算法分析与设计-第六章分支限界法.ppt
第六章 分支限界法2 2学习要点理解分支限界法的剪枝搜索策略。掌握分支限界法的算法框架1.队列式(FIFO)分支限界法2.优先队列式分支限界法 通过应用范例学习分支限界法的设计策略。1.单源最短路径问题2.装载问题；3.布线问题4.0-1背包问题；5.最大团问题；6.旅行售货员问题7.电路板排列问题8.批处理作业调度问题3 3引言分支限界法类似于回溯法，也是一种在问题的解空间树T中搜索问题解的算法。分支限界法与回溯法的求解目标不同：回溯法是找出满足约束条件的所有解分支限界法找出满足条件的一个解，或某种意义下的最优解搜索方式不同回溯法：深度优先分支限界法：广度优先或最小耗费优先4 4分支限界法的搜索策略在扩展结点处，先生成所有儿子结点，此时所有的儿子结点都是活结点，并把这些活结点放在当前活结点表中。然后从当前活结点表中选择下一个扩展结点。为了有效地选择下一个扩展结点，以加速搜索的进程，在每一个活结点处，计算一个函数值（限界），并根据这些已计算出的函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间树上有最优解的分之推进，以便尽快地找出一个最优解。5 5一、分支限界法的基本思想分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。6 6二、常见的两种分支限界法从活结点表中选择下一扩展结点的不同方式导致不同的分支限界法：队列式(FIFO)分支限界法：活结用队列的方式存储，然后按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。最大优先队列：使用最大堆，体现最大效益优先最小优先队列：使用最小堆，体现最小费用优先7 7三、0-1背包问题考虑如下0-1背包问题的实例：n=3,c=30,w=16,15,15,p=45,25,25队列式分支限界法：A B,C=B,CB,C D,E=EC,E F,G=F,GE,F,G J,K=K(45)1,0,0F,G L,M=L(50)0,1,1 M(25)G N,0=N(25),O(0)优先队列式分支限界法：A B,C=B(45),C(0)B,C D,E=E(45)E,C J,K=K(45)1,0,0C F,G=F(25),G(0)F,G L,M=L(50),0,1,1 M(25)G N,O=N(25),O(0)可用剪枝函数加速搜索ABCDEFGHIJKLMNO108 8四、旅行售货员问题队列式分支限界法：A B,C,DB,C,D E,FC,D,E,F G,HD,E,F,G,H I,JE,F,G,H,I,J K(59)1,2,3,4F,G,H,I,J L(66)G,H,I,J M(25)1,3,2,4H,I,J 1-3-4(26)I,J O(25)J P(59)优先队列式分支限界法：A B,C,D=B(30),C(6),D(4)D,C,B I,J=I(14),J(24)C,I,J,B G,H=G(11),H(26)G,I,J,B,H M=M(25)1,3,2,4I,J,B,H O=O(25)J,B,H P=P(59)B,H B,H 限界掉1234643020510ABCDEFGHIJKLMNOP9 96.2单源最短路径问题1.问题描述 下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。10106.2 单源最短路径问题1.问题描述 下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。11116.2单源最短路径问题2.算法思想 解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一极小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前路长。算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。12126.2 单源最短路径问题3.剪枝策略 在算法扩展结点的过程中，一旦发现一个结点的下界不小于当前找到的最短路长，则算法剪去以该结点为根的子树。在算法中，利用结点间的控制关系进行剪枝。从源顶点s出发，2条不同路径到达图G的同一顶点。由于两条路径的路长不同，因此可以将路长长的路径所对应的树中的结点为根的子树剪去。13136.2 单源最短路径问题单源最短路径问题 while(true)for(int j=1;j=n;j+)if(cE.ijinf)&(E.length+cE.ijdistj)/顶点i到顶点j可达，且满足控制约束 distj=E.length+cE.ij;prevj=E.i;/加入活结点优先队列 MinHeapNode N;N.i=j;N.length=distj;H.Insert(N);try H.DeleteMin(E);/取下一扩展结点 catch(OutOfBounds)break;/优先队列空 顶点顶点i i和和j j间有边，且此间有边，且此路径长小于原先从原点路径长小于原先从原点到到j j的路径长的路径长 6.3 装载问题1.问题描述有一批共个集装箱要装上2艘载重量分别为C1和C2的轮船，其中集装箱i的重量为Wi，且装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。容易证明：如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可得到最优装载方案。(1)首先将第一艘轮船尽可能装满；(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。2.队列式分支限界法解装载问题算法的难点：队列的使用我们用队列Q存放活结点表，其中队列Q中的元素的值表示活结点对应的当前载重量，当元素的值为-1时，表示队列已达到解空间树的同一层结点的尾部。用i表示解空间树的层数，算法搜索解空间树时先判断i是否等于n（n表示输入量或树的高度）。如果i=n则表示当前活结点为叶结点，该结点不加入活结点队列中。此时，需要判断该叶子结点表示的可行解是否优于当前最优解，并适时更新当前最优解。如果in，则需要把当前活结点加入到活结点队列中。不过把当前活结点加入到活结点队列中时，还需做进一步的判断，即是否是一个可行结点。15156.3 装载问题6.3 装载问题2.队列式分支限界法解装载问题 在算法的while循环中，首先检测当前扩展结点的左儿子结点是否为可行结点。如果是则将其加入到活结点队列中。然后将其右儿子结点加入到活结点队列中(右儿子结点一定是可行结点)。2个儿子结点都产生后，当前扩展结点被舍弃。活结点队列中的队首元素被取出作为当前扩展结点，由于队列中每一层结点之后都有一个尾部标记-1，故在取队首元素时，活结点队列一定不空。当取出的元素是-1时，再判断当前队列是否为空。如果队列非空，则将尾部标记-1加入活结点队列，算法开始处理下一层的活结点。6.3 装载问题2.队列式分支限界法while(true)/检查左儿子结点 if(Ew+wi=c)/xi=1 EnQueue(Q,Ew+wi,bestw,i,n);/右儿子结点总是可行的 EnQueue(Q,Ew,bestw,i,n);/xi=0 Q.Delete(Ew);/取下一扩展结点 if(Ew=-1)/同层结点尾部 if(Q.IsEmpty()return bestw;Q.Add(-1);/同层结点尾部标志 Q.Delete(Ew);/取下一扩展结点 i+;/进入下一层 6.3 装载问题3.算法的改进 节点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树表示不将此集装箱装上船。设bestw是当前最优解；ew是当前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱的重量。则当ew+rbestw时，可将其右子树剪去，因为此时若要船装最多集装箱，就应该把此箱装上船。另外，为了确保右子树成功剪枝，应该在算法每一次进入左子树的时候更新bestw的值。6.3 装载问题3.算法的改进/检查左儿子结点 Type wt=Ew+wi;/左儿子结点的重量 if(wt bestw)bestw=wt;/加入活结点队列 if(i bestw&i n)Q.Add(Ew);/可能含最优解 Q.Delete(Ew);/取下一扩展结点右儿子剪枝右儿子剪枝 6.3 装载问题4.构造最优解 为了在算法结束后能方便地构造出与最优值相应的最优解，算法必须存储相应子集树中从活结点到根结点的路径。为此目的，可在每个结点处设置指向其父结点的指针，并设置左、右儿子标志。class QNode QNode*parent;/指向父结点的指针 bool LChild;/左儿子标志 Type weight;/结点所相应的载重量
