第十章 全微分与偏导数精选文档.ppt
第十章 全微分与偏导数本讲稿第一页，共三十六页一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法本讲稿第二页，共三十六页本讲稿第三页，共三十六页本讲稿第四页，共三十六页偏导数的求法偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法并不需要新的方法求求 时把时把 y 视为常数而对视为常数而对 x 求导求导求求 时把时把 x 视为常数而对视为常数而对 y 求导求导这仍然是一元函数求导问题这仍然是一元函数求导问题本讲稿第五页，共三十六页如如 在在 处处 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数本讲稿第六页，共三十六页一般地一般地 设设本讲稿第七页，共三十六页解解证证本讲稿第八页，共三十六页原结论成立原结论成立解解本讲稿第九页，共三十六页不存在不存在本讲稿第十页，共三十六页证证本讲稿第十一页，共三十六页有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；求；计算计算 f x (x0 ,y0)时可先将时可先将 y=y0 代入代入 f(x,y)再对再对 x 求导然后代入求导然后代入 x=x0 计算计算 f y (x0 ,y0 )时同理时同理解解3、本讲稿第十二页，共三十六页4、偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱但由于变量较多，易产生混乱-重要的是区分清重要的是区分清函数的类型函数的类型这是出错的主要原因。这是出错的主要原因。5、若若 f(x,y)=f(y,x)则称则称 f(x,y)关于关于 x,y 具有轮换对称性具有轮换对称性在求在求 时时只需将所求的只需将所求的 中的中的 x,y 互换即可互换即可本讲稿第十三页，共三十六页6、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.本讲稿第十四页，共三十六页7、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义如图如图几何意义几何意义:本讲稿第十五页，共三十六页本讲稿第十六页，共三十六页三、小结三、小结偏导数的定义偏导数的定义（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义思考题思考题本讲稿第十七页，共三十六页思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,本讲稿第十八页，共三十六页全全 微微 分分本讲稿第十九页，共三十六页一、全微分的定义一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得全增量的概念全增量的概念本讲稿第二十页，共三十六页本讲稿第二十一页，共三十六页全微分的定义全微分的定义本讲稿第二十二页，共三十六页证证总成立总成立,二、可微的条件二、可微的条件本讲稿第二十三页，共三十六页同理可得同理可得一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如例如本讲稿第二十四页，共三十六页则则当当 时时本讲稿第二十五页，共三十六页说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证证本讲稿第二十六页，共三十六页（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）同理同理本讲稿第二十七页，共三十六页习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况本讲稿第二十八页，共三十六页解解所求全微分所求全微分本讲稿第二十九页，共三十六页解解解解所求全微分所求全微分本讲稿第三十页，共三十六页证证令令则则本讲稿第三十一页，共三十六页同理同理本讲稿第三十二页，共三十六页不存在不存在.本讲稿第三十三页，共三十六页多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导本讲稿第三十四页，共三十六页三、小结三、小结、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）本讲稿第三十五页，共三十六页思考题思考题本讲稿第三十六页，共三十六页
