第四章 曲线拟合方法精选文档.ppt
第四章第四章 曲线拟合方法曲线拟合方法本讲稿第一页，共二十八页xxyy第四章 数据拟合方法xjxj+1 y=p(x)x1xnyj=f(xj)p(xj)本讲稿第二页，共二十八页xy第四章 数据拟合方法 y=p(x)+xjyj=f(xj)p(xj)本讲稿第三页，共二十八页第四章 数据拟合方法数据拟合数据拟合-计算机图形显示、图像处理和模型识别等计算机图形显示、图像处理和模型识别等关键关键(选择数学函数的形式选择数学函数的形式)最小二乘法最小二乘法(常用常用)应用到实际产品的曲线设计应用到实际产品的曲线设计-Bezier曲线作图方式。曲线作图方式。构建拟合函数成功预测某一时期的人口数量本讲稿第四页，共二十八页4.1 曲线拟合的最小二乘法求以下拟合函数拟合条件：拟合曲线与各数据点在y方向的误差平方和最小一、数据拟合的数学描述与问题求解一、数据拟合的数学描述与问题求解本讲稿第五页，共二十八页4.1 曲线拟合的最小二乘法拟合函数为一元函数时-函数图形为平面曲线-曲线拟合解决曲线拟合，最先是确定拟合函数的形式。即选取选幂函数1,x,x2,xn,则多项式拟合函数 可表示为实际中拟合函数有指数函数、三角函数等，根据数据的分布特点来选取合适的拟合函数。本讲稿第六页，共二十八页4.1 曲线拟合的最小二乘法最小值的必要条件是：求即本讲稿第七页，共二十八页整理得到如下正规方程组：解此方程组得系数a0,a1,an,得出拟合函数最小二乘法：最小二乘法：以残差平方和最小问题的解来确定拟合函数4.1 曲线拟合的最小二乘法本讲稿第八页，共二十八页4.1 曲线拟合的最小二乘法二、超定方程组得最小二乘解二、超定方程组得最小二乘解将写成向量内积形式：a0,a1,an为待定系数,满足：此m个等式如下建立方程组：本讲稿第九页，共二十八页4.1 曲线拟合的最小二乘法方程数(m)多于未知数个数(n+1)，此类方程组称为超定方程组。下列正规方程组中k个方程中aj的系数本讲稿第十页，共二十八页正规方程组中k个方程中aj的系数对应超定方程组系数矩阵第k、j列的乘积之和正规方程组中k个方程右端项对应超定方程组系数矩阵第k列与m个函数值的乘积之和本讲稿第十一页，共二十八页正规方程组的形式为：其中此方程有唯一解-超定方程的最小二乘解。曲线拟合的最小二乘法本质上是求超定方程组的最小二乘解本讲稿第十二页，共二十八页对于多项式拟合函数超定方程组超定方程组的系数矩阵化为各基函数为：本讲稿第十三页，共二十八页依据 得:最小二乘法解超定方程组Ax=b步骤：先转置得C=AT,后计算矩阵D=CA和f=Cb,最后求解Dx=f本讲稿第十四页，共二十八页j1234567tj19.125.030.136.040.045.150.0rj76.377.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10电阻电阻r与温度与温度t的关系的关系应用实例(一阶拟合)本讲稿第十五页，共二十八页应用实例(二阶多项式拟合)xy给出和本讲稿第十六页，共二十八页应用实例(其他函数类作拟合函数)t196019601961196119621962196319631964196419651965196619661967196719681968N29.7229.7230.6130.6131.5131.5132.1332.1332.3432.3432.8532.8533.5633.5634.2034.2034.8334.83世界人口统计表世界人口统计表拟合函数拟合函数t196019601961196119621962196319631964196419651965196619661967196719681968y3.39183.39183.42133.42133.45033.45033.46983.46983.47633.47633.49203.49203.51333.51333.53223.53223.55053.5505给出和本讲稿第十七页，共二十八页成功预测2000年世界人口过60亿 本讲稿第十八页，共二十八页4.2 Bezier曲线及应用Pierre Bezier 本讲稿第十九页，共二十八页4.2 Bezier曲线及应用p0p1p2p3p0p1p2p3p0p1p2p3p0p1p2p3本讲稿第二十页，共二十八页4.2 Bezier曲线及应用Bezier曲线的数学表达式曲线的数学表达式P0(x0,y0)P1(x1,y1)P2(x2,y2)Pm(xm,ym)本讲稿第二十一页，共二十八页m次次Bezier多项式，满足多项式，满足:曲线起点的切向量与向量P0P1平行曲线终点的切向量与向量Pm-1Pm平行(m+1)个基函数的值形成一组加权平均的权值 P0和P1均在曲线上,分别为起点和终点 本讲稿第二十二页，共二十八页一次一次Bezier曲线曲线二次二次Bezier曲线曲线三次三次Bezier曲线曲线4.2 Bezier曲线及应用本讲稿第二十三页，共二十八页4.2 Bezier曲线及应用一次一次Bezier曲线曲线(1)加权平均算法本讲稿第二十四页，共二十八页二次二次Bezier曲线曲线本讲稿第二十五页，共二十八页三次三次Bezier曲线曲线=(1-t)(1-t)(1-t)P0+tP1+t(1-t)P1+tP2 +t(1-t)(1-t)P1+tP2+t(1-t)P2+tP3P0+P1Q0 P1+P2Q1 P1+P2Q1 P2+P3Q2R0R1本讲稿第二十六页，共二十八页(2)加权平均算法4.2 Bezier曲线及应用控制多边形的各顶点坐标可表示成矩阵的数据结构，以矩阵来实现Bezier曲线算法。以二次Bezier曲线为例t0=0,t1=0.1,t10=1的11个点构成的113矩阵本讲稿第二十七页，共二十八页 作 业习题习题 四四（P63）4.14.24.3本讲稿第二十八页，共二十八页
