第二章极限与连续精选文档.ppt

第二章极限与连续本讲稿第一页，共一百零三页第一节第一节 数列的极限数列的极限一、一、数列的概念数列的概念 数列数列,直观地说就是将一些数排成一列直观地说就是将一些数排成一列,这样一列数就称这样一列数就称为一个数列为一个数列 有限数列有限数列:数列中的数可为有限多个数列中的数可为有限多个;无限数列无限数列:数列中的数为无限多个数列中的数为无限多个.本讲稿第二页，共一百零三页定定义义1 设设xn=f(n)是是一一个个以以正正整整数数集集为为定定义义域域的的函函数数，将其函数值将其函数值xn按自变量按自变量n的大小顺序排成一列的大小顺序排成一列x1,x2,x3,，xn,称称为为一一个个数数列列数数列列中中的的每每一一个个数数叫叫做做数数列列的的项项，第第n项项xn叫叫做做数数列列的的一一般般项项或或通通项项数数列列也也可可表表示示为为xn或或xn=f(n)本讲稿第三页，共一百零三页定义定义2 若数列若数列xn满足满足x1x2xn，则称则称xn是是单调递增数列单调递增数列如果如果x1x2xn，则则称称xn是是单单调调递递减减数数列列如如果果上上述述不不等等式式中中等等号号都都不不成成立立，则则称称xn是是严严格格单单调调递递增增数数列列或或严严格格单单调调递递减减数数列列单单调调递递增和单调递减数列统称为单调数列增和单调递减数列统称为单调数列本讲稿第四页，共一百零三页定义定义3 若存在若存在M0，使得对一切，使得对一切xn,n=1,2,，都有，都有xnM，则称数列，则称数列xn是是有界有界的，否则称的，否则称xn是是无界无界的的 xn M的充要条件的充要条件是是-MxnM,即即xn-M,M.如果我们如果我们将将xn用数轴上的点表示，则从几何上看，所谓用数轴上的点表示，则从几何上看，所谓xn有界，就有界，就表示存在一个关于原点对称的区间表示存在一个关于原点对称的区间-M.M，使得所有的，使得所有的xn均落在这一对称区间内，即均落在这一对称区间内，即xn-M,M.反之亦然反之亦然.本讲稿第五页，共一百零三页二、二、数列的极限数列的极限定定义义4 设设xn为为一一数数列列，若若当当n取取正正整整数数且且无无限限增增大大时时,数数列列中中对对应应的的项项xn(即即通通项项)无无限限接接近近于于一一个个确确定定的的常常数数A,则则称称xn收收敛敛于于A，或或称称A为为xn的的极极限限,记记作作=A,或或xnA(n)，此此时时也也称称xn的的极极限限存存在在.否否则则称称xn的的极极限限不不存存在在，或称或称xn发散发散只是极限的描述性定义只是极限的描述性定义,在这个定义中没有讲清楚在这个定义中没有讲清楚“n”和和“xnA”的具体数学含义的具体数学含义 本讲稿第六页，共一百零三页研究数列研究数列将数列中的项依次在数轴上描出将数列中的项依次在数轴上描出 要要说说明明“当当n越越来来越越大大时时,xn越越来来越越接接近近于于1”就就只只须须说说明明“当当n越来越大时越来越大时,xn-1 会越来越接近于会越来越接近于0”本讲稿第七页，共一百零三页只须说明只须说明“当当n充分大时充分大时,xn-1 能够小于任意给定的无论能够小于任意给定的无论多么小的正数多么小的正数”就行了，换一句话说，无论你给一个多么就行了，换一句话说，无论你给一个多么小的正数小的正数,当当n充分大时充分大时,xn-1 可以比可以比还小还小,由于由于是任意的是任意的,从而就说明了当从而就说明了当n越来越来越大时越大时,xn-1 会越来越接近于会越来越接近于0 本讲稿第八页，共一百零三页定定义义5 设设xn是是一一个个数数列列,A是是一一个个常常数数,若若对对任任给给的的0,存存在在正正整整数数N,使使得得当当nN时时,都都有有 xn-A,则则称称A是是数数列列xn的极限的极限,或称或称xn收敛于收敛于A,记作记作=A,或或xnA(n)此此时时也也称称数数列列xn的的极极限限存存在在.否否则则,称称xn的的极极限限不不存存在在,或称或称xn发散发散本讲稿第九页，共一百零三页(2)一般说来，定义中的一般说来，定义中的N是随是随的变化而变化的，给定的变化而变化的，给定不同的不同的，所确定的，所确定的N一般也不同一般也不同(3)定义中定义中“当当nN时，有时，有 xn-A”的意思是从第的意思是从第N+1项开始，以后的各项都满足项开始，以后的各项都满足 xn-A 至于第至于第N+1项项前面的项前面的项(即第即第1项，第项，第2项，项，第，第N项项)是否满足此式则是否满足此式则不必考虑不必考虑 注意注意:(1)定义中的定义中的是预先给定的任意小的正数，因此，是预先给定的任意小的正数，因此，既具既具有任意性，又具有确定性有任意性，又具有确定性 本讲稿第十页，共一百零三页(4)数列极限的几何意义数列极限的几何意义 xnA(n)就是就是对对以以A为为心，以任意小的正数心，以任意小的正数为为半径的半径的邻邻域域U(A,),总总能找到一个能找到一个N,从第从第N+1项项开始开始,以后的各以后的各项项(无限多无限多项项)都落在都落在邻邻域域U(A,)内，而在内，而在U(A,)外，至多有外，至多有N项项(有限有限项项).xn的聚点本讲稿第十一页，共一百零三页例例解解本讲稿第十二页，共一百零三页三、三、数列极限的性质及收敛准则数列极限的性质及收敛准则定理定理1(唯一性定理唯一性定理)若数列若数列xn收敛收敛,则其极限值必唯则其极限值必唯一一定理定理2(有界性定理有界性定理)若数列若数列xn收敛，则收敛，则xn必是有界数必是有界数列列定理定理3(保序性定理保序性定理)设设xn,yn的极限存在的极限存在,且且 ,则存在正整数则存在正整数N,当当nN时时,有有xnyn.本讲稿第十三页，共一百零三页推论推论1(保号性定理保号性定理)设设xn的极限存在，且的极限存在，且 (或或 ),则存在正整数则存在正整数N,当当nN时时,有有xn0(或或xn0)推推论论2 设设xn,yn的的极极限限存存在在,若若xnyn(当当nN时时),则则 特别地特别地,若若xn0(或或xn0),则则 或或 .本讲稿第十四页，共一百零三页定理定理4(夹逼定理夹逼定理)设数列设数列xn,yn,zn满足满足xnynzn(当当nN时时)，且，且 ,则则 定理定理5(单调有界数列收敛准则单调有界数列收敛准则)单调递增且有上界的数列单调递增且有上界的数列必有极限；单调递减且有下界的数列必有极限即单调有必有极限；单调递减且有下界的数列必有极限即单调有界数列必有极限界数列必有极限 本讲稿第十五页，共一百零三页第二节第二节 函数的极限函数的极限一、一、x时时,函数的极限函数的极限1.概念概念定义定义1 设设y=f(x)在在(-,-M)(M,+)内有定义内有定义,其中其中M0.若对任给的若对任给的 0,存在正实数存在正实数X0,当当 x X时时,相应的函数值相应的函数值f(x)满足满足 f(x)-A ,则称则称A为为f(x)的当的当x 时的极限时的极限,记作记作 f(x)=A,或或f(x)A(x ).此此时也称当时也称当x 时时,f(x)的极限存在的极限存在,否则称当否则称当x 时时,f(x)的极限不存在的极限不存在本讲稿第十六页，共一百零三页任给任给 0,存在存在N,当当nN时时,有有 xn-A 与数列极限定义比较与数列极限定义比较“xn=f(n)”换成了换成了“y=f(x)”“存在正整数存在正整数N”换成了换成了“存在实数存在实数X0”n是离散变化的是离散变化的,x是连续变化的是连续变化的 对任给的对任给的 0,存在正实数存在正实数X0,当当 x X时时,相应的函数相应的函数值值f(x)满足满足 f(x)-A 本讲稿第十七页，共一百零三页 如果如果x0且无限增大时且无限增大时,f(x)无限接近于常数无限接近于常数A,则记作则记作 f(x)=A,或或f(x)A(x+).如果如果x0且且 x无限增大时无限增大时,f(x)无限接近于无限接近于A,则则记作记作 f(x)=A,或或f(x)A(x-)定理定理1 f(x)=A的充要条件是的充要条件是 f(x)=f(x)=A本讲稿第十八页，共一百零三页2.几何意义几何意义 f(x)=A的几何意义是：的几何意义是：对任给的对任给的 0,作直线作直线y=A ,存在存在X0,当当xX时时,y=f(x)的函数图形夹在两平行直线的函数图形夹在两平行直线y=A 之间之间.y=f(x)应以直线应以直线y=A为渐近线为渐近线 本讲稿第十九页，共一百零三页例例 试由极限的几何意义确定试由极限的几何意义确定 arctanx和和 arctanx,并问并问 arctanx是否存在是否存在解解 当当x+时时,arctanx以直线以直线y=为渐近线为渐近线.而当而当x-时时,arctanx以以直线直线y=-为渐近线为渐近线 本讲稿第二十页，共一百零三页本讲稿第二十一页，共一百零三页二、二、xx0时时,函数的极限函数的极限 1.概念概念定义定义2 设设y=f(x)在在x0的某去心邻域的某去心邻域 (x0)内有定义内有定义.如如对任给的对任给的 0,存在存在 0,当当0 x-x0 时时,对应的函对应的函数值数值f(x)满足满足 f(x)-A ,则称则称A为为f(x)的当的当x趋近于趋近于x0时的极限时的极限,记作记作 f(x)=A,或或f(x)A(xx0).此时也称此时也称当当xx0时时f(x)的极限存在的极限存在,否则称当否则称当xx0时时f(x)的极限的极限不存在不存在.本讲稿第二十二页，共一百零三页任给的任给的 0,存在存在 0,当当0 x-x0 时时,对应的函数值对应的函数值f(x)满足满足 f(x)-A 数列极限定义比较数列极限定义比较 任给任给 0,存在存在N,当当nN时时,有有 xn-A “xn=f(n)”换成了换成了“f(x)”“存在正整数存在正整数N”换成了换成了“存在存在 0”“nN”换成换成“0 x-x0 ”N和和 的含义是不一样的的含义是不一样的,都随都随 的变化而变化的的变化而变化的,但但N往往往很大往很大,而而 则往往很小则往往很小.本讲稿第二十三页，共一百零三页2.几何意义几何意义 如果如果 f(x)=A,则表示对任给的则表示对任给的 0,存在存在 0,当当0 x-x0 时时,有有 f(x)-A,即即A-f(x)A+.就是当就是当x落在落在 (x0,)内时内时,函数图形夹在两函数图形夹在两平行直线平行直线y=A 之间之间.本讲稿第二十四页，共一百零三页例例证证本讲稿第二十五页，共一百零三页3.左、右极限左、右极限定定义义3 设设f(x)在在(a,x0)或或(x0,b)内内有有定定义义,若若对对任任给给的的 0,存存在在 0,当当0 x0-x (或或0 x-x0 )时时,有有 f(x)-A ,则则称称A为为f(x)当当xx0时时的的左左(或或右右)极极限限.左极限记作左极限记作f(x)=A,或或f(x0-0)=A,或或f(x)A(x )右极限记作右极限记作f(x)=A,或或f(x0+0)=A,或或f(x)A(x )本讲稿第二十六页，共一百零三页定理定理2 f(x)=A的充要条件是的充要条件是 f(x)=f(x)A即即f(x)当当xx0时的极限存在的充要条件是时的极限存在的充要条件是f(x)在在x0处的左、处的左、右极限均存在并相等右极限均存在并相等 例例解解本讲稿第二十七页，共一百零三页三、三、函数极限的性质函数极限的性质 定理定理3 若若lim f(x)存在存在,则其极限必惟一则其极限必惟一.其中其中“lim”表示表示任一极限过程任一极限过程定理定理4 (1)若若 f(x)存在存在,则必存在则必存在X0和和M0,使得当使得当 x X时时,有有 f(x)M(2)若若 f(x)存在存在,则必存在则必存在 0和和M0,使得当使得当0 x-x0 时时,有有 f(x)M本讲稿第二十八页，共一百零三页定理定理5 (1)若若 f(x)=a且且a0(或或a0),则存在则存在X0，当当 x X时时,f(x)0或或f(x)0.(2)若若 f(x)=a且且a0(或或a0)，则存在，则存在 0,当当0 x-x0 时，有时，有f(x)0或或f(x)0定理定理6 (1)若当若当x (x0)时时,有有f(x)0或或f(x)0,且且 f(x)存在存在,则则 f(x)0或或 f(x)0(2)若当若当 x X时时,有有f(x)0或或f(x)0,且且 f(x)存在存在,则则 f(x)0或或 f(x)0.本讲稿第二十九页，共一百零三页定理定理7(夹逼定理夹逼定理)若当若当x (x0)（或（或 x X)时时,有有g(x)f(x)h(x),且且 g(x)=h(x)=A,则则 f(x)=A.本讲稿第三十页，共一百零三页第三节第三节 无穷小量、无穷大量无穷小量、无穷大量一、一、无穷小量无穷小量1.无穷小量的概念无穷小量的概念定义定义1 若若limf(x)=0,则称则称f(x)是该极限过程中的一个无是该极限过程中的一个无穷小量穷小量符号符号“lim”表示任一极限过程表示任一极限过程 无穷小量与极限过程分不开无穷小量与极限过程分不开,不能脱离极限过程说不能脱离极限过程说f(x)是无穷小量是无穷小量 不要把无穷小量与非常小的数混淆不要把无穷小量与非常小的数混淆.本讲稿第三十一页，共一百零三页定义定义2 如果对任给的如果对任给的 0,存在存在 0(X0),当当0 x-x0 时时(x X时时),有有 f(x),则称则称f(x)是是xx0(x)时时的无穷小量的无穷小量定理定理1 limf(x)=A的充要条件是存在该极限过程的无穷小的充要条件是存在该极限过程的无穷小量量(x)，使得，使得f(x)=A+(x)，其中，其中A为常数为常数若当若当xx0时时,f(x)以以A为极限为极限,则当则当xx0时时,f(x)将越来将越来越接近于越接近于A,从而从而f(x)-A越来越接近于越来越接近于0,即即(x)=f(x)-A是是xx0时的一个无穷小量时的一个无穷小量,因此因此f(x)=A+(x).本讲稿第三十二页，共一百零三页2.无穷小量的运算无穷小量的运算定理定理2 在某极限过程中在某极限过程中,有限多个无穷小量的代数和仍为无有限多个无穷小量的代数和仍为无穷小量穷小量证证 只证明两个无穷小量的情形只证明两个无穷小量的情形设设(x)0,(x)0(xx0),对任给的对任给的 0,由于由于/2也是一个正数也是一个正数,存在一个公共的存在一个公共的 0,当当0 x-x0 时时,有有(x)/2,(x)0.推广推广 若若limf(x)=A0,limg(x)=B(存在存在),则则 lim =lim =AB，其中其中f(x)0 本讲稿第九十四页，共一百零三页例例解解例例解解本讲稿第九十五页，共一百零三页第八节第八节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 1.最值定理最值定理 定义定义1 设函数设函数f(x)在区间在区间I上有定义上有定义,如果存在点如果存在点x0,使得对任意使得对任意xI,恒有恒有f(x0)f(x)或或f(x0)f(x)成立成立,则称则称f(x0)为函数为函数f(x)在区间在区间I上的上的最大值最大值(或或最最小值小值),记为记为f(x0)=f(x)或或f(x0)=f(x),x0称为称为函数函数f(x)在区间在区间I上的上的最大值点最大值点(或或最小值点最小值点).定理定理1 若若f(x)C(a,b),则则f(x)在在a,b上至少取到它的上至少取到它的最大值和最小值各一次最大值和最小值各一次.本讲稿第九十六页，共一百零三页设设f(x)C(a,b),(1)f(x)为为a,b上的单调函数上的单调函数 函数函数f(x)恰好在区间恰好在区间a,b的端点的端点a和和b取得最大值和取得最大值和最小值最小值.本讲稿第九十七页，共一百零三页(2)f(x)为为a,b上的一般连续函数上的一般连续函数总可以将总可以将a,b分成有限个小区间分成有限个小区间,使函数使函数f(x)在每个小区间在每个小区间上保持单调增加或单调减少上保持单调增加或单调减少.这有限个小区间的端点处的函数值中的最大者和最小这有限个小区间的端点处的函数值中的最大者和最小者即分别为函数者即分别为函数f(x)在在a,b上的最大值和最小值上的最大值和最小值.推论推论1 若若f(x)C(a,b),则则f(x)在在a,b上有界上有界本讲稿第九十八页，共一百零三页2.零点存在定理零点存在定理定理定理2 设设f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,且两端点上的函数且两端点上的函数值异号值异号,即即f(a)f(b)0,则至少存在一点则至少存在一点x0(a,b),使使得得f(x0)=0零点存在定理的几何意义零点存在定理的几何意义:若函数若函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连上连续续,且且f(a)与与f(b)不同号不同号,则函数则函数y=f(x)对应的曲线至少有一次对应的曲线至少有一次穿过穿过x轴轴.本讲稿第九十九页，共一百零三页例例令令f(x)=x5-3x-1,x1,2,则则f(x)C(1,2),且且f(1)=-3,f(2)=25,证证故由零点存在定理故由零点存在定理,至少存在一点至少存在一点x0(1,2),使得使得f(x0)=0,即方程即方程x5-3x=1在在x=1与与x=2之间至少有一根之间至少有一根 本讲稿第一百页，共一百零三页3.介值定理介值定理定理定理3 设设f(x)C(a,b),f(a)=A,f(b)=B,且且AB,则对于则对于A,B之间的任意一个数之间的任意一个数C,至少存在一点至少存在一点x0(a,b),使得使得f(x0)=C.说明说明:当当x在在a,b上变动时上变动时,a,b上的连续函数所取上的连续函数所取得的函数值必完全充满某得的函数值必完全充满某个区间个区间A,B.推论推论2 设设f(x)C(a,b),则则f(x)可取得介于其在区间可取得介于其在区间a,b上的最大上的最大M和最小值和最小值m之间的任何值之间的任何值本讲稿第一百零一页，共一百零三页例例因为因为f(x)C(x1,xn)，所以，所以f(x)在在x1,xn上有最大上有最大值和最小值存在值和最小值存在 证证本讲稿第一百零二页，共一百零三页由介值定理的推论由介值定理的推论,至少存在一点至少存在一点x0 x1,xn,使使本讲稿第一百零三页，共一百零三页