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等腰三角形培优辅导课件本讲稿第一页，共三十一页一、等边三角形是特殊的等腰三角形，有以下丰富的性质：一、等边三角形是特殊的等腰三角形，有以下丰富的性质：1 1、三边，三角三边，三角，每个角等于，每个角等于度；度；2、等边三角形各边上中线、等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线高和所对角的平分线 合一合一。二、判定等边三角形的基本方法有：二、判定等边三角形的基本方法有：1 1、从边入手，证明、从边入手，证明相等；相等；2 2、从角入手，证明、从角入手，证明相等或证明两个角都为相等或证明两个角都为6060度；度；3 3、从边角入手，有一个角为、从边角入手，有一个角为度的度的三角形是三角形是 等边三角形。等边三角形。本讲稿第二页，共三十一页 如图所示，如图所示，ABC中，中，AB=AC，ABC=60，且，且AD=CE，BE和和CD相交相交于于F。求证：。求证：ADCCEB求求DFB的度数的度数本讲稿第三页，共三十一页如图所示：在如图所示：在ABC中中,BAC=BCA=44 M为为ABC 内一点，使得内一点，使得MCA=30,MAC=16.求求证：证：AB=AM以以AC为边作等边为边作等边ADC,再再连接连接DB可证明可证明ABDCBD 再证明再证明ABDAMC 所以，所以，AB=AM 本讲稿第四页，共三十一页如图所示：在如图所示：在ABC 中中AB=AC,BAC=80 O为为ABC 内一点内一点.且且OBC=10 0CA=20求：求：BAO的度数的度数 答案：答案：BAO=70本讲稿第五页，共三十一页 如图所是，点如图所是，点E在在AD上，上，ABC和和BDE都是等边三角形。都是等边三角形。BD=7，CD=2。求求AD的长。的长。答案：AD=9本讲稿第六页，共三十一页 如图所示，如图所示，P是等边三角形是等边三角形ABC内的一点，连结内的一点，连结PA、PB、PC，以以BP为边作为边作PBQ=60，且，且BQ=BP，连接，连接CQ （1）若）若PB=2，求，求P点到点到Q点的距离点的距离本讲稿第七页，共三十一页如图所示：D是ABC 外一点，AB=AC=BD+CD，ABD=60,BAC=40 ABE是等边三角形是等边三角形 ADCADE ACD=60BCD=110度度（延长（延长BD至点至点E，使得，使得DE=CD.连接连接 AD,AE.）本讲稿第八页，共三十一页解题方法作辅助图-等边三角形截长补短构造等边三角形本讲稿第九页，共三十一页本讲稿第十页，共三十一页1.如图在如图在ABC内，内，BAC=60，ACB=40，P、Q分别在分别在BC、CA上，并上，并且且AP、BQ分别为分别为BAC、ABC的角平的角平分线，求证：分线，求证：BQ+AQ=AB+BP延长延长AB至至M，使，使BM=BP，连结，连结MP。BAC=60，ACB=40，ABC=80，BQ平分平分ABC，QBC=40=C，BQ=CQ，AQ+BQ=AQ+CQ=ACAM=AB+BM=AB+BP，BM=BP，ABP=M+BPM=2 M，M=40=C AMP ACP,AM=AC即即BQ+AQ=AB+BP本讲稿第十一页，共三十一页2、如图，已知在、如图，已知在ABC中，中，AD是是BC边上的中线，边上的中线，E是是AD上一上一点，且点，且BE=AC，延长，延长BE交交AC于于F，求证：，求证：AF=EF延长延长AD至至G，使，使AD=DG，连结，连结BGBGDCADBG=AC=BE CAD=G=BEG=AEFAF=EF本讲稿第十二页，共三十一页3、两个全等的含、两个全等的含30度、度、60度角的三角板度角的三角板ADE和三角板和三角板ABC，如图所示放置，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，边结三点在一条直线上，边结BD，取，取BD的中点的中点M，连结，连结ME、MC，试判断，试判断EMC的形的形状，并说明理由。状，并说明理由。连结连结MAADEABC可得可得ABD是等腰直角三角形，再证是等腰直角三角形，再证MDEMAC可得可得EMC是等腰直角三角形是等腰直角三角形本讲稿第十三页，共三十一页1、如图，、如图，ABC中，中，AD BC于于D，B=2 C，求证：，求证：AB+BD=CD证明：延长证明：延长CB至至E，使，使AB=BE，连结连结AE AB=BE E=EAB ABC=E+EAB=2 E ABC=2 C C=E AC=AE AD BC CD=DE=DB+BE AB+BD=CD本讲稿第十四页，共三十一页2、在等边三角形、在等边三角形ABC所在的平面内求一个点所在的平面内求一个点P，使，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（有（）个。）个。A、1 B、4 C、7 D、10D3、已知、已知ABC的三边的长分别为的三边的长分别为a、b、c，且且a/b+a/c=(b+c)/(b+c-a),则则ABC一定是（一定是（）。）。A、等边三角形、等边三角形B、腰长为、腰长为a的等腰三角形的等腰三角形C、底边长为、底边长为a的等腰三角形的等腰三角形D、等腰直角三角形、等腰直角三角形B（ac+ab)/bc=(b+c)/(b+c-a)a/bc=1/(b+c-a)Bc=ab+ac-a2(a-b)a+c(b-a)=0(a-c)(a-b)=0a=c或或a=b本讲稿第十五页，共三十一页4、如图，在、如图，在ABC中，中，BAC=106度，度，EF、MN分别是分别是AB、AC的中垂线，的中垂线，E、M在在BC上，则上，则EAM等于（等于（）度。）度。A、58 B、32 C、36 D、34B5、如图，在、如图，在ABC中，中，B=2 C，则，则AC与与2AB之间的之间的关系是（关系是（）。）。A、AC2AB B、AC=2AB C、AC2AB D、AC2ABD本讲稿第十六页，共三十一页1、如图，已知、如图，已知Rt ABC中，中，ACB=90，BAC=30，在直线，在直线BC或或AC上取一点，使上取一点，使得得PAB是等腰三角形，则符合条件的是等腰三角形，则符合条件的P点点有（有（）个。）个。A、2 B、4C、6 D、8C本讲稿第十七页，共三十一页2、如图，四边形、如图，四边形ABDC中，中，EDC是由是由ABC绕顶点绕顶点C旋转旋转40度所得，顶点度所得，顶点A恰恰好转到好转到AB上一点上一点E的位置，则的位置，则1+2=。3、一个等腰三角形的一条高等于腰长的、一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角度为一半，则这个等腰三角形的底角度为 。4、有一个等腰三角形纸片，若能从一个底、有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度。度。11015或或30 或或75 36 或或180/7 本讲稿第十八页，共三十一页5、已知等腰、已知等腰ABC中，中，AB=AC，D为为BC边上一点，连接边上一点，连接AD，若，若ACD和和ABD都是等腰三角形，则都是等腰三角形，则C的度数的度数是是 。6、在一个房间内，有一个梯子斜靠在、在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为为a米，此时梯子的倾斜角为米，此时梯子的倾斜角为75度，如度，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距离此时梯子顶端距离NB为为b米，梯子的米，梯子的倾斜角为倾斜角为45度，则这间房子的宽度，则这间房子的宽AB是是 。45或或36度度a米米本讲稿第十九页，共三十一页7、如图，、如图，ABC=50，AD垂直平分线垂直平分线段段BC于点于点D，ABC的角平分线的角平分线BE交交AD于点于点E，连结，连结EC，则，则AEC的度数的度数是是 。8、如图，、如图，ABC中，中，AB=AC，B=36，D、E是是BC上两点，使上两点，使 ADE=AED=2 BAD，则图中等腰三角，则图中等腰三角形共有形共有 个。个。9、如图，、如图，ABC中，中，AD平分平分BAC，AB+BD=AC，则，则 B：C的值的值 。11562：12是用“垂直平分线”构造等腰三角形，4利用“三角形中角的2倍关系。本讲稿第二十页，共三十一页1、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=7，AC=11，点，点M是是BC的中点，的中点，AD是是BAC的平分线，的平分线，MF AD，则，则FC的的长为长为 。分析：用分析：用“角平分线角平分线+平行线平行线”构造等腰三角形构造等腰三角形AEF和等腰三和等腰三角形角形BPE，则，则AE=AF=11-x,BP=x=BE=11-x+7,x=99本讲稿第二十一页，共三十一页2、如图，已知等腰、如图，已知等腰ABC中，中，AB=AC，P、Q分别为分别为AC、AB上的点，且上的点，且AP=PQ=QB=BC，求，求PCQ的度数。的度数。在PC上取点D使QP=QD。A=x,AP=PQ QPD=QDP=A+AQP=2x BQD=A+ADP=3x,BQ=QD QBD=90-1.5x BDC=A+ABD=90-0.5x A=x,AB=AC ACB=90-0.5x,ACB=BDCBD=BC=BQ=QD,BDQ为等边三角形为等边三角形QBD=90-1.5x=60，x=20,ACB=ABC=80,BCQ=50,PCQ=30本讲稿第二十二页，共三十一页3、如图，、如图，ABC是边长为是边长为1的等边三角的等边三角形，形，BDC是顶角是顶角BDC=120度的等腰度的等腰三角形，以三角形，以D为顶点作一个为顶点作一个60度角，角度角，角的两边分别交的两边分别交AB于于M，交，交AC于于N，连结，连结MN，形成一个三角形，求证：，形成一个三角形，求证：AMN的周长等于的周长等于2。延长AC使CE=BM，连结DE。CDE=MDB，BDC=120，MDN=60 BDM+NDC=60，NDE=NDC+CDE=60 MDN EDN，MN=NEAM+AN+MN=AM+AM+NE=AM+CE+AN+NC=AB+AC=2本讲稿第二十三页，共三十一页1、如图，在、如图，在ABC中，中，AC=BC，ACB=90，D是是AC上一点，上一点，AE BD交交BD的延长线于的延长线于E，且，且AE=0.5BD，求，求证：证：BD是是ABC的角平分线。的角平分线。证明：延长证明：延长AE、BC交于点交于点F。ACB=90 ACF=180 -ACB=90 CBD+CDB=90 AE BD AEB=90 EAD+EDA=90 ADE=BDC EAD=CBD AC=BC ACF=BCD=90 ACFBCD（ASA）AF=BD AE=0.5BD AE=0.5AF=EF BE=BE，AEB=FEB=90 AEBFEB（SAS）ABE=FBE BD是是ABC的角平分线的角平分线本讲稿第二十四页，共三十一页1、如图，在、如图，在ABC中，中，AC=BC，ACB=90，D是是AC上一点，上一点，AE BD交交BD的延长线于的延长线于E，且，且AE=0.5BD，求，求证：证：BD是是ABC的角平分线。的角平分线。证明：延长证明：延长AE、BC交于点交于点F。ACB=90 ACF=180 -ACB=90 CBD+CDB=90 AE BD AEB=90 EAD+EDA=90 ADE=BDC EAD=CBD AC=BC ACF=BCD=90 ACFBCD（ASA）AF=BD AE=0.5BD AE=0.5AF=EF BE=BE，AEB=FEB=90 AEBFEB（SAS）ABE=FBE BD是是ABC的角平分线的角平分线本讲稿第二十五页，共三十一页2、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=BC，在，在BC上取点上取点M，在，在MC上取点上取点N，使，使MN=NA，若，若BAM=NAC，则，则MAC=度。度。3、如图，在四边形、如图，在四边形ABCD中，中，AC平分平分BAD，过，过C作作CE AB于于E，并且，并且AE=0.5（AB+AD），则），则 ABC+ADC的度数是的度数是 度。度。设设BAM=CAN=x,C=y,BAM=CAN=x,C=y,则则B=180-2y,AMN=180+x-2y,B=180-2y,AMN=180+x-2y,ANM=x+y,MN=NA,MAN=AMN=180+x-2y,ANM=x+y,MN=NA,MAN=AMN=180+x-2y,MAN+AMN+ANM=180MAN+AMN+ANM=180360+2x-4y+x+y=180,y-x=60,MAC=MAN+NAC=180+2x-360+2x-4y+x+y=180,y-x=60,MAC=MAN+NAC=180+2x-2y=180-120=602y=180-120=6060延长延长ADAD，过，过C C作作CFCF垂直垂直ADAD的延长线于的延长线于F F，AFCAECAFCAEC，CF=CECF=CE，AF=AEAF=AE，AE=0.5(AB+AD),2AE=AE+EB+AD,AE=AD+EB=AF=AD+DF,EB=AE=0.5(AB+AD),2AE=AE+EB+AD,AE=AD+EB=AF=AD+DF,EB=DF,CDFCBEDF,CDFCBE，B=FDC,ABC+ADC=180B=FDC,ABC+ADC=180180本讲稿第二十六页，共三十一页1、如图，在、如图，在ABC中，中，ACB=90，AC=AE，BC=BF，则则ECF=（）。）。A、60 B、45 C、30 D、不确定、不确定2、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=AC，D为为BC上一点，上一点，BF=CD，CE=BD，那么，那么EDF等于（等于（）。）。A、90-0.5 A B、90-A C、180-A D、45-0.5 A设设B=x,A=90-x,B=x,A=90-x,BCF=90-0.5x,BCF=90-0.5x,ACE=45+0.5x,ACE=45+0.5x,ECF=ACE+BCF-ECF=ACE+BCF-ACB=45ACB=45BBDFBDE,BDFBDE,则则EDF=B=90-0.5 EDF=B=90-0.5 AAA本讲稿第二十七页，共三十一页3、如图，在、如图，在ABC中，中，BAC=120，AD BC于于D，且，且AB+BD=DC，则，则C的大小是（的大小是（）A、20 B、25 C、30 D、45 4、如图，在等腰直角、如图，在等腰直角ABC中，中，AD为斜边上的高，以为斜边上的高，以D为为端点任作两条相互垂直的射线与两腰相交于端点任作两条相互垂直的射线与两腰相交于E，连结，连结EF与与AD相相交于交于G，则，则AED与与AGF的关系为（的关系为（）A、AED AGF B、AED=AGFC、AED AGF D、不能确定不能确定延长延长DBDB使使DE=DCDE=DC，则，则AB=BEAB=BE，设，设E=EAB=x,E=EAB=x,ABD=2x,BAD=90-2x,EAD=90-x,ABD=2x,BAD=90-2x,EAD=90-x,所以所以2(90-2(90-x)=120+x,x=20,C=20 x)=120+x,x=20,C=20ABADE+AED=135,ADE+AED=135,AFE+DFC=13AFE+DFC=135,AED=DFC,5,AED=DFC,ADE=AFE,ADE=AFE,得得AED=AGFAED=AGF本讲稿第二十八页，共三十一页5、如图，四边形、如图，四边形ABDC中，中，EDC是由是由ABC绕顶点绕顶点C旋转旋转40度所得，顶点度所得，顶点A恰恰好转到好转到AB上一点上一点E的位置，则的位置，则1+2=。6、一个等腰三角形的一条高等于腰长的、一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角度为一半，则这个等腰三角形的底角度为 。7、有一个等腰三角形纸片，若能从一个、有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为为 度。度。11015或或30 或或75 36 或或180/7 本讲稿第二十九页，共三十一页8、如图，在、如图，在ABC中，中，BAC=90，AB=AC，D是是ABC内一点，且内一点，且DAC=DCA=15，求证：，求证：BD=BA以以AD为边作等边三角形为边作等边三角形ADE，连结，连结BEAEB ADC，可得，可得AEB=DEB=150 ，BEA BED，从而得到，从而得到BD=BA本讲稿第三十页，共三十一页如图，如图，是是等边三角形等边三角形，且且AE=BD,求证：求证：在在BE上截取上截取BF=BD，易得，易得BDF为为等边三角形等边三角形AE=BF吗AE=DF吗EAC=120，DFE=120。本讲稿第三十一页，共三十一页