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1第一章第一章复复 数数 复平面复平面复数的球面表示复数的球面表示 扩充复平面扩充复平面第一章总结与习题第一章总结与习题 结束结束复数的几何意义复数的几何意义复数的定义及其代数运算复数的定义及其代数运算序言序言引言引言2 复变函数论产生于十八世纪.1774年,Euler(欧拉)在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程.而比他更早时,法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中,就已经得到了它们.因此,后来人们提到这两个方程,把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”.到了十九世纪,上述两个方程在Cauchy(柯西)和Riemann(黎曼)研究流体力学时,作了更详细的研究,所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件(C-R条件)”.序序 言言 3复变函数论的全面发展是在十九世纪,就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样,复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支,并且称为这个世纪的数学享受,也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一.复变函数论在应用方面,涉及的面很广,有很多复杂的计算都是用它来解决的.比如物理学上有很多不同的稳定平面场,对它们的研究是用复变函数来解决的.4 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候,就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题,他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用,而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科,对它们的发展很有影响.5 复数的概念起源于求方程的根,在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况.在很长时间里,人们对这类数不能理解.但随着数学的发展,这类数的重要性就日益显现出来.复数的一般形式是:a+bi,其中i是虚数单位.以复数作为自变量的函数就叫做复变函数,而与之相关的理论就是复变函数论.6完完 解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数,复变函数论主要就研究复数域上的解析函数,因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数是以研究复变量之间的相互依赖关系为主要任务的一门数学课程.它与高等数学中的许多概念、理论和方法有相似之处.但又有其固有的特性.因此充分运用已学过的高等数学知识,紧紧抓住复变函数的固有特性,是把本门课程学好的关键 .7第一节第一节复数的定义及其代数运算复数的定义及其代数运算复数的运算及复数域复数的运算及复数域例例2 复复数的模与共轭复数数的模与共轭复数结束结束复数的概念及表示复数的概念及表示教学要求教学要求 例例1 例例3 例例4 8引引 言言 本章的内容对以后学习将起到重要的作用.从这章开始,我们将学习一个更大的数域复数域!大部分理论是微积分内容的延伸,因此学习本课程,要求我们回顾微积分的内容,比较相同和不同的地方.完完9教学要求教学要求完完 熟练掌握复数的运算;了解区域的概念;了解约当(Jordan)曲线的概念.熟练掌握复数的各种表示方法;教学要求教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用“理解”,“了解”,“知道”三级来表述;对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用“熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述.10 复数出现的必要性:我们熟悉的实数已经不能满足需要了，如方程就没有实数解,甚至我们知道,在实数范围内,这个方程没有意义！要使(1)有意义,需要把数的范围扩大,下面我们学习复数.(1)复数的概念及表示11形如 在复数中,引进记号“i”(虚数单位),定义“i2=-1”.的数,称为复数.其中实数x和y分别称为复数的实部和虚部,常记为 复数复数12(1)加(减)法复数的运算及复数域复数的运算及复数域(2)乘法(3)除法 13求 的和,差,积,商.例例1 1完完14引进四则运算后的全体复数称为复数域.注注:实数域 复数域,复数域也有自己的特点.在复数域上,复数的运算类似于实数运算，可以合并同类项、作多项式乘法、分母有理化等.复数域复数域15 由于复数z与从原点到z的向量的对应,称向量的长度为复数z的模(或绝对值)记作|z|(或用 r 表示).复数的模与共轭复数复数的模复数的模计算式为复数不能比较大小复数不能比较大小!复数模可以比较大小复数模可以比较大小!16z1z2z1+z2x1+x2y1+y2z1-z20 xy模的性质模的性质17复数与共轭复数、模之间有下面的关系:设复数z=x+iy,称x-iy为复数z 的共轭复数,记作 z.共轭复数共轭复数18,求例例2 2设完完设 求例例3 3证明若例例4 419第二节第二节复数的几何意义复数的几何意义辐角辐角辐角辐角例例例例3 3 结束结束复平面与复数加法的几何意义复平面与复数加法的几何意义复平面与复数加法的几何意义复平面与复数加法的几何意义例例例例1 1 复数乘复数乘复数乘复数乘(除除除除)法的几何意义法的几何意义法的几何意义法的几何意义复数的幂与方根复数的幂与方根复数的幂与方根复数的幂与方根例例例例6 6 例例例例8 8复数的三种表示形式复数的三种表示形式复数的三种表示形式复数的三种表示形式例例例例2 2 exe exe 思考思考思考思考 exe exe 例例例例4 4 例例例例5 5 例例例例7 7教学要求教学要求教学要求教学要求(见第一节见第一节见第一节见第一节 )20复平面与复数加法的几何意义如图1.一个复数z和一对有序实数(x,y)对应,因此平面上的点与全体复数之间可以建立一一对应关系.2.一个复数z与从原点到z的向量也对应.0 xyr210 xyrPQ复数z可以从几何上来刻画:(1)|z|=|oM|=r(2)Rez=x,Imz=y(投影)(3)|Rez|z|,|Imz|z|z|Rez|+|Imz|z1z2z1+z2x1+x2y1+y2z1-z2xy完完22求下复数的模.例例1 1完完参考解答参考解答23辐角实轴正向到非零复数z所对应的向量oz 间的夹角 满足 称为复数z 的辐角(Argument).辐角辐角 记作记作 ,任何非零复数都有无穷多个 的辐角.24称满足条件 的一个值为Argz的主值，也称为z的主辐角.辐角主值辐角主值250 xyz(x,y)argzz(x,y)完完26求例例2 2完完解答参考解答参考解答参考解答参考设 求|z|和argz.exeexe27复数的三种表示形式(1)解析形式 z=x+iy(2)三角形式(3)指数形式 0 xyrixy28将下复数化为指数形式例例3 3完完求-4-3i 的辐角例例4 4已知z=x+iy(z=0),证明Argz=-Argz,并讨论argz和 argz 的关系.例例5 5参考解答参考解答参考解答参考解答参考解答参考解答29将下复数化为指数形式完完exeexe30复数乘复数乘(除除)法的几何意义法的几何意义用复数的指数形式表示复数的乘法和除法很方便,如复数的乘/除法的几何意义从图上看更直观.0 xy31应理解为集合相等的关系.32求复数 的模和辐角主值.例例6 6完完已知正三角形的两个顶点为(0,0),(3,2),求另一顶点.例例7 7参考解答参考解答参考解答参考解答33已知正方形的两个对角顶点为(0,0),(1,1),求另一对顶点.0(1,1)xyRef：(0,1),(1,0)思考思考完完34复数的幂与方根 利用两个复数的乘法,很快可以得到n个复数的 乘积的模和辐角的计算.模:辐角:35 利用指数形式,有De Moivre(德摩弗)公式36 由于n次幂与n次方根是互逆运算,因此定义复数的开n方的运算如下这些根记作 n次方根次方根37由于复根的成对性，以及习惯用0和正数表示下标，事实上只要取k=0,1,n-1即可以了.即380 xy由上面的结果知道,这n个根均匀分布以 为半径的圆周上.完完390 xy计算 .例例8 811完完参考解答参考解答40第三节第三节复平面点集复平面点集复解析几何复解析几何复解析几何复解析几何exe1exe1 例例例例2 2 例例例例3 3结束结束常见的复平面点集常见的复平面点集例例例例1 1 41邻域常用的复平面点集常用的复平面点集42内点、开集、边界点、边界内点、开集、边界点、边界E（1）内点）内点 如果 E 内每一点都是它的内点,那末E 称 为开集开集.43E（3）如果在z0的任意一个邻域内,既有属于E的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点边界点。点集E的全体边界组成的集合称为E的边界边界.记为E（2）平面上不属于E的店的全体称为E的余集，记作 。开集的余集称为闭集。44(4)若在 的某一领域内除 外不含E的点，则称 是E的一个孤立点。E的孤立点一定是E的边界点。45有界zxyE有界！oME46例1 是一开集。因为对于任意的 ，的邻域 在G中。例2 是闭集。因为它的余集是开集。例3 ，圆周 的每一点均为G的边界 点，且G没有别的边界点。因此 是G的边 界47区域 如果平面点集E满足以下两个条件,则称它为一个区域：(1)E是一个开集；(2)E是连通的(即E中任何两点都可以用完全属于E的一条折线连结起来.)E加上E的边界一起构成闭区域或闭域.z1z2E 记为EE+E，闭区域并非区域。48Jordan曲线,光滑曲线表示复数平面上的一条曲线C.起点z()终点z()zxyCC的正向:从起点终点o49 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(Jordan曲线).简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交.重点重点重点重点重点重点chong 50判断下列曲线是否为简单曲线?简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭exe1完完51 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线.（1）光滑曲线上的各点都有切线（2）光滑曲线可以求长光滑曲线特点特点52若尔当曲线定理若尔当曲线定理：任一简单闭曲线将平面分成任一简单闭曲线将平面分成两个区域。它们都以该曲线为边界。其中一个两个区域。它们都以该曲线为边界。其中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部；另一为有界区域，称为该简单闭曲线的内部；另一个为无界区域，称为外部。个为无界区域，称为外部。53复平面上的一个区域D,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于D,就称D为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域单连通域与多连通域54复解析几何 在初等解析几何中,一个图形的方程可以表示为x与y的关系(解析式),同时也可以用图形表示(图示)通过几个例子来说明这个问题.在复平面上,这种关系用复数表示起来有时也是很方便的.这就是复解析几何.55求下列方程表示的曲线例例1 1将过两点 的直线用复数表示.例例2 2完完指出下列平面点集表示的图形.例例3 3 a,b为复常数,b=0.a,b为复常数,b=0.56第四节第四节 无穷大与复球面无穷大与复球面扩充复平面扩充复平面扩充复平面扩充复平面结束结束复数的球面表示复数的球面表示复数的球面表示复数的球面表示教学要求教学要求教学要求教学要求(见第一节见第一节见第一节见第一节 )57 单位球面上的点,除去北极 N 外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.球面上的每一个点 p 都有唯一的复数 z 与之对应,(0,0,1)对应z平面上的 .z复数的球面表示这样的球面称为复球面复球面.58扩充复平面在复平面上,不存在无穷远点,引入一个理想点,用“”表示这个点.称复平面加上“理想点-”的集合为扩充复平面,用“”来记这个平面.复球面上的点与扩充复平面上的点建立了一一对应的关系,复球面可以看成看成复平面的几何模型.完完59第五节第五节 复变函数复变函数复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性结束结束复变函数的相关概念复变函数的相关概念复变函数的相关概念复变函数的相关概念601、复变函数的定义、复变函数的定义 设设G是一个复数是一个复数 的集合，如果有一个的集合，如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中中的每一个复数的每一个复数 ，都有一个或几个复数，都有一个或几个复数 与与之对应，那末称复变数之对应，那末称复变数 是复变数是复变数 的函数（简的函数（简称复变函数），记作称复变函数），记作 如果对每一个如果对每一个 ，有唯一的，有唯一的 同它对应，同它对应，则称则称 为单值函数，不是单值函数的函数称为单值函数，不是单值函数的函数称为多值函数。为多值函数。一般情况下，我们说的一般情况下，我们说的“函数函数”都是单值函数都是单值函数 61复变函数复变函数 和自变量和自变量 之间的关系之间的关系 相当于两个关系式：相当于两个关系式：为实值函数为实值函数。设设 ，则，则 可以表示为：可以表示为：的性质就取决于的性质就取决于 和和 的性质。的性质。62例1 将定义在全平面上的复变函数将定义在全平面上的复变函数 化为化为一对二元实变函数。一对二元实变函数。例2 将定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对将定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对二元实变函数二元实变函数化为一个复变函数。化为一个复变函数。632、映射的概念、映射的概念设设 的定义域为的定义域为G,的值域为的值域为D。则。则 将将点集点集G的点映射为点集合的点映射为点集合D的点。设的点。设 将将G中的中的点点 映射为映射为D中的点中的点 ，集合，集合G映射为集合映射为集合D,则则称点称点 为点为点 的像，点的像，点 为点为点 的原像。的原像。64已知映射已知映射 ，求点，求点在在 平面上的象。平面上的象。653、复变函数的极限与连续性、复变函数的极限与连续性 定义：设函数定义：设函数 定义在定义在 的去心邻域的去心邻域 内。若有确定的复数内。若有确定的复数 存在，存在，对于任意给定的对于任意给定的 ，总存在一个正数，总存在一个正数 ，使，使得对满足得对满足 的一切的一切 ，都有，都有 ，则称，则称A为函数为函数 当当 趋向趋向 时的极时的极限。记作限。记作 66极限的四则运算极限的四则运算当时有67定理定理1.1 则则 的充要条件是的充要条件是设函数设函数68证明：必要性：若证明：必要性：若 ，根据极限定义有，根据极限定义有当 时即即因此因此69充分性：当上面两式成立，即当充分性：当上面两式成立，即当时，就有时，就有于是便有当于是便有当 时，时，即即70定义定义 如果如果 成立，则称成立，则称 在在 处连处连续续。如果。如果 在区域在区域D中每一点连续，则称中每一点连续，则称 在在D内连续。内连续。证明：证明：当当 时的极限不存在。时的极限不存在。证明：令证明：令 ，则有，则有令令71则有则有 当当 ，针对不同的，针对不同的k值，极限均不值，极限均不存在，则极限不存在。存在，则极限不存在。72定理定理1.2函数函数 在在 连续的充要条件是连续的充要条件是 和和 在在 处连续处连续 在有界闭区域上的复连续函数，具有下列几在有界闭区域上的复连续函数，具有下列几个性质：个性质：1.有界闭区域有界闭区域 上的连续函数上的连续函数 有界。有界。2.有界闭区域有界闭区域 上的连续函数上的连续函数 ，在，在 上其模上其模 至少取得最大值与最小值各一次。至少取得最大值与最小值各一次。73 3.有界闭区域有界闭区域 上的连续函数上的连续函数 在在 上是一上是一致连续的，即对任意给的致连续的，即对任意给的 ，存在，存在 ，对，对任何满足任何满足 的的 ，有有 74