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1复变函数与积分变换复习 考试安排 考试安排考试安排考试时间考试时间:一一、2010 年年 11 月月 29 日日 晚上晚上 7:00 9:30考试地点考试地点:(略略)二二、答疑时间答疑时间:2010 年年 11 月月 26 日日 上午上午 下午下午 晚上晚上 27 日日 上午上午 下午下午 晚上晚上 28 日日 上午上午 下午下午 晚上晚上 答疑地点答疑地点:科技楼南楼科技楼南楼 813 室室 计算数学系计算数学系 29 日日 上午上午 下午下午 晚上晚上 2复变函数与积分变换复习 主要内容 主要内容主要内容 复数的几种表示及复数的几种表示及运算运算；区域，曲线；初等复变函数。区域，曲线；初等复变函数。Cauchy-Riemann 方程：方程：(1)判断可导与解析，求导数；判断可导与解析，求导数；Fourier 变换的概念变换的概念,函数函数，卷卷积。Cauchy 积分公式，积分公式，Cauchy 积分定理，高阶导数公式。积分定理，高阶导数公式。Laurent 展式展式。留数：留数：(1)计算闭路积分计算闭路积分；保形映射：保形映射：(1)求象区域求象区域；利用利用 Laplace 变换求解常微分方程变换求解常微分方程(组组)。(2)构造解析函数构造解析函数。(2)计算定积分计算定积分。(2)构造保形映射构造保形映射。3复变函数与积分变换复习 主要内容 一一、构造解析函数构造解析函数问题问题 已知实部已知实部 u，求虚部，求虚部 v(或者或者已知虚部已知虚部 v，求实部，求实部 u)，使使 解析，且满足指定的条件。解析，且满足指定的条件。注意注意 必须首先检验必须首先检验 u 或或 v 是否为调和函数是否为调和函数。方法方法 偏积分法偏积分法 全微分法全微分法 (略略)4复变函数与积分变换复习 主要内容 方法方法 偏积分法偏积分法一一、构造解析函数构造解析函数(仅考虑已知实部仅考虑已知实部 u 的情形的情形)(2)将将(A)式的两边对变量式的两边对变量 y 进行进行(偏偏)积分得：积分得：其中，其中，已知，而已知，而 待定待定。(3)将将(C)式代入式代入(B)式，求解即可得到函数式，求解即可得到函数(1)由由 u 及及 C-R 方程方程得到得到待定函数待定函数 v的两个偏导数：的两个偏导数：(A)(B)(C)5复变函数与积分变换复习 主要内容 二二、将函数展开为将函数展开为洛朗级数洛朗级数 根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。两个重要的已知展开式两个重要的已知展开式2.间接展开法间接展开法1.直接展开法直接展开法 (略略)6复变函数与积分变换复习 主要内容 二二、将函数展开为将函数展开为洛朗级数洛朗级数r1r2r3都需要根据函数的奇点位置，将复平面都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定或者题目指定无论是无论是直接展开法直接展开法还是还是间接展开法间接展开法，在求展开式之前，在求展开式之前，注意注意的展开区域的展开区域 )分为若干个解析环。分为若干个解析环。比如比如 设函数的奇点为设函数的奇点为展开点为展开点为则复平面则复平面被分为四个解析环：被分为四个解析环：7复变函数与积分变换复习 主要内容 则则 特别，若特别，若 若若 为为 的可去奇点，则的可去奇点，则 法则法则 若若 为为 的本性奇点，则在的本性奇点，则在 的邻域内展开为洛朗级数。的邻域内展开为洛朗级数。三、利用留数计算闭路积分三、利用留数计算闭路积分 1.计算留数计算留数 若若 为为 的的 m 级极点，则级极点，则 法则法则 8复变函数与积分变换复习 主要内容 注意注意 只需计算积分曲线只需计算积分曲线 C 所围成的有限区域内奇点的留数。所围成的有限区域内奇点的留数。三、利用留数计算闭路积分三、利用留数计算闭路积分 2.计算闭路积分计算闭路积分 9复变函数与积分变换复习 主要内容 其中，其中，三、利用留数计算闭路积分三、利用留数计算闭路积分 2.计算闭路积分计算闭路积分 10复变函数与积分变换复习 主要内容 要求要求 R(u,v)是是 u,v 的有理函数。的有理函数。四、计算定积分四、计算定积分(2)1.方法方法 (1)令令 则则其中，其中，是是 在在 内内的孤立奇点。的孤立奇点。11复变函数与积分变换复习 主要内容 四、计算定积分四、计算定积分要求要求(1)P(x),Q(x)为多项式，为多项式，(2)分母分母 Q(x)的次数比分子的次数比分子 P(x)的次数至少的次数至少高二次高二次,(3)分母分母 Q(x)无实零点。无实零点。2.设设 方法方法 则则 其中，其中，是是 在上半平面内在上半平面内的孤立奇点。的孤立奇点。12复变函数与积分变换复习 主要内容 四、计算定积分四、计算定积分要求要求(1)P(x),Q(x)为多项式，为多项式，(2)分母分母 Q(x)的次数比分子的次数比分子 P(x)的次数至少的次数至少高一次高一次,(3)分母分母 Q(x)无实零点。无实零点。3.设设 方法方法 则则 其中，其中，是是 在上半平面内在上半平面内的孤立奇点。的孤立奇点。13复变函数与积分变换复习 主要内容 3.四、计算定积分四、计算定积分要求要求(1)P(x),Q(x)为多项式，为多项式，(2)分母分母 Q(x)的次数比分子的次数比分子 P(x)的次数至少的次数至少高一次高一次,(3)分母分母 Q(x)无实零点。无实零点。特别特别 14复变函数与积分变换复习 主要内容 (1)预处理预处理工具：工具：几种简单的分式映射、幂函数等几种简单的分式映射、幂函数等。五、构造保形映射五、构造保形映射目标：目标：使边界至多由两段圆弧使边界至多由两段圆弧(或直线段或直线段)构成。构成。(2)将区域映射为角形域或者带形域将区域映射为角形域或者带形域 方法：方法：将边界的一个交点将边界的一个交点 映射为映射为；z1 另一个另一个(交交)点点 映射为映射为 0 。z2 工具：工具：步骤步骤(一般一般)15复变函数与积分变换复习 主要内容 (3)将角形域或者带形域映射为上半平面将角形域或者带形域映射为上半平面步骤步骤(4)将上半平面映射为单位圆将上半平面映射为单位圆(一般一般)工具：工具：(对于角形域对于角形域)(对于带形域对于带形域)工具：工具：(无附加条件无附加条件)(由附加条件确定由附加条件确定 )五、构造保形映射五、构造保形映射16复变函数与积分变换复习 主要内容 六、求解常微分方程六、求解常微分方程(组组)步骤步骤 得到象函数得到象函数求求解解微分方程微分方程(组组)象函数的象函数的代数方程代数方程(组组)Laplace正变换正变换微分方程微分方程(组组)的解的解Laplace逆变换逆变换(1)将将微分方程微分方程(组组)化为象函数的代数方程化为象函数的代数方程(组组)；(2)求解代数方程得到象函数；求解代数方程得到象函数；(3)求求 Laplace 逆变换得到微分方程逆变换得到微分方程(组组)的解。的解。工具工具17复变函数与积分变换复习 主要内容 几个常用函数的几个常用函数的 Laplace 变换变换 六、求解常微分方程六、求解常微分方程(组组)18复变函数与积分变换复习 主要内容 已知复数的实部与虚部，求模与已知复数的实部与虚部，求模与(主主)辐角辐角。七、其它七、其它 求复数的方根求复数的方根 求导公式求导公式 对数函数对数函数 幂函数幂函数 19复变函数与积分变换复习 主要内容 七、其它七、其它 柯西积分定理柯西积分定理函数函数 在在 D 内解析，内解析，在在边界边界 C 上连续，上连续，则则 柯西积分公式柯西积分公式函数函数 在在 D 内解析，内解析，在在边界边界 C 上连续，上连续，则则 高阶导数公式高阶导数公式 函数函数 在在 D 内解析，内解析，在在边界边界 C 上连续，上连续，则则 20复变函数与积分变换复习 主要内容 七、其它七、其它 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径(1)比值法比值法 如果如果则收敛半径为则收敛半径为(2)根值法根值法如果如果则收敛半径为则收敛半径为函数函数 在在 点展开为泰勒级数，其收敛半径等于点展开为泰勒级数，其收敛半径等于从从 点到点到 的最近一个奇点的最近一个奇点 的距离。的距离。(3)求保形映射下的象区域求保形映射下的象区域(1)分式映射、幂函数以及指数函数的映射特点。分式映射、幂函数以及指数函数的映射特点。(2)保形映射的分解与复合。保形映射的分解与复合。21复变函数与积分变换复习 主要内容 单位冲激函数单位冲激函数 (2)对称性质对称性质 (1)筛选性质筛选性质 (3)重要公式重要公式 卷积与卷积定理卷积与卷积定理 七、其它七、其它 22复变函数与积分变换复习 主要内容 轻松一下吧