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第二节逻辑函数本讲稿第一页，共三十六页回顾：回顾：一、数字量、模拟量一、数字量、模拟量模拟量、模拟信号、模拟电路数字量、数字信号、数字电路本讲稿第二页，共三十六页二、数制二、数制数制数码计数规则一般表达式基数十进制（D）09逢十进一10二进制（B）八进制（Q）十六进制 （H）0、10709、AF逢二进一逢八进一逢十六进一2816D=kiX10iB=kiX2iH=kiX16i Q=kiX8i本讲稿第三页，共三十六页三、数制转换三、数制转换（一）二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数按权展开，求出其各位加权系数和。（二）十进制数转换为二进制数、八进制数、十六进制数整数采用除基取余法，小数采用乘基取整法。（三）二进制数与八进制数转换三合一，一分三。（四）二进制数与十六进制数转换四合一，一分四。本讲稿第四页，共三十六页四、码制四、码制（一）BCD码：8421码、余3码、2421码、5421码。（二）可靠性编码：格雷码、奇偶校验码。本讲稿第五页，共三十六页第二节第二节 逻辑函数逻辑函数本节纲要：一、逻辑变量与逻辑函数二、基本逻辑关系（与、或、非及其运算）三、基本公式、定理和常用规则本讲稿第六页，共三十六页 逻辑代数(布尔代数)，是分析和研究逻辑电路的数学工具，是学习数字电路的基础。研究内容：逻辑函数与逻辑变量之间的关系。18471847年年,英国数学家乔治布尔(G.Boole)提出了用数学分析方法表示命题陈述的逻辑结构，并将形式逻辑归结为一种代数演算，从而诞生了著名的“布尔代数布尔代数”。19381938年年，克劳德向农(C.E.Shannon)将布尔代数应用于电话继电器的开关电路，提出了“开关代数开关代数”。随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关，故人们更习惯于把开关代数叫做逻辑代数逻辑代数。本讲稿第七页，共三十六页一、逻辑变量和逻辑函数一、逻辑变量和逻辑函数（一）逻辑变量 逻辑变量定义：采用仅有两个取值的变量来表示现 象的两种相互对立的状态，这种二值变 量就称为逻辑 变 量。逻辑变量表示的是事物的两种对立的状态，只允许取两个不同的值，分别是逻辑0和逻辑1。（二）逻辑函数 逻辑函数定义：在数字逻辑电路中，如果输入变量A、B、C的取值确定后，输出变量Y的值也被唯一的确定 了，则称Y是A、B、C的逻辑函数。一般表达式：Y=f（A，B，C，）逻辑函数与逻辑变量一样，都只有逻辑0和逻辑1两种取值。本讲稿第八页，共三十六页只有当两个开关同时闭合，指示灯才会亮只有只有条件同时满足时，结果才才发生。+-AYB灭亮二、基本逻辑关系二、基本逻辑关系（一）、与逻辑及运算（一）、与逻辑及运算1、与逻辑定义当决定某一事件的所有条件都具备时，事件才能发生。否则就不发生。这种决定事件的因果关系称为“与逻辑”。本讲稿第九页，共三十六页3、与逻辑真值表4、与逻辑函数式5、与逻辑符号6、与逻辑运算&ABY0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1Y=A BA BY0 00 11 01 100012、电路功能表开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合灭闭合断开灭闭合闭合亮本讲稿第十页，共三十六页只要只要有一个开关闭合时，指示灯就会亮。灭亮+-AYB（二）、或逻辑及运算（二）、或逻辑及运算 当决定某一事件的一个或多个条件满足时,事件便能发生。当所有条件都不具备时，事件才不发生。这种决定事件的因果关系称为“或逻辑”。1、或逻辑定义本讲稿第十一页，共三十六页A B0 11 01 1 Y0 1 113、或逻辑真值表4、或逻辑函数式5、或逻辑符号Y=A+B0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=16、或逻辑运算11ABY0 02、电路功能表（见书P10。）本讲稿第十二页，共三十六页开关闭合时，指示灯不亮，而开关断开时，指示灯亮。+-AYR亮灭（三）、非逻辑及运算（三）、非逻辑及运算1、非逻辑定义 条件具备时，事件不能发生；条件不具备时事件一定发生。这种决定事件的因果关系称为“非逻辑”。本讲稿第十三页，共三十六页6、非逻辑运算5、非逻辑符号4、非逻辑函数式3、非逻辑真值表AY0110Y=A1AY0=1 1=02、电路功能表（见教材P11）本讲稿第十四页，共三十六页1.与非逻辑与非逻辑 它是它是“与与”和和“非非”的复合逻辑，的复合逻辑，（四）、复合逻辑（四）、复合逻辑逻辑表达式为：变量全为1，表达式为0；只要有一个变量为0，表达式为1。规律：本讲稿第十五页，共三十六页2.或非逻辑或非逻辑 或非逻辑是或非逻辑是“或或”和和“非非”的复合逻辑，的复合逻辑，它与它与“与非与非”逻辑互为对偶。逻辑互为对偶。逻辑表达式为：规律：变量全为0，表达式为1；只要有一个变量为1，表达式就为0。本讲稿第十六页，共三十六页3.与或非逻辑与或非逻辑 与或非逻辑是与或非逻辑是“与与”、“或或”、“非非”的复合逻辑。的复合逻辑。逻辑表达式为：运算顺序运算顺序：先与，再或，再取非：先与，再或，再取非只有A、B或C、D同时为1时,输出才是0与或非真值表 本讲稿第十七页，共三十六页4.4.异或逻辑异或逻辑逻辑表达式：对于二输入变量问题，当二输入值对于二输入变量问题，当二输入值相异相异时，时，输出为输出为 1；当二输入值相同时，输出为当二输入值相同时，输出为 0。规律：规律：异或逻辑有下列等式：异或逻辑有下列等式：本讲稿第十八页，共三十六页5.5.同或逻辑同或逻辑二输入变量的同或表达式：对于二输入变量问题，当二输入值对于二输入变量问题，当二输入值相同相同时，时，输出为输出为 1 1 ；当二输入值相异时，输出为当二输入值相异时，输出为 0 0。规律：规律：同或、异或相互关系：同或、异或相互关系：本讲稿第十九页，共三十六页（五）（五）逻辑函数的相等的概念逻辑函数的相等的概念逻逻辑辑代代数数中中函函数数的的定定义义与与普普通通代代数数中中函函数数的的定定义义类类似似，即即随随自自变变量量变变化化的的因因变变量量。但但和和普普通通代代数数中中函函数数的的概概念念相相比比，逻逻辑辑函数具有如下函数具有如下特点：特点：1逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有0和和1两种可能两种可能；2函函数数和和变变量量之之间间的的关关系系是是由由“或或”、“与与”、“非非”三种基本运算决定的三种基本运算决定的。一一、逻辑逻辑函数的定函数的定义义本讲稿第二十页，共三十六页 图中，图中，Y被称为被称为A1，A2，An的逻辑函数，记为的逻辑函数，记为 Y=f(A1，A2，An)任何一个逻辑电路的功能都可由相应的逻辑函数完全描述，因此，任何一个逻辑电路的功能都可由相应的逻辑函数完全描述，因此，能够借助抽象的代数表达式对电路加以分析研究。能够借助抽象的代数表达式对电路加以分析研究。逻辑电路输出函数的逻辑电路输出函数的取值是由逻辑变量的取值和电路本身的结构决定的取值是由逻辑变量的取值和电路本身的结构决定的。广义的逻辑电路广义的逻辑电路逻辑电路逻辑电路 YA1A2An 设某一逻辑电路的输入逻辑变量为设某一逻辑电路的输入逻辑变量为A1，A2，An，输出逻辑，输出逻辑变量为变量为Y，如下图所示。，如下图所示。从数字系统研究的角度看，逻辑函数的定义如下从数字系统研究的角度看，逻辑函数的定义如下:本讲稿第二十一页，共三十六页什么叫做两个逻辑函数相等呢？什么叫做两个逻辑函数相等呢？如何判断两个逻辑函数是否相等？如何判断两个逻辑函数是否相等？通常有两种方法通常有两种方法,一种方法是一种方法是真值表法，真值表法，另一种方法是另一种方法是代数法。代数法。设有两个相同变量的逻辑函数设有两个相同变量的逻辑函数 Y1=f1(A 1,A 2,A n)Y2=g2(A 1,A 2,A n)若若对对应应于于逻逻辑辑变变量量 A1,A2,An的的任任何何一一组组取取值值，Y1和和Y2的的值值都相同，则称函数都相同，则称函数Y1和和Y2相等，记作相等，记作Y1=Y2。本讲稿第二十二页，共三十六页例1：已知下列两个函数 ，判断 和 是否相等。解：列出Y1和Y2的真值表：A B AB0 0 0 11 1 10 1 0 11 0 11 0 0 10 1 11 1 1 00 0 0即有：（与非=非或）本讲稿第二十三页，共三十六页例2：已知下列两个函数 ，判断 和 是否相等。解：列出Y1和Y2的真值表：A B A+B0 0 0 11 1 10 1 1 01 0 01 0 1 00 1 01 1 1 00 0 0即有：（或非=非与）本讲稿第二十四页，共三十六页三、基本公式、定理和常用规则三、基本公式、定理和常用规则0-1律律：描述了变量与常量之间的运算规则 互补律互补律:描述了变量与其反变量之间的运算规律等幂律等幂律（重叠律）:描述了同一变量的运算规律双重否定律双重否定律（非非律）：表明一个变量经过两次求反之后还原为其本身分别令分别令A=0及及A=1代入这些公代入这些公式，即可证明它们的正确性。式，即可证明它们的正确性。（一）逻辑代数公式和定理（一）逻辑代数公式和定理本讲稿第二十五页，共三十六页以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例如，证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。证：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC （分配律）=A+AB+AC+BC （等幂律）=A(1+B+C)+BC=A+BC （分配律）因此有 A+BC=(A+B)(A+C)本讲稿第二十六页，共三十六页本讲稿第二十七页，共三十六页吸收律吸收律:吸收多余（冗余）项，多余（冗余）吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉因子被取消、去掉 被消化了。被消化了。)（1）原变量的吸收：）原变量的吸收：证明：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A长中含短，长中含短，留下短。留下短。（2）反变量的吸收：）反变量的吸收：证明：证明：长中含反，去长中含反，去掉反。掉反。想一想：想一想：为什么为什么?本讲稿第二十八页，共三十六页（3）混合变量的吸收（冗余律）：）混合变量的吸收（冗余律）：证明：证明：1吸收吸收正负相对，余正负相对，余全完。全完。本讲稿第二十九页，共三十六页 证明：证明：证：右边证：右边证明证明证：左边证：左边 运用：运用：利用上述公式或定理可以对逻辑表达式进行化简，也可以利用他们来证明两个逻辑表达式是否相等。本讲稿第三十页，共三十六页1、代入规则任何一个含有某变量的等式，如果任何一个含有某变量的等式，如果等式等式中所有出现此中所有出现此变量变量的位置均代之以一个的位置均代之以一个逻辑逻辑函数式函数式，则此等式依然成立，则此等式依然成立例：例：A B=A+B利用反演律利用反演律BCBC替代替代B B得得由此反演律能推广到由此反演律能推广到n n个变量：个变量：（二）运算基本规则（二）运算基本规则本讲稿第三十一页，共三十六页2、反演规则例：又例：Y是一个与或与或式（先与与运算再或或运算），而看作一个整体（或说成一个变量）将Y中的则变成了或与或与式对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式Y Y，做如下处理：，做如下处理：若把式中的运算符若把式中的运算符“.”换成换成“+”,“”,“+”换成换成“.”;”;常量常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”；原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量那么得到的那么得到的新函数式新函数式称为原函数式称为原函数式Y Y的的反函数式反函数式。本讲稿第三十二页，共三十六页注：注：保持原函数的运算次序，必要时适当地加入括号保持原函数的运算次序，必要时适当地加入括号 不属于单个变量上的非号有两种处理方法不属于单个变量上的非号有两种处理方法 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变将非号去掉，而非号下的函数式保留不变本讲稿第三十三页，共三十六页3、对偶规则、对偶规则对于任一逻辑表达式Y，如果将表达式中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，保持变量不变，得到一个新的等式Y，称为函数Y的对偶函数。这就是对偶定理。例：我们观察基本公式会发现公式1和公式2它们都互为对偶式。互为对偶式互为对偶式本讲稿第三十四页，共三十六页对偶规则的意义：如果两个函数相等，则他们的对偶函数也相等。反函数和对偶函数之间在形式上只差变量的“非”，因此，若求的一个函数的反函数，只要将所有变量取反便得该函数的对偶函数，反之亦然。本讲稿第三十五页，共三十六页谢谢谢谢本讲稿第三十六页，共三十六页