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结构动力计算结构动力计算本讲稿第一页，共三十四页210.1 1 概述概述 动力计算研究结构在动力计算研究结构在动力荷载动力荷载作用下的作用下的变形和内力变形和内力，即研究，即研究结构的结构的动力反应动力反应。动力荷载：动力荷载：大小、方向、作用点大小、方向、作用点随时间而变化随时间而变化的荷载的荷载。结构的动力反应不但与结构的动力反应不但与动力荷载的性质动力荷载的性质有关有关，还与还与结构本身的结构本身的动力特性动力特性直接相关直接相关。结构本身的动力特性是结构本身的动力特性是结构本身固有结构本身固有的，如的，如自振频率及振型自振频率及振型。动动力力计计算算的的特特点点：动动力力计计算算不不能能忽忽略略惯惯性性力力，这这是是动动力力计计算算与与静力计算的本质区别。静力计算的本质区别。内力和变形内力和变形都是都是时间的函数时间的函数。一、动力计算的特点动力计算的特点本讲稿第二页，共三十四页3 二二、动力荷载的分类动力荷载的分类（1）简谐性周期荷载）简谐性周期荷载（要掌握）（要掌握）规律通常为正弦或余弦函数形式：规律通常为正弦或余弦函数形式：（2）冲击荷载）冲击荷载 荷载强度很大，但作用时间很短，荷载强度很大，但作用时间很短，如打桩、爆炸荷载。如打桩、爆炸荷载。tPp(t)Ptp(t)tdtPp(t)tdta（3）随机荷载）随机荷载 变化规律带有一定偶然性变化规律带有一定偶然性的非确的非确定性荷载，如地震荷载和风荷定性荷载，如地震荷载和风荷载。载。本讲稿第三页，共三十四页4三、动力计算中体系的自由度三、动力计算中体系的自由度 质点的位移就是动力计算的基本未知数。确定运动过程中任一时质点的位移就是动力计算的基本未知数。确定运动过程中任一时刻所有质量的位置所需的独立几何参数的数目，称为该体系的自刻所有质量的位置所需的独立几何参数的数目，称为该体系的自由度。由度。基本假定：忽略轴向变形基本假定：忽略轴向变形，认为杆不可伸长（压缩）的。认为杆不可伸长（压缩）的。一、一、集中质量法集中质量法。把连续分布的质量集中为几个质点，转化为有。把连续分布的质量集中为几个质点，转化为有限自由度问题。限自由度问题。二、广义坐标法二、广义坐标法。用有限个广义坐标参数及给定函数组合来。用有限个广义坐标参数及给定函数组合来描述无限自由度问题描述无限自由度问题。结构动力计算模型的简化方法结构动力计算模型的简化方法三、有限元法三、有限元法。把结构离散为若干单元和自由度计算。把结构离散为若干单元和自由度计算。本讲稿第四页，共三十四页5三、动力计算中体系的自由度三、动力计算中体系的自由度 一、一、附加链杆法附加链杆法。使质点不发生线位移所施加的附加链杆数即为。使质点不发生线位移所施加的附加链杆数即为体系动力计算的自由度。体系动力计算的自由度。二、铰接体系法二、铰接体系法。将所有质点、刚结点及固定端支座变为铰结点，。将所有质点、刚结点及固定端支座变为铰结点，铰接体系的自由度数也就是动力计算的自由度。铰接体系的自由度数也就是动力计算的自由度。质点体系的振动自由度确定方法：质点体系的振动自由度确定方法：集中质量法集中质量法 简化为若干质点计算。忽略杆的轴向变形和质点的转动。简化为若干质点计算。忽略杆的轴向变形和质点的转动。本讲稿第五页，共三十四页6三、动力计算中体系的自由度三、动力计算中体系的自由度 附加链杆法：附加链杆法：对质点施加链杆约束，限制所有质点的位移，所施加对质点施加链杆约束，限制所有质点的位移，所施加的链杆数就是体系的自由度数。的链杆数就是体系的自由度数。2个自由度个自由度1个自由度个自由度2个自由度个自由度4个自由度个自由度2个自由度个自由度本讲稿第六页，共三十四页7铰接体系法：铰接体系法：将所有质点、刚结点及固定端支座变为铰结点后，将所有质点、刚结点及固定端支座变为铰结点后，使铰接体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度使铰接体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。当体系有斜杆时可考虑采用。数。当体系有斜杆时可考虑采用。4个自由度个自由度三、动力计算中体系的自由度三、动力计算中体系的自由度 本讲稿第七页，共三十四页8三、动力计算中体系的自由度三、动力计算中体系的自由度 注意注意：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度，自：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。三个集中质量，一个自由度三个集中质量，一个自由度一个集中质量，两个自由度一个集中质量，两个自由度本讲稿第八页，共三十四页9四、阻尼四、阻尼 阻尼对结构的作用阻尼对结构的作用：一类是材料的非弹性变形，使变形能损失。一类是材料的非弹性变形，使变形能损失。一类是阻尼力，包括介质阻力和摩擦阻力。一类是阻尼力，包括介质阻力和摩擦阻力。阻尼是振动的一个重要因素，而且很复杂，需化简阻尼是振动的一个重要因素，而且很复杂，需化简;把各种阻尼综合作用假定为受一个阻尼力作用。并且假定阻尼把各种阻尼综合作用假定为受一个阻尼力作用。并且假定阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，这一假定称为粘滞阻尼理力的大小与质点的运动速度成正比，这一假定称为粘滞阻尼理论。即论。即：R阻尼力；方向与运动速度的方向相反。阻尼力；方向与运动速度的方向相反。c阻尼系数；阻尼系数；v质点运动的速度；质点运动的速度；本讲稿第九页，共三十四页102008年广西人才小高地申报年广西人才小高地申报单自由度体系的振动1.1.动力微分方程的建立动力微分方程的建立2.2.单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动3.3.单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动4.4.阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响研究单自由度体系的自研究单自由度体系的自振频率及在简谐荷载作振频率及在简谐荷载作用下的动力响应用下的动力响应重点掌握！本讲稿第十页，共三十四页1110.2 2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动一、自由振动微分方程的建立一、自由振动微分方程的建立1.刚度法刚度法：根据：根据力的平衡条件力的平衡条件mmkyy质点质点m受力：受力：弹性力：弹性力：-ky，与位移方向相反；与位移方向相反；惯性力：惯性力：，与加速度方向相反；，与加速度方向相反；根据达朗伯原理：根据达朗伯原理：2.柔度法柔度法：根据体系：根据体系变形协调条件变形协调条件体系受体系受惯性力惯性力：m的位移：的位移：其中其中：k 刚度系数；使刚度系数；使m产生单位位移需要施加的力；产生单位位移需要施加的力；柔度系数；单位力作用下柔度系数；单位力作用下m产生的位移：产生的位移：本讲稿第十一页，共三十四页1210.2 2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动二、自由振动微分方程的解二、自由振动微分方程的解自由振动的组成：自由振动的组成：一部分由一部分由初始位移初始位移 y0引起的；引起的；另一部分由另一部分由初始速度初始速度 v0引起的。引起的。方程的解也可以写成：方程的解也可以写成：微分方程微分方程：令：令：方程方程改为：改为：方程通解方程通解：根据初始条件根据初始条件：t=0时，时，y=y0,v=v0可确定可确定方程的解方程的解：根据初始条件可解得根据初始条件可解得：本讲稿第十二页，共三十四页1310.2 2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动三、结构的自振周期三、结构的自振周期圆频率或频率圆频率或频率：2 时间内的振动次数时间内的振动次数,单位单位:“弧度弧度/s”；自振频率自振频率f：单位时间的振动次数；单位时间的振动次数；单位单位:“Hz（赫兹）（赫兹）”从微分方程的解从微分方程的解：位移是周期函数；位移是周期函数；自振周期自振周期T：振动一周需要的时间；振动一周需要的时间；单位单位:“s（秒）（秒）”自振周期的性质自振周期的性质：1.自振周期仅与结构的自振周期仅与结构的质量和刚度质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。有关；与外界的干扰力无关。2.质量越大，周期越大；质量越大，周期越大；刚度越大，周期越小。刚度越大，周期越小。3.自振周期是结构动力性能的一个重要指标。自振周期是结构动力性能的一个重要指标。本讲稿第十三页，共三十四页例例1 1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为截面面积为A A，惯性矩为惯性矩为I I，弹性模量为弹性模量为E E。杆杆顶重物的质量为顶重物的质量为mm。杆的质量忽略不计，计算水平振动的自振周期。杆的质量忽略不计，计算水平振动的自振周期。解：解题的依据解：解题的依据刚度系数：刚度系数：使质点产生单位位移需要施加的力。使质点产生单位位移需要施加的力。柔度系数柔度系数：质点在单位力作用下产生的位移。：质点在单位力作用下产生的位移。M图本讲稿第十四页，共三十四页例例2 2：求图示结构的重量集中为柱顶，：求图示结构的重量集中为柱顶，W=20KNW=20KN，试计算结构的自振试计算结构的自振周期。周期。EIEI1 1=3.528=3.528 10107 7NmNm2 2.结构的刚度系数即使柱顶发生单位位结构的刚度系数即使柱顶发生单位位移时，在柱顶需施加的力。移时，在柱顶需施加的力。AB结构的自振频率和周期：结构的自振频率和周期：考虑梁考虑梁AB的平衡可得：的平衡可得：本讲稿第十五页，共三十四页1610.3 3 单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动mykyP(t)P(t)1.1.单自由度体系的强迫振动的微分方程：单自由度体系的强迫振动的微分方程：可写成：可写成：2.2.当荷载为简谐荷载时：当荷载为简谐荷载时：3.3.微分方程的解为：微分方程的解为：为静荷载为静荷载F F作用下的振幅。作用下的振幅。时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。为动力系数。为动力系数。m受力图受力图本讲稿第十六页，共三十四页17强迫振动时的动力放大系数强迫振动时的动力放大系数 1)简谐动荷载作用在简谐动荷载作用在质点质点上，内力动力系数与位移动力上，内力动力系数与位移动力系数相同。系数相同。动力系数动力系数:只须将只须将干扰力幅值当作静荷载干扰力幅值当作静荷载按静力方法计算出相应的按静力方法计算出相应的位移、内力位移、内力，再乘以动力系数再乘以动力系数 即可即可。先算出质体上的惯性力，再将惯先算出质体上的惯性力，再将惯性力及荷载幅值作用于结构上性力及荷载幅值作用于结构上（如左图所示）如左图所示），然后按静力方，然后按静力方法计算位移和内力。法计算位移和内力。2)简谐动荷载不作用在质点上，结构没有一个统一的动力系简谐动荷载不作用在质点上，结构没有一个统一的动力系数。数。本讲稿第十七页，共三十四页例例3 3：图示梁：图示梁l=4m4m，惯性矩惯性矩I=7480 I=7480 cmcm4 4，弹模，弹模E E=2.1=2.1 10104 4KN/cmKN/cm2 2。在跨中有电。在跨中有电动机，重量动机，重量Q=35KNQ=35KN，转速转速n=500r/minn=500r/min。电机转动的离心力电机转动的离心力P=10KNP=10KN，离心力离心力的竖向分力为的竖向分力为Psin t。不计梁的质量，试求梁振动的最大动位移和最大动弯矩，最不计梁的质量，试求梁振动的最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。大位移和最大弯矩。1.1.体系自由振动的频率：体系自由振动的频率：3.3.动力系数：动力系数：为动力位移和动力应力为动力位移和动力应力的放大倍数。的放大倍数。2.2.荷载频率：荷载频率：4.4.最大动位移（振幅）：最大动位移（振幅）：本讲稿第十八页，共三十四页94.3kN.m例例3 3：图示梁：图示梁l=4m4m，惯性矩惯性矩I=7480 I=7480 cmcm4 4，弹模，弹模E E=2.1=2.1 10104 4KN/cmKN/cm2 2。在跨中有电动。在跨中有电动机，重量机，重量Q=35KNQ=35KN，转速转速n=500r/minn=500r/min。电机转动的离心力电机转动的离心力P=10KNP=10KN，离心力的离心力的竖向分力为竖向分力为Psin t。不计梁的质量，试求梁振动的最大动位移和最大动弯矩，不计梁的质量，试求梁振动的最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。最大位移和最大弯矩。体系自由振动的频率：体系自由振动的频率：动力系数：动力系数：4.4.最大动位移（振幅）：最大动位移（振幅）：最大位移：等于静荷载和动荷载作用下的最大位移之和。最大位移：等于静荷载和动荷载作用下的最大位移之和。5.5.最大动弯矩：最大动弯矩：最大弯矩：最大弯矩：59.3kN.m本讲稿第十九页，共三十四页20最大位移和最大内力的计算最大位移和最大内力的计算振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和；振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和；振幅为动位移的幅值（最大动位移）；振幅为动位移的幅值（最大动位移）；最大内力为最大动内力与静内力之和。最大内力为最大动内力与静内力之和。最大动位移和最大动内力要考虑动力系数的影响；最大动位移和最大动内力要考虑动力系数的影响；动位移和动内力有正负号的变化，在与静位移和内力叠动位移和动内力有正负号的变化，在与静位移和内力叠加时应予以注意。加时应予以注意。本讲稿第二十页，共三十四页21动荷载频率与结构受力特点的关系动荷载频率与结构受力特点的关系当外荷载的频率很大时当外荷载的频率很大时()，体系振动很快，因此惯，体系振动很快，因此惯性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小，动荷载性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小，动荷载主要与惯性力平衡。主要与惯性力平衡。当外荷载的频率很小时（当外荷载的频率很小时（c b B.ab c C.ba c D.c a bA二、选择填空二、选择填空本讲稿第二十八页，共三十四页三、动力计算三、动力计算29l m1m2 m3lllakEI=例例4.求图示体系中求图示体系中m1=2m，m2=m3=m。已知梁。已知梁EI=，弹簧的刚度弹簧的刚度系数系数k，求质点的振动频率。，求质点的振动频率。，解：体系振动中的力：刚度法建立体系的动力方程：本讲稿第二十九页，共三十四页30ak例例5.求图示体系中弹簧支座的最大动反力及梁的最大动位移。已知求图示体系中弹簧支座的最大动反力及梁的最大动位移。已知梁梁EI=，弹簧的刚度系数弹簧的刚度系数k，且有：，且有：解：解：结构的动力及位移图：结构的动力及位移图：C点的静力位移及相应弹簧反力：点的静力位移及相应弹簧反力：弹簧的最大动反力：弹簧的最大动反力：梁的最大动位移：梁的最大动位移：本讲稿第三十页，共三十四页31例例6.图示刚架的质量集中在横梁上，质量图示刚架的质量集中在横梁上，质量m=1000kg，忽略柱子的质，忽略柱子的质量及杆量及杆的轴向变形，求横梁（柱顶点）的最大侧移，并画出刚架的动弯矩的的轴向变形，求横梁（柱顶点）的最大侧移，并画出刚架的动弯矩的幅值图。已知：幅值图。已知：解：结构的刚度系数及频率：解：结构的刚度系数及频率：横梁的最大静力位移：横梁的最大静力位移：动力系数：动力系数：梁的最大动位移：梁的最大动位移：结构的动弯矩幅值图：结构的动弯矩幅值图：4mEI=EIEIP(t)EIEIP(t)200/9200/9200/9200/9200/9200/9本讲稿第三十一页，共三十四页有有例例7.试求图示体系的自振频率及质量试求图示体系的自振频率及质量m的最大动力位移，的最大动力位移，设设=0.5，弹簧，弹簧刚度刚度k=0.05EIl 3,各杆各杆EI相同。（天津大学相同。（天津大学1996年）年）动力方程：动力方程：本讲稿第三十二页，共三十四页33习题习题1.求图示体系中弹簧支座的最大动反力及梁的最大动位移。已知梁求图示体系中弹簧支座的最大动反力及梁的最大动位移。已知梁EI=，弹簧的刚度系数弹簧的刚度系数k，且有：，且有：解：解：结构的动力及位移图：结构的动力及位移图：A点的静力位移及相应弹簧反力：点的静力位移及相应弹簧反力：弹簧的最大动反力：弹簧的最大动反力：梁的最大动位移：梁的最大动位移：结构的动力方程：结构的动力方程：本讲稿第三十三页，共三十四页34习题习题2.求梁跨中的振幅及最大位移，并画出动弯矩幅值图。已知求梁跨中的振幅及最大位移，并画出动弯矩幅值图。已知EI=常数，常数，W=9kN，解：解：1.作单位荷载作用下的弯矩图：作单位荷载作用下的弯矩图：3.荷载幅值作用的跨中静位移：荷载幅值作用的跨中静位移：4.动力系数：动力系数：5.梁的最大动位移及最大位移：梁的最大动位移及最大位移：2.求柔度系数及自振频率：求柔度系数及自振频率：6.结构的动弯矩幅值图：结构的动弯矩幅值图：本讲稿第三十四页，共三十四页