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第四章第四章 留数定理留数定理1.留数定理留数定理2.应用留数定理计算实变函数定积分应用留数定理计算实变函数定积分学习要求学习要求掌握留数的概念和留数定理掌握留数的概念和留数定理熟练掌握留数的计算方法熟练掌握留数的计算方法熟练应用留数定理求封闭曲线的路积分熟练应用留数定理求封闭曲线的路积分熟练掌握利用留数定理计算实变函数定积熟练掌握利用留数定理计算实变函数定积分分(主要是三种类型主要是三种类型)的方法的方法4.1 留数定理留数定理 留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。各奇点的留数之和。留数的计算留数的计算 如果孤立奇点是极点，则留数的计算有很简便的方式。如果孤立奇点是极点，则留数的计算有很简便的方式。1 2 3解题思路解题思路 1 计算函数在有限远点的留数计算函数在有限远点的留数 2 计算回路积分计算回路积分留数的计算留数的计算解：解：留数的计算留数的计算解：解：留数的计算留数的计算留数的计算留数的计算计算回路积分计算回路积分解：解：计算回路积分计算回路积分柯西公式应用举例柯西公式应用举例4.2 应用留数定理计算实变函数定积分应用留数定理计算实变函数定积分将实变定积分与复变回路积分联系的要点如下将实变定积分与复变回路积分联系的要点如下留数定理留数定理较易算出；可用第一项表示较易算出；可用第一项表示 1 被积函数是三角函数的有理式；积分区间是被积函数是三角函数的有理式；积分区间是0,2.三种类型三种类型 留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。各奇点的留数之和。留数的计算留数的计算 如果孤立奇点是极点，则留数的计算有很简便的方式。如果孤立奇点是极点，则留数的计算有很简便的方式。解题思路解题思路找奇点找奇点：一般情况下，题目给出的：一般情况下，题目给出的f(z)是有理分式是有理分式只要找出分母只要找出分母Q(z)=0的根即可。的根即可。更一般的情况，更一般的情况，Q(z)是多项式，这时候，只需要把是多项式，这时候，只需要把Q(z)进行因式进行因式分解分解一般情况下，题目给出的一般情况下，题目给出的f(z)是有理分式：是有理分式：且且Q(z)是多项式：是多项式：1 24.2 应用留数定理计算实变函数定积分应用留数定理计算实变函数定积分将实变定积分与复变回路积分联系的要点如下将实变定积分与复变回路积分联系的要点如下留数定理留数定理较易算出；可用第一项表示较易算出；可用第一项表示 1 被积函数是三角函数的有理式；积分区间是被积函数是三角函数的有理式；积分区间是0,2.三种类型三种类型第一类实变函数定积分的例题第一类实变函数定积分的例题解：解：第一类实变函数定积分的例题第一类实变函数定积分的例题解：解：2三种类型三种类型第二类实变函数定积分的例题第二类实变函数定积分的例题第二类实变函数定积分的例题第二类实变函数定积分的例题解：因为被积函数是解：因为被积函数是 x 的偶函数的偶函数 3三种类型三种类型首先将所求的积分形式变换一下：首先将所求的积分形式变换一下：第三类实变函数定积分的例题第三类实变函数定积分的例题解：解：