第七章第一节数学物理方程的导出-v21.ppt

第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程1物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等领物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等领域中域中,需要研究某物理量和其它物理量之间的变化关需要研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。这种关系在数学上称为函数关系。系。这种关系在数学上称为函数关系。物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的各阶导数与自变量的关系。各阶导数与自变量的关系。牛顿第二定律牛顿第二定律:F=m a a物体加速度物体加速度;F合外力合外力;m物体质量物体质量付里叶热传导定律付里叶热传导定律:dQ热量微元热量微元;dS面积微元面积微元;热导率热导率23如果微分方程中涉及单因素如果微分方程中涉及单因素(一个自变量）一个自变量）,这种这种方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素(多多个自变量个自变量),),这时方程中出现的导数是偏导数这时方程中出现的导数是偏导数,相应的相应的方程称为偏微分方程。方程称为偏微分方程。单摆单摆:=(t)弦振动弦振动:u=u(x,t)4数学物理方程数学物理方程主要是指物理学的一个分支主要是指物理学的一个分支数学物理所涉数学物理所涉及的偏微分方程，有时也包括相关的积分方程、微分积分方程。及的偏微分方程，有时也包括相关的积分方程、微分积分方程。本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关的定解问题和本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关的定解问题和这些问题的几种常用解法。这些问题的几种常用解法。5本篇主要内容本篇主要内容：u 某个物理量某个物理量(位移、浓度、场强、电势等位移、浓度、场强、电势等)的数学物理方程的的数学物理方程的建立建立(二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程)物理规律物理规律(共性共性)泛定方程泛定方程u 在一定在一定“环境环境”(边界边界)和和“历史历史”(初始初始)条件条件 定解条件下定解条件下的定的定解问题解问题(第七章第七章)u 定解问题的几种解法定解问题的几种解法(第八第八第十章第十章)重点重点：数学物理方程求解方法中的分离变量法、幂级数解法等：数学物理方程求解方法中的分离变量法、幂级数解法等.6第七章第七章 数学物理定解问题数学物理定解问题7.1 7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出7.2 定解条件定解条件7在在科学技术和生产实际中常常要求研究某个物理量科学技术和生产实际中常常要求研究某个物理量(电场强度、电场强度、电势、磁感应强度、声压、杂质浓度电势、磁感应强度、声压、杂质浓度)在空间的某个区域的分布在空间的某个区域的分布情况，以及它们怎样随着时间而变化。这些问题中的自变数不情况，以及它们怎样随着时间而变化。这些问题中的自变数不仅有时间，而且还有空间坐标。仅有时间，而且还有空间坐标。如波动微分方程如波动微分方程静电势的微分方程静电势的微分方程(Poisson方程方程)8由由Maxwell方程组导出的平面电磁波波动微分方程方程组导出的平面电磁波波动微分方程描述微观粒子运动规律的描述微观粒子运动规律的Schrdinger方程方程91、什么叫物理规律：与物理量的变化有关、什么叫物理规律：与物理量的变化有关 某物理量在空间和时间中的变化规律。它反映同一类物理某物理量在空间和时间中的变化规律。它反映同一类物理现象的共同规律，它是解决物理问题的依据。物理规律反映的现象的共同规律，它是解决物理问题的依据。物理规律反映的是同一类物理现象的共同规律，即普遍性或共性。是同一类物理现象的共同规律，即普遍性或共性。弄清楚物理量在空间的分布规律和在时间中的变化规律，弄清楚物理量在空间的分布规律和在时间中的变化规律，就是物理课程中的物理规律。就是物理课程中的物理规律。若物理量仅随时间变化，其数学表达式为若物理量仅随时间变化，其数学表达式为常微分方程常微分方程；若与；若与时空均有关，则为时空均有关，则为偏微分方程偏微分方程。10 常用物理规律常用物理规律(一一)1、牛顿第二定律、牛顿第二定律2、虎克定律（两个）、虎克定律（两个）11对虎克定律的说明：对虎克定律的说明：公式中公式中P称为协强或应力。它表示弹性物称为协强或应力。它表示弹性物体单位截面所受作用力，体单位截面所受作用力，P=F/S。公式中公式中ux表示伸长率，称为协变。表示伸长率，称为协变。Y表示杨氏弹性模量，等于协强比协变。表示杨氏弹性模量，等于协强比协变。杨氏弹性模量由材料决定！杨氏弹性模量由材料决定！123、克希荷夫定律、克希荷夫定律(1).节点电流定律节点电流定律(2).回路电压定律回路电压定律13 解决具体问题时，还要考虑物理问题的个性。要考虑所研解决具体问题时，还要考虑物理问题的个性。要考虑所研究区域的边界条件究区域的边界条件(环境环境)和初始条件和初始条件(历史历史)。边界条。边界条件和初始条件在数学上合称为件和初始条件在数学上合称为定解条件定解条件。物理规律用数学的语言物理规律用数学的语言翻译翻译出来，就是物理量出来，就是物理量u在空间在空间和时间中的变化规律，换句话说，它是物理量和时间中的变化规律，换句话说，它是物理量u在各个地点和在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。各个时刻所取的值之间的联系。物理规律用偏微分方程表达出来，叫做物理规律用偏微分方程表达出来，叫做数学物理方程数学物理方程。数学。数学物理方程，作为同一类物理现象的共性，跟具体条件无关。数物理方程，作为同一类物理现象的共性，跟具体条件无关。数学上叫学上叫泛定方程泛定方程。在给定的定解条件下求解数学物理方程，就叫做在给定的定解条件下求解数学物理方程，就叫做数学物理定数学物理定解问题解问题或简称为或简称为定解问题定解问题。147.1 7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出15多数为二多数为二阶线性偏阶线性偏微分方程微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导问题和扩散问题满足输运方程输运方程静电场和引力势满足静电场和引力势满足拉普拉斯方程或拉普拉斯方程或泊松方程泊松方程数学物理方程的类型和所描述的物理规律数学物理方程的类型和所描述的物理规律数学物理方程的类型和所描述的物理规律数学物理方程的类型和所描述的物理规律16(一一)均匀弦的微小横振动均匀弦的微小横振动一根均匀柔软的细弦线，一端固定在坐标原点，另一端沿一根均匀柔软的细弦线，一端固定在坐标原点，另一端沿x轴拉紧固定轴拉紧固定在在x轴上的轴上的L处，受到扰动，开始沿处，受到扰动，开始沿x轴（平衡位置）上下作微小横振动轴（平衡位置）上下作微小横振动（细弦线上各点运动方向垂直于（细弦线上各点运动方向垂直于x轴），形成波。轴），形成波。17如何将这一物理问题用数学的语言翻译出来？即如何建立泛定如何将这一物理问题用数学的语言翻译出来？即如何建立泛定方程？要确定弦的运动方程，需要明确：方程？要确定弦的运动方程，需要明确：确定确定弦的弦的运动运动方程方程 （2）被研究的物理量遵循哪些）被研究的物理量遵循哪些物理定理？物理定理？牛顿第二定律牛顿第二定律.（3）按物理定理写出数学物）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）理方程（即建立泛定方程）(1)要研究的物理量是什么？要研究的物理量是什么？(2)弦沿垂直方向的位移弦沿垂直方向的位移 18弦不是质点，但是把弦分解为一个个的微元后，每个微元可以弦不是质点，但是把弦分解为一个个的微元后，每个微元可以当成质点处理！当成质点处理！19有一根完全柔软的均匀弦，沿水有一根完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一平面上振动。发，使弦在同一平面上振动。取弦的平衡位置为取弦的平衡位置为x轴，且令端轴，且令端点坐标为点坐标为x=0与与x=l 设设u(x,t)是坐标为是坐标为x的弦上一点在的弦上一点在t时刻的时刻的(横向横向)位移。位移。弦沿弦沿x方向没有运动。方向没有运动。u(x,t)20212223弦的横向加速度因为因为dx很小很小,24这就是这就是弦振动方程弦振动方程，其中，其中a 就是就是振动在弦上的传播速度，振动在弦上的传播速度，U是是弦上的点在横向的位移。弦上的点在横向的位移。如果弦在横向如果弦在横向(即位移即位移u的方向的方向)上还受到外力作用，设单位长上还受到外力作用，设单位长度所受的外力为度所受的外力为f，则有，则有25其中的非齐次项其中的非齐次项 是单位质量所受的外力。是单位质量所受的外力。上上面的推导中还面的推导中还忽略了弦的重量。忽略了弦的重量。受迫振动方程受迫振动方程26弦振动方程弦振动方程受迫振动方程受迫振动方程27(二二)均匀杆的纵振动均匀杆的纵振动设均匀细杆长为设均匀细杆长为L，线密度为线密度为，杨氏模量为，杨氏模量为Y，杆的一端固定杆的一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动（沿在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动（沿x轴方向的振动）轴方向的振动）。假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况。假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即位移即位移)完全相同，试建立杆上质点位移函数完全相同，试建立杆上质点位移函数u(x，t)的纵向振动方程。的纵向振动方程。胡克定律：胡克定律：应力P和应变 ux成正比Y：杨氏模量，即物体单位应变所产生的应力应力应力：单位面积上所受到的力28如何将这一物理问题用数学的语言翻译出来？即如何建立泛如何将这一物理问题用数学的语言翻译出来？即如何建立泛定方程？要确定杆的纵振动方程，需要明确：定方程？要确定杆的纵振动方程，需要明确：确定确定杆的杆的纵振纵振动方动方程程 （2）被研究的物理量遵循哪些物理定）被研究的物理量遵循哪些物理定理？理？牛顿第二定律，牛顿第二定律，Hooke定律定律（3）按物理定理写出数学物）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）理方程（即建立泛定方程）(1)要研究的物理量是什么？要研究的物理量是什么？(2)杆沿纵向的位移杆沿纵向的位移 29u 设杆长方向为设杆长方向为x方向，垂直于方向，垂直于杆长方向的各截面均用它的平衡杆长方向的各截面均用它的平衡位置位置x标记标记.u 在任一时刻在任一时刻t，此截面相对于平，此截面相对于平衡位置的位移为衡位置的位移为u(x,t).30P(x,t)为单位面积所受为单位面积所受的弹性力的弹性力(应力应力)，沿，沿x 方向为正。方向为正。2、通过截面、通过截面x+dx，受到弹性力，受到弹性力P(x+dx,t)S1、通过截面、通过截面x，受到弹性力，受到弹性力P(x,t)Su 在杆中隔离出一小段在杆中隔离出一小段(x,x+dx)，分析受力，分析受力:31因此因此,根据根据Newton第二定律，就得到第二定律，就得到如果略去垂直杆长方向的形变如果略去垂直杆长方向的形变,根据根据Hooke定律，应力定律，应力P与应变与应变 成正比成正比.若杆的密度为若杆的密度为，则，则P(x,t)为单位面积所受的弹性力为单位面积所受的弹性力(应力应力)，沿，沿x 方向为正。方向为正。32比例系数比例系数Y称为杆的杨氏模量称为杆的杨氏模量(Youngs modulus)。这样，就。这样，就得到杆的得到杆的纵振动方程纵振动方程33杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同，但它们满足的偏杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同，但它们满足的偏微分方程的形式却完全一样，这一类方程统称为微分方程的形式却完全一样，这一类方程统称为波动方程。波动方程。杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程完全一样，只是其中杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程完全一样，只是其中 应是杆的单位长度上单位横截面积所受纵向外力。应是杆的单位长度上单位横截面积所受纵向外力。其中其中3435(五五)流体力学与声学问题流体力学与声学问题流体力学中研究的物理量是流体的流动速度流体力学中研究的物理量是流体的流动速度v、压强、压强p和密度和密度。对于声波在空气中的传播，相应地要研究空气质点在平衡位置对于声波在空气中的传播，相应地要研究空气质点在平衡位置附近的振动速度附近的振动速度v、空气的压强、空气的压强p和密度和密度。物体的振动引起周。物体的振动引起周围空气压强和密度的变化，使空气中形成疏密相间的状态，这围空气压强和密度的变化，使空气中形成疏密相间的状态，这种疏密相间的状态向周围的传播形成声波。种疏密相间的状态向周围的传播形成声波。记空气处于平衡状态是的压强和密度分别为记空气处于平衡状态是的压强和密度分别为p0、0，并把声，并把声波中的波中的空气密度相对变化量记为空气密度相对变化量记为s36假设，声振动不过分剧烈、空气看作没有粘性的理想流体、声假设，声振动不过分剧烈、空气看作没有粘性的理想流体、声波的传播过程为绝热过程，在不受外力的情况下，可导出声波波的传播过程为绝热过程，在不受外力的情况下，可导出声波方程方程(推导略推导略)为为要研究的物理量要研究的物理量：密度的相对变化量：密度的相对变化量被研究的物理量遵循哪些物理规律被研究的物理量遵循哪些物理规律：理想流体运动方程、连续：理想流体运动方程、连续性方程、绝热过程的物态方程可以导出声波方程性方程、绝热过程的物态方程可以导出声波方程(推导略推导略)37如果在声波传播的过程中如果在声波传播的过程中,空气是无旋的空气是无旋的,即即由于对任何存在二阶偏导数的标量函数由于对任何存在二阶偏导数的标量函数 ,有有 .总可以找到一个标量函数总可以找到一个标量函数 ,u称为称为速度势速度势.进而可得进而可得u遵从遵从为空气定压比热与定容比热的比值。为空气定压比热与定容比热的比值。38(六六)电磁波方程电磁波方程利用电磁场的利用电磁场的Maxwell方程组的微分形式可导出真空中的电磁波方程组的微分形式可导出真空中的电磁波方程，在国际单位制中，方程为方程，在国际单位制中，方程为的声波方程为的声波方程为394041(七七)扩散方程扩散方程2.被研究的物理量遵循哪些物理规律被研究的物理量遵循哪些物理规律：扩散的原因扩散的原因：浓度不均匀。：浓度不均匀。42dzxyzdxdy(x,y,z)(x+dx,y+dy,z+dz)分量形式：分量形式：43v x方向方向.左表面流入的流量左表面流入的流量 右表面流出的流量右表面流出的流量 净流入流量净流入流量v 同理沿同理沿y,z方向净流入量分别为方向净流入量分别为44根据粒子数守恒定律，如果平行六面体中没有源和汇根据粒子数守恒定律，如果平行六面体中没有源和汇.则单位时间内增加的粒子数则单位时间内增加的粒子数=单位时间内单位时间内x,y,z净流入的粒子数净流入的粒子数.即即45如果扩散系数在空间是均匀的如果扩散系数在空间是均匀的,则则4647有源或汇的扩散问题有源或汇的扩散问题(1)单位时间单位体积中产生的粒子数为单位时间单位体积中产生的粒子数为F(x,y,z,t),与浓度无关与浓度无关(2)(3)(2)单位时间单位体积中产生的粒子数与浓度单位时间单位体积中产生的粒子数与浓度u有关有关v 如如235U原子核的链式反应时，中子浓度增值的时间变化率为原子核的链式反应时，中子浓度增值的时间变化率为 。则扩散方程为。则扩散方程为 v放射性衰变现象中，浓度减少的时间变化率为放射性衰变现象中，浓度减少的时间变化率为 则扩散方程为则扩散方程为48物理定律：物理定律：能量守恒定律和热传导的Fourier定律热传导的热传导的Fourier定律定律：若沿x方向有一定的温度差，在x方向也就有一定的热量传递。从宏观上看，单位时间内通过从宏观上看，单位时间内通过垂直垂直x方向的单位面积的热量方向的单位面积的热量q与温度的空间变与温度的空间变化率成正比。化率成正比。q-热流密度，单位时间单位面积流过的热量；k-热导率 三维空间三维空间(八八)热传导方程热传导方程49要研究的物理量要研究的物理量：温度在空间的分布和随时间的变化：温度在空间的分布和随时间的变化被研究的物理量遵循哪些物理规律被研究的物理量遵循哪些物理规律：热传导定律即傅里叶定律：热传导定律即傅里叶定律u 热传导研究的是温度热传导研究的是温度u在空间中的分布和在时间中的变化在空间中的分布和在时间中的变化 u(x,y,z,t).u 热传导的原因：温度不均匀。热传导的原因：温度不均匀。u 温度不均匀的程度：温度梯度温度不均匀的程度：温度梯度u 热传导的强弱用热流强度热传导的强弱用热流强度k表示：单位时间通过单位面积表示：单位时间通过单位面积 的热量的热量50 没有热源和热汇的一维和三维热传导方程没有热源和热汇的一维和三维热传导方程 有热源存在的一维和三维热传导方程有热源存在的一维和三维热传导方程5152输运方程输运方程53(九九)稳定浓度分布稳定浓度分布对于对于如果浓度不随时间变化，则有如果浓度不随时间变化，则有如果没有源，即如果没有源，即F=0，则有，则有(7.1.39)和和(7.1.30)是是浓度的稳定分布方程浓度的稳定分布方程。54(十十)稳定温度分布稳定温度分布对于对于如果浓度不随时间变化，则有如果浓度不随时间变化，则有如果没有源，即如果没有源，即F=0，则有，则有55(十一十一)静电场静电场56稳定场方程稳定场方程:上面导出的数学物理方程分别属于三种类型：波动方上面导出的数学物理方程分别属于三种类型：波动方程程(一、二、五一、二、五)、输运方程、输运方程(七、八七、八)、稳定场方程、稳定场方程(九、十、十一九、十、十一)。57例题：例题：1、用均质材料做细圆锥杆，试推导它的纵振动方程。、用均质材料做细圆锥杆，试推导它的纵振动方程。思路：先将细圆锥体一端固定，比如将锥顶固定，设为原点，思路：先将细圆锥体一端固定，比如将锥顶固定，设为原点，取圆锥体的轴为取圆锥体的轴为x轴。因为是杆的纵振动，设想将圆锥体的粗轴。因为是杆的纵振动，设想将圆锥体的粗端沿端沿x轴方向用力拉长，突然放手后，任其自由振动，称此振轴方向用力拉长，突然放手后，任其自由振动，称此振动为圆锥体动为圆锥体(抽象为杆抽象为杆)的纵振动。泛定方程是一维波动方程，的纵振动。泛定方程是一维波动方程，建立方程应用两个定律：虎克定律、牛顿第二定律。建立方程应用两个定律：虎克定律、牛顿第二定律。解：设圆锥体长为解：设圆锥体长为L。建立泛定方程：。建立泛定方程：(1)所研究的物理量是所研究的物理量是纵向位移纵向位移u；(2)运用的物理定律：虎克定律、牛顿第二定律；运用的物理定律：虎克定律、牛顿第二定律；(3)采用的方法：微元法。采用的方法：微元法。5859设圆锥体粗端横截面的直径为设圆锥体粗端横截面的直径为r1，x处的横截面的直径为处的横截面的直径为r(x)。在纵振动中，受力情况如图所示：在纵振动中，受力情况如图所示：微元微元B端受力方向向左，大小为端受力方向向左，大小为微元微元C端受力方向向右，大小为端受力方向向右，大小为其中其中Y是圆锥体材料的杨氏模量，是圆锥体材料的杨氏模量，s(x)是圆锥体是圆锥体x处的横截面积。处的横截面积。dx很小，不妨认为很小，不妨认为60根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有612、均质导线的电阻率为、均质导线的电阻率为r，通有均匀分布的直流电，电流密度为，通有均匀分布的直流电，电流密度为j，试推导导线内的热传导方程。，试推导导线内的热传导方程。习题习题6解：坐标如图所示解：坐标如图所示思路：思路：研究的物理量：温度研究的物理量：温度运用的物理定律：热传导定律、能量守恒定律、焦耳运用的物理定律：热传导定律、能量守恒定律、焦耳-楞次定律楞次定律方法：微元法方法：微元法62设导线横截面积为设导线横截面积为S，热量沿着导线长度方向，热量沿着导线长度方向(x轴正向轴正向)传播，传播，由于长度大于粗细，所以抽象为一维问题处理，取由于长度大于粗细，所以抽象为一维问题处理，取x轴方向与轴方向与电流和热传导方向相同。电流和热传导方向相同。根据热传导定律，根据热传导定律，dt时间内时间内流入体积元的热量是流入体积元的热量是流出体积元的热量是流出体积元的热量是故流入体积元的净热量是故流入体积元的净热量是63根据焦耳根据焦耳-楞次定律，在楞次定律，在dt时间内，电流产生的热为时间内，电流产生的热为根据能量守恒定律，根据能量守恒定律，体积元中的热量变化体积元中的热量变化=净流入的热量净流入的热量Q1+电流产生的热量电流产生的热量Q264