简单复合函数的求导法则精选文档.ppt
简单复合函数的求导法则本讲稿第一页，共二十六页复习：复习：两个函数的和、差、积、商的求两个函数的和、差、积、商的求导公式。导公式。1、常见函数的导数公式：常见函数的导数公式：2、法则、法则1 法则法则2,法则法则3 本讲稿第二页，共二十六页复合函数的导数复合函数的导数新授课新授课函数函数 ，构成间的关系？构成间的关系？可由可由 与与 复合得到复合得到 例例1 指出下列函数的复合关系：指出下列函数的复合关系：（1）（2）（3）（4）由由 复合而成复合而成 解解：（：（1）（2 2）由由 复合而成复合而成（3 3）由由 复合而成复合而成（4 4）由由 复合而成复合而成 本讲稿第三页，共二十六页复合函数的导数复合函数的导数新授课新授课例例2 写出由下列函数复合而成的函数：写出由下列函数复合而成的函数：（1）（2 2）解解：（：（1 1）（2）本讲稿第四页，共二十六页1.复合函数的概念:二、讲授新课：2023/1/24本讲稿第五页，共二十六页如何对复合函数求导呢？本讲稿第六页，共二十六页引例引例 一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，其面积成一个圆形油膜，其面积 是半径是半径 的函数：的函数：油膜半径油膜半径 随着时间随着时间 的增加而扩大，其函数关的增加而扩大，其函数关系为：系为：问：油膜面积问：油膜面积 关于时间关于时间 的瞬时变化率是多的瞬时变化率是多少？少？本讲稿第七页，共二十六页分析：分析：油膜面积油膜面积 关于时间关于时间 的新函数：的新函数：由于由于所以由导数的运算法则可得：所以由导数的运算法则可得：本讲稿第八页，共二十六页定定 理理 设设函函数数 y=f(u)，u=(x)均均可可导导，则复合函数则复合函数 y=f(x)也可导也可导.且且或或复合函数的求导法则复合函数的求导法则即：即：因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则 )注意：1、法则可以推广到两个以上的中间变量；2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.本讲稿第九页，共二十六页即即证证设变量设变量 x 有增量有增量 x，由由 于于 u 可可 导导，相应地变量相应地变量 u 有增有增量量 u，从从 而而 y 有有 增增 量量 y.本讲稿第十页，共二十六页复合函数复合函数 中，令中，令 ，则，则注意：注意：注意：注意：不要写成不要写成 ！对对x求导求导对对 求导求导本讲稿第十一页，共二十六页复合函数的导数复合函数的导数若若 ，求，求 并分析三个函数解析式以及导数之间的关系并分析三个函数解析式以及导数之间的关系新授课新授课函数函数 可由可由 复合而成复合而成本讲稿第十二页，共二十六页例例1：求：求的导数的导数分析：分析：解解1：解解2：可由y=sinu,u=2x复合而成=2cos2xxxxx2cos)2(sincos)(sin=?本讲稿第十三页，共二十六页复合函数的导数复合函数的导数例题讲解例题讲解例例2 求求 的导数的导数解：设解：设 ，则则 本讲稿第十四页，共二十六页（1）首先要首先要弄清复合关系弄清复合关系，特别要，特别要注意中间变量注意中间变量；（2）尽可能地将函数尽可能地将函数化简化简，然后再，然后再求导求导；（3 3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用运用；（4）复合函数求导法则，常被称为复合函数求导法则，常被称为“链条法则链条法则”，一环套一环，缺一不可一环套一环，缺一不可。复合函数求导法则的注意问题：复合函数求导法则的注意问题：例例3 3本讲稿第十五页，共二十六页 例例3 求函数求函数 的导数。的导数。例例4 求函数求函数 的导数。的导数。解析解析解析解析本讲稿第十六页，共二十六页 利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要弄清弄清复合关系，复合关系，而选择而选择中间变量中间变量是复合函数求导的是复合函数求导的关键。关键。分析：分析：令令 ，则函数是由，则函数是由 与与 复合而成，由复合函数求导法则复合而成，由复合函数求导法则可知：可知：解：解：例例3 例例3 求函数求函数 的导数。的导数。本讲稿第十七页，共二十六页解：解：令令 ，则函数是由，则函数是由 与与 复合而成，由复合函数求导法则复合而成，由复合函数求导法则可知：可知：例例4 求函数求函数 的导数。的导数。本讲稿第十八页，共二十六页（1）分解；（2）求导；（3）相乘；（4）回代。复合函数求导的基本步骤：复合函数求导的基本步骤：本讲稿第十九页，共二十六页例例5 5、一个港口的某一一个港口的某一观测观测点的水位在退潮的点的水位在退潮的过过程中，水程中，水面高度面高度y y（单单位：位：cmcm）。关于）。关于时间时间t t（单单位：位：s s）的函数）的函数为为，求函数在，求函数在t t=3=3时时的的导导数，数，并解释它的实际意义。并解释它的实际意义。解：解：函数函数是由函数是由函数与与复合而成的，其中复合而成的，其中x x是中是中间变间变量。量。将将t t=3=3代入代入得：得：（cm/s）。）。它表示当它表示当t=3时，水面高度下降的速度为时，水面高度下降的速度为 cm/s。本讲稿第二十页，共二十六页例例6 求下列函数的导数：求下列函数的导数：前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题中的对应法则中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们是未知的，是抽象的复合函数。它们的导数如何求得？的导数如何求得？解析解析本讲稿第二十一页，共二十六页 而而对于抽象复合函数的求导对于抽象复合函数的求导,一方面要从其形式上把一方面要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充分运用复合握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。关系的求导法则。分析分析:求复合函数的导数求复合函数的导数,关键关键在于在于分清函数的复合关分清函数的复合关系系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导。个变量对哪个变量求导。本讲稿第二十二页，共二十六页解：解：（1）函数是由）函数是由 与与 复合而成的，复合而成的，由复合函数的求导法则知：由复合函数的求导法则知：（2）函数由）函数由 与与 复合而成，复合而成，由复合函数的求导法则知：由复合函数的求导法则知：练习练习本讲稿第二十三页，共二十六页1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：2.求曲线求曲线 在在 处的切线方程。处的切线方程。动手做一做动手做一做例例4本讲稿第二十四页，共二十六页求下列函数的导数：求下列函数的导数：动手做一做动手做一做本讲稿第二十五页，共二十六页小结小结关键：关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。分清函数的复合关系，合理选定中间变量。复合函数求导公式：复合函数求导公式：利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。对于抽象复合函数的求导对于抽象复合函数的求导,要从其形式上把握其结要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关系的求构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关系的求导法则。导法则。抽象复合函数的导数：抽象复合函数的导数：结束结束本讲稿第二十六页，共二十六页
