12-4幂级数.ppt
第四节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 幂级数 第十二章 下页提示 由定义在区间I上的函数列un(x)所构成的表达式 u1(x)u2(x)u3(x)un(x)一、函数项级数的概念v函数项级数u1(x)u2(x)u3(x)un(x)xIv收敛点与发散点 提示 对于每一个确定的值x0I 函数项级数成为常数项级数 u1(x0)u2(x0)u3(x0)un(x0)这个常数项级数或者收敛或者发散 使函数项级数收敛的点x0称为函数项级数的收敛点;使函数项级数发散的点x0称为函数项级数的发散点 收敛点的全体称为收敛域 发散点的全体称为发散域 下页v函数项级数的和函数 v函数项级数的部分和 和函数的定义域就是级数的收敛域 在收敛域上 函数项级数un(x)的和是x的函数s(x)它称为函数项级数un(x)的和函数 并写成s(x)un(x)函数项级数un(x)的前n项的部分和记作sn(x)即 sn(x)u1(x)u2(x)u3(x)un(x)在收敛域上有sn(x)s(x)(n)注下页v函数项级数的余项 函数项级数un(x)的余项记为rn(x)它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn(x)s(x)sn(x)在收敛域上有rn(x)0(n)v函数项级数的和函数 v函数项级数的部分和 和函数的定义域就是级数的收敛域 在收敛域上 函数项级数un(x)的和是x的函数s(x)它称为函数项级数un(x)的和函数 并写成s(x)un(x)函数项级数un(x)的前n项的部分和记作sn(x)即 sn(x)u1(x)u2(x)u3(x)un(x)在收敛域上有sn(x)s(x)(n)下页二、幂级数及其收敛性 在函数项级数中 形如 a0a1xa2x2 anxn 的级数称为幂级数 其中常数ai(i1,2,)叫做幂级数的系数 v幂级数1xx2x3 xn 幂级数举例 说明 幂级数的一般形式是 a0a1(xx0)a2(xx0)2 an(xx0)n 这种形式经变换txx0可化为上述定义形式下页 幂级数 1xx2x3 xn 是公比为x的几何级数 因此它的收敛域为(1 1)它在|x|1时收敛 在|x|1时发散 在收敛域内有 下页二、幂级数及其收敛性 在函数项级数中 形如 a0a1xa2x2 anxn 的级数称为幂级数 其中常数ai(i1,2,)叫做幂级数的系数 v幂级数幂级数举例 发 散发 散收 敛收敛 发散定理定理 1.(Abel1.(Abel定理定理 )若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切 x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证证:设收敛,则必有于是存在常数 M 0,使下页un(x)是1)(nnxu的简便记法当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的 x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕下页 如果幂级数anxn当xx0(x00)时收敛 则适合不等式|x|x0|的一切x使幂级数anxn发散 如果幂级数anxn不是仅在点x0一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数R存在 使得 当|x|R时 幂级数发散;当xR与xR时 幂级数可能收敛也可能发散 推论 下页定理定理 1.(Abel1.(Abel定理定理 )如果幂级数anxn不是仅在点x0一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数R存在 使得 当|x|R时 幂级数发散;当xR与xR时 幂级数可能收敛也可能发散 v收敛半径与收敛区间 v推论 正数R通常叫做幂级数anxn的收敛半径 开区间(R R)叫做幂级数anxn的收敛区间 注 若幂级数只在x0收敛 则规定收敛半径R0 若幂级数在(,)内收敛 则规定收敛半径R 下页 如果幂级数anxn不是仅在点x0一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数R存在 使得 当|x|R时 幂级数发散;当xR与xR时 幂级数可能收敛也可能发散 v收敛半径与收敛区间 v推论 正数R通常叫做幂级数anxn的收敛半径 开区间(R R)叫做幂级数anxn的收敛区间 幂级数anxn的收敛域是以下区间之一 (R,R)、R,R)、(R,R、R,R 下页下页v定理2(收敛半径的求法)解 提示下页因此 收敛域为(1,1 解 v定理2(收敛半径的求法)解 因为 所以收敛半径为R 从而收敛域为(,)下页v定理2(收敛半径的求法)解 因为 所以收敛半径为R0 即级数仅在x0处收敛下页v定理2(收敛半径的求法)提示 此级数缺少奇次幂的项 前述求收敛半径的方法不能直接应用提示 解 这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径 当4|x|21即|x|1即|x|时级数发散 下页这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径 当4|x|21即|x|1即|x|时级数发散 下页 解 解 所以收敛半径R2 所以原级数的收敛域为1,3)即2x12 或1x3 因此收敛域为2t2 首页下页 三、幂级数的运算v幂级数的运算 设幂级数anxn及bnxn分别在区间(R,R)及(R,R)内收敛 则在(R,R)与(R,R)中较小的区间内有减法 加法 (a0bna1bn1 anb0)xn (a0b2a1b1a2b0)x2 乘法 (anxn)(bnxn )(anbn)xn (anbn)xn anxnbnxn anxnbnxn a0b0(a0b1a1b0)x 下页 性质1 幂级数anxn的和函数s(x)在收敛域I上连续 v幂级数的和函数的性质 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 性质2 幂级数anxn的和函数s(x)在收敛域I上可积 并且有逐项积分公式 性质3 幂级数anxn的和函数s(x)在收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 下页提示 解 求得幂级数的收敛域为1 1)显然S(0)1 因为 提示 下页 解 求得幂级数的收敛域为1 1)显然S(0)1 因为 下页内容小结内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.下页2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.下页P244 1 1、3、5、7、9 2 ；3；41、3；5作业结束
