)7、函数连续的定义、函数连续的定义：若若 ，则称，则称y=f(x)在点在点x0连续。连续。即即f(x)在在x0点连续点连续 “连续连续”的核心要素：的核心要素：f(x0)存在存在;三者相等三者相等.8、连续函数在闭区间上的性质、连续函数在闭区间上的性质(1)闭区间上连续，则闭区间上有界闭区间上连续，则闭区间上有界;(2)闭区间上连续，则闭区间上有最大、最小值闭区间上连续，则闭区间上有最大、最小值;(3)闭区间闭区间a,b上连续上连续,f(a)f(b),对对f(a)，f(b)之间之间任一数任一数，有，有c，使，使f(c)=.介值定理介值定理(4)闭区间闭区间a,b上连续上连续,f(a)f(b)0,c(a,b),使使f(c)=0.例例1 下列极限正确的是下列极限正确的是 A.A.，00a2；C.f(1)=4 D.在在x=1附近附近()，f(x)5.例例4 已知函数已知函数 在上在上(-,+)连续，连续，求求a，b的值。的值。例例4*设设 ，在，在(-,+)上连续，则上连续，则a=A.ln2 B.0 C.2 D.任意实数任意实数 例例5 设设 x0 时，时，是比是比 高阶的无穷小，其中高阶的无穷小，其中a，b，c是常数，则是常数，则a=,b=,c=?例例6 的草图是：的草图是：A B C D 第三节 导数与微分 考试要求 导数的概念，求导法则及基本求导公式，高阶导数，微分。内容综述1、导数的定义、导数的定义记号：记号：y=f(x)在在x0点的导数，记为点的导数，记为含义：含义：(x只是形式只是形式,是无穷小量是无穷小量,分子与分母一致分子与分母一致,趋于趋于)注：注：某点某点x0点处点处可导（有导数）的要素可导（有导数）的要素 f(x0)存在；存在；f(x)在在x0点点的的左导数左导数 ，右导数，右导数 存在且相等存在且相等.2、导数的几何意义、导数的几何意义:曲线上该点切线斜率、变化速度曲线上该点切线斜率、变化速度3、导数公式及导数四则运算、导数公式及导数四则运算；4、求导法则、求导法则 （1）复合函数求导：）复合函数求导：思路：拆分成若干层，使每一层能直接使用基本导数思路：拆分成若干层，使每一层能直接使用基本导数公式或四则运算法则如：公式或四则运算法则如：（2）隐函数导数）隐函数导数x与与y的对应关系由的对应关系由F(x,y)=0确定（隐函数）。如确定（隐函数）。如 思路：一个变量作自变量，其余看成自变量的函数思路：一个变量作自变量，其余看成自变量的函数5、高阶导数；、高阶导数；6、微分、微分 定义：定义：x，xx f(x)的定义域，相应函数的的定义域，相应函数的改变量有，改变量有，y=f(xx)-f(x)=Ax o o(x)其中其中A是不依赖于是不依赖于x的常数，的常数，o o(x)是比是比x高阶的无高阶的无穷小量，穷小量，Ax 称为函数称为函数y=f(x)在点在点x处相应于处相应于x的微的微分，记为分，记为dy dy=f(x)x=f(x)dx 微分的几何意义微分的几何意义 函数在某点的微分，是函数对应曲线上该点切线函数在某点的微分，是函数对应曲线上该点切线上相应于上相应于x的增量的增量例1 f(x)在 可导，求下列极限 （1）（2）例2 将(a)(d)中的函数与图中IIV的导函数图形匹配a b c dI II III IV例3 f(x)在(-,+)内可导，f(-x)=-f(x)，则 A.k B.-k C.0 D.例4 确定了y=y(x)，求 在x=0处的切线和法线方程。例5 可导偶函数的导函数是奇函数；可导奇函数的导函数是偶函数；周期为T的可导函数的导函数是以T为周期的函数。第四节 微分中值定理与导数应用 考试要求 中值定理，导数应用。内容综述1 1、中值定理（理论性强，了解）（图示）：、中值定理（理论性强，了解）（图示）：罗尔定理：罗尔定理：f(x)在在a,b上连续，上连续，(a,b)上可导，上可导，且且 f(a)=f(b)，则，则有有(a,b),使使 f()=0.即在即在(a，b)中有点的切线平行于中有点的切线平行于x轴。轴。拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：f(x)在在a,b上连续上连续,(a,b)上可导上可导,则则有有(a,b),使使f(b)f(a)=f()(ba)即此时即此时(a，b)中中有点的斜率等于直线有点的斜率等于直线AB的斜率。的斜率。2、导数的应用（重要）、导数的应用（重要）洛必达法则：洛必达法则：作用：不定式求极限方法（不定式：作用：不定式求极限方法（不定式：，或可，或可化为这两种型式的极限计算问题）化为这两种型式的极限计算问题）条件：条件：11f(x),g(x)极限点附近存在极限点附近存在;2 2g(x)0;3 3 存在存在.法则法则：注意：注意：11注意先简化再求导，及边简化边求导注意先简化再求导，及边简化边求导;2 2整个分式是整个分式是 ，先化成单一分式，先化成单一分式.函数的单调性与极值点：函数的单调性与极值点：1 1单调性定义：单调性定义：单增单增:x1 x2,f(x1)f(x2);单减单减:x1 x2,f(x1)f(x2)单调性判定：单调性判定：f(x)在在(a,b)内可导内可导,则则 f(x)在在(a,b)内单调增内单调增(减减)2 2极值点定义极值点定义:任给任给xx|0|x-x0|,f(x)f(x0),则则x0是极大值点是极大值点,任给任给xx|0|x-x0|f(x0),则则x0是极小值点是极小值点.极值点特性：双侧，局部极值点特性：双侧，局部 极值点来源：导数为零的点极值点来源：导数为零的点,或导数不存在的点或导数不存在的点.极值点判定极值点判定:.f(x)在在x0的空心领域内可导时的空心领域内可导时x0，x x0，f(x)0，x0为极大值点为极大值点;Xx0，f(x)x0，f(x)0，x0为极小值点为极小值点.x0两侧两侧 f(x)同号，同号，x0不是极值点。不是极值点。.f(x)在在x0处有二阶导数处有二阶导数,f(x)=0,f(x)0 x0附近，附近，f(x)0，x0为极小值点。为极小值点。（记：大小，小大）（记：大小，小大）函数的凹凸性与拐点：函数的凹凸性与拐点：1 1凹凸性定义：曲线上切线与曲线的位置凹凸性定义：曲线上切线与曲线的位置.凹凸性判定凹凸性判定:f(x)在区间在区间I上二阶可导上二阶可导,则则 f(x)0，f(x)在在I上凹的上凹的;f(x)0，它是可微函数 f(x)的反函数(其中x0),且恒有 则函数 f(x)=A.B.C.-1 D.例8 设f(x)和g(x)在(-,+)上可导，且f(x)g(-x)B.C.D.例9 设 ，则 （A）I0 (B)I=0 (C)I=(D)例10 f(x)，g(x)是连续函数，且 ，（ab），则必有 （A）曲线y=f(x)与y=g(x)在a，b上重合；（B）曲线y=f(x)与y=g(x)仅在x=a与x=b上相交；（C）曲线y=f(x)与y=g(x)在a，b上至少有一个交点；（D）不能确定曲线y=f(x)与y=g(x)在a，b上是否有交点。例11 已知 ，求a，b的值。