数字信号处理6.4双线性变换法.ppt

IIR数字滤波器设计的基本思想数字滤波器设计的基本思想模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器设计模拟域频率变换模拟域频率变换脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法利用利用MATLAB设计设计IIR DF双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法 问题的提出问题的提出 双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理 双线性变换法设计双线性变换法设计DF的的步骤步骤双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法问题的提出问题的提出如何将模拟滤波器转变为数字滤波器如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?1.1.脉冲响应不变法脉冲响应不变法脉冲响应不变法脉冲响应不变法2.2.双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法 p,s p,sH(s)H(z)频率频率变换变换设计模拟设计模拟滤波器滤波器AF到到DF的转换的转换双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法回回 顾顾 内内 容容 脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的优缺点 缺点：缺点：缺点：缺点：存在频谱混叠，故不能用存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设脉冲响应不变法设 计计高通、带阻高通、带阻等等滤波器。滤波器。优点：优点：优点：优点：1 1、数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性 =T T 2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位脉冲响应，时域特性逼近好。的单位脉冲响应，时域特性逼近好。双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理 和和和和 的关系的关系的关系的关系双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理 稳定性分析稳定性分析稳定性分析稳定性分析令令s=+j，则有，则有双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理 稳定性分析稳定性分析稳定性分析稳定性分析1)1)0,0,|z|0,0,|z|1S域虚轴映射到域虚轴映射到Z域单位圆上域单位圆上S域右半平面映射到域右半平面映射到Z域单位圆外域单位圆外因果因果因果因果、稳定的稳定的稳定的稳定的AFAF系统映射为因果系统映射为因果系统映射为因果系统映射为因果、稳定的稳定的稳定的稳定的DFDF系统系统系统系统双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理 双线性变换法的优缺点双线性变换法的优缺点双线性变换法的优缺点双线性变换法的优缺点 缺点：缺点：缺点：缺点：频率转换非线性（频率转换非线性（频率转换非线性（频率转换非线性（幅度响应不是常数时幅度响应不是常数时会产生幅度失真）会产生幅度失真）优点：优点：优点：优点：无混叠无混叠双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法设计双线性变换法设计DF的的步骤步骤1.1.将数字滤波器的频率指标将数字滤波器的频率指标 k 转换为转换为 模拟滤波器的频率指标模拟滤波器的频率指标 k 2.由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3.利用双线性变换法，将利用双线性变换法，将H(s)转换转换H(z)。双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法设计双线性变换法设计DF的的步骤步骤 p,s p,sH(s)H(z)设计模拟设计模拟滤波器滤波器双线性变换双线性变换numd,dend=bilinear(num,den,Fs)numd,dend=bilinear(num,den,Fs)num,dennum,den：AF分子、分母多项式的系数向量分子、分母多项式的系数向量Fs：抽样频率：抽样频率numd,dendnumd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量分子、分母多项式的系数向量利用利用MATLAB例：例：例：例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个个3dB截频为截频为 p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的设计的DF比较。比较。解：解：解：解：设双线性变换中的参数为设双线性变换中的参数为T(1)将将DF的频率指标转换为的频率指标转换为AF的频率指标的频率指标(2)设设计计3dB截截频频为为 p的的一一阶阶BW型型模模拟拟低低通通滤滤波波器器，即即N=1,c=p故故例：例：例：例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个个3dB截频为截频为 p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的设计的DF比较。比较。解：解：解：解：设双线性变换中的参数为设双线性变换中的参数为T(3)用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器 结论：结论：结论：结论：参数参数T的取值和最终的设计结果无关。的取值和最终的设计结果无关。为简单起见一般取为简单起见一般取T=2 例：例：例：例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个个3dB截频为截频为 p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的设计的DF比较。比较。解：解：解：解：双线性变换法设计的双线性变换法设计的DF的系统函数为的系统函数为脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为的系统函数为取取 p=0.6p=0.6p，令，令z=ej ，可分别获得两者的幅度响应，可分别获得两者的幅度响应例：例：例：例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个个3dB截频为截频为 p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的设计的DF比较。比较。00.6100.71Normalized frequencyAmplitude脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法 p=0.6p=0.6p 脉冲响应不变法存在频脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的谱混叠，所设计的DF不满不满足给定指标。而双线性变足给定指标。而双线性变换法不存在频谱混叠，所换法不存在频谱混叠，所设计的设计的DF满足给定指标。满足给定指标。3dB3dB例：例：例：例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个个3dB截频为截频为 p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的设计的DF比较。比较。H双双(z)和和H脉脉(z)幅度响应比较的幅度响应比较的MATLAB实现实现Wp=0.6*pi;b=1-exp(-Wp);b1=tan(Wp/2)*1 1;a=1-exp(-Wp);a1=1+tan(Wp/2)tan(Wp/2)-1;w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h),w/pi,(abs(h1);xlabel(Normalized frequency);ylabel(Amplitude);set(gca,ytick,0 0.7 1);set(gca,xtick,0 Wp/pi 1);grid;双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法例：例：例：例：利用利用AF-BW filter及脉冲响应不变法及脉冲响应不变法和双线性变换法和双线性变换法设设计一计一DLF，满足，满足 p=0.2p p,s=0.6p p,p 2dB,s 15dB 解：解：解：解：(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标将数字低通指标转换成模拟低通指标=/T.p=0.2p/p/T,s=0.6p/p/T,p 2dB,s 15dB(2)设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器（BW型）型）=2=0.8013/T双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法例：例：例：例：利用利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一及脉冲响应不变法设计一DLF，满足，满足 p=0.2p p,s=0.6p p,p 2dB,s 15dB 解：解：解：解：(3)将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 极点为极点为s1=(-0.5678+0.5654j)/T,s2=(-0.5678-0.5654j)/T 利用利用 可得可得DF的系统函数为的系统函数为例：例：例：例：利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 p=0.2p p,s=0.6p p,p 2dB,s 15dB 解：解：解：解：(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标，取将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2 p2dB,s15dB(2)设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器（BW型）型）=2=0.5851 解：解：解：解：(3)用用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 例：例：例：例：利用利用AF-BW filter及双线性变换法设计一及双线性变换法设计一DF，满足，满足 p=0.2p,s=0.6p,p 2dB,s 15dB 例：例：例：例：利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 p=0.2p p,s=0.6p p,p 2dB,s 15dB 将将双线性变换法与脉冲响应不变法所双线性变换法与脉冲响应不变法所设计设计DF的结果比较。的结果比较。双线性变换双线性变换 p=0.3945 s=15.0000脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法脉冲响应不变脉冲响应不变 p=1.1187 s=12.3628双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法非低通非低通IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 p,s p,sH(z)=/T脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法H(s)模拟频模拟频率变换率变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器复复频频率率变变换换 注意：注意：注意：注意：脉冲响应脉冲响应不变法不能设计不变法不能设计高通高通高通高通和和带阻带阻带阻带阻数字数字滤波器滤波器 方法一方法一方法一方法一双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法非低通非低通IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 方法二方法二方法二方法二 p,sH(z)=/T脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法数字频数字频率变换率变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器Z域域变换变换例：例：例：例：试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 p1=2.8113rad/s,p2=2.9880rad/s,p 1dB ,s1=2.9203rad/s,s2=2.9603rad/s,s 10dB 解解解解:脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。因此采用双线性变换法设计。(1)将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标 取取T=2，利用，利用得模拟带阻指标为得模拟带阻指标为 p1=6rad,p2=13rad,s1=9rad,s2=11rad,p 1dB,s 10dB 例：例：例：例：试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 p1=2.8113rad/s,p2=2.9880rad/s,p 1dB ,s1=2.9203rad/s,s2=2.9603rad/s,s 10dB 解解解解:(2)将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标 Ap 1dB,As 10dB 模拟带阻指标模拟带阻指标 p1=6rad,p2=13rad,s1=9rad,s2=11rad,p 1dB,s 10dB 例：例：例：例：试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 p1=2.8113rad/s,p2=2.9880rad/s,p 1dB ,s1=2.9203rad/s,s2=2.9603rad/s,s 10dB 解解解解:(3)设计原型设计原型BW型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器 p 1dB,s 10dB 原型模拟低通指标原型模拟低通指标原型模拟低通滤波器的系统函数为原型模拟低通滤波器的系统函数为 例：例：例：例：试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 p1=2.8113rad/s,p2=2.9880rad/s,p 1dB ,s1=2.9203rad/s,s2=2.9603rad/s,s 10dB 解解解解:(4)由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器 (5)由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器 双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法利用利用MATLAB实现实现IIR数字滤波器数字滤波器 确定数字滤波器的确定数字滤波器的确定数字滤波器的确定数字滤波器的阶数阶数阶数阶数及及及及3dB3dB截频截频截频截频WcWcN,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As)N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As)其中其中Wp,Ws为归一化角频率。为归一化角频率。例例 p=0.1p p,则则Wp=0.1 若为若为带通带通带通带通或或带阻带阻带阻带阻滤波器，则滤波器，则Wp=Wp1,Wp2;Ws=Ws1,Ws2 BW BW型数字滤波器型数字滤波器型数字滤波器型数字滤波器双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法利用利用MATLAB实现实现IIR数字滤波器数字滤波器 BW BW型数字滤波器型数字滤波器型数字滤波器型数字滤波器 确定确定确定确定DFDF系统函数系统函数系统函数系统函数分子、分母多项式分子、分母多项式分子、分母多项式分子、分母多项式 低通低通低通低通 num,den=butter(N,Wc)num,den=butter(N,Wc)高通高通高通高通 num,den=butter(N,Wc,num,den=butter(N,Wc,highhigh)带通带通带通带通 num,den=butter(N,Wc)num,den=butter(N,Wc)其中其中Wc=W1,W2 带阻带阻带阻带阻 num,den=butter(N,Wc,num,den=butter(N,Wc,stopstop)其中其中Wc=W1,W2双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法利用利用MATLAB实现实现IIR数字滤波器数字滤波器 CB I CB I型数字滤波器型数字滤波器型数字滤波器型数字滤波器 确定数字滤波器的确定数字滤波器的确定数字滤波器的确定数字滤波器的阶数阶数阶数阶数及参数及参数及参数及参数WcWcN,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As)N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As)DF DF系统函数系统函数系统函数系统函数分子、分母多项式分子、分母多项式分子、分母多项式分子、分母多项式的确定的确定的确定的确定 低通低通低通低通 num,den=cheby1(N,Ap,Wc)num,den=cheby1(N,Ap,Wc)高通高通高通高通 num,den=cheby1(N,Ap,Wc,num,den=cheby1(N,Ap,Wc,highhigh)带通带通带通带通 num,den=cheby1(N,Ap,Wc)num,den=cheby1(N,Ap,Wc)带阻带阻带阻带阻 num,den=cheby1(N,Ap,Wc,num,den=cheby1(N,Ap,Wc,stopstop)*带通带通、带阻带阻中中W=W1,W2双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法利用利用MATLAB实现实现IIR数字滤波器数字滤波器 CB II CB II型数字滤波器型数字滤波器型数字滤波器型数字滤波器 确定数字滤波器的确定数字滤波器的确定数字滤波器的确定数字滤波器的阶数阶数阶数阶数及参数及参数及参数及参数WcWcN,Wc=cheb2ord(Wp,Ws,Ap,As)N,Wc=cheb2ord(Wp,Ws,Ap,As)DF DF系统函数系统函数系统函数系统函数分子、分母多项式分子、分母多项式分子、分母多项式分子、分母多项式的确定的确定的确定的确定 低通低通低通低通 num,den=cheby2(N,As,Wc)num,den=cheby2(N,As,Wc)高通高通高通高通 num,den=cheby2(N,As,Wc,num,den=cheby2(N,As,Wc,highhigh)带通带通带通带通 num,den=cheby2(N,As,Wc)num,den=cheby2(N,As,Wc)带阻带阻带阻带阻 num,den=cheby2(N,As,Wc,num,den=cheby2(N,As,Wc,stopstop)*带通带通、带阻带阻中中W=W1,W2双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法利用利用MATLAB实现实现IIR数字滤波器数字滤波器 椭圆椭圆椭圆椭圆(C)(C)型数字滤波器型数字滤波器型数字滤波器型数字滤波器 确定数字滤波器的确定数字滤波器的确定数字滤波器的确定数字滤波器的阶数阶数阶数阶数及参数及参数及参数及参数WcWcN,Wc=ellipord(Wp,Ws,Ap,As)N,Wc=ellipord(Wp,Ws,Ap,As)DF DF系统函数系统函数系统函数系统函数分子、分母多项式分子、分母多项式分子、分母多项式分子、分母多项式的确定的确定的确定的确定 低通低通低通低通 num,den=ellip(N,Ap,As,Wc)num,den=ellip(N,Ap,As,Wc)高通高通高通高通 num,den=ellip(N,Ap,As,Wc,num,den=ellip(N,Ap,As,Wc,highhigh)带通带通带通带通 num,den=ellip(N,Ap,As,Wc)num,den=ellip(N,Ap,As,Wc)带阻带阻带阻带阻 num,den=ellip(N,Ap,As,Wc,num,den=ellip(N,Ap,As,Wc,stopstop)*带通带通、带阻带阻中中W=W1,W2模拟低通原型模拟低通原型(prototype)buttap cheb1ap besselapbuttap cheb1ap besselapellipap cheb2apellipap cheb2ap 频率变换频率变换 lp2lp lp2hp lp2lp lp2hp lp2bp lp2bs lp2bp lp2bs综合设计综合设计butter cheby1 cheby2 ellip besselfbutter cheby1 cheby2 ellip besselfMATLAB中中IIR设计的主要函数设计的主要函数IIR 滤波器最小阶数的计算滤波器最小阶数的计算buttord cheb1ord cheb2ord ellipordbuttord cheb1ord cheb2ord ellipord离散化离散化 bilinear bilinear impinvar impinvar例：例：例：例：利用利用MATLAB实现数字带阻滤波器实现数字带阻滤波器 p1=2.8113rad/s,p2=2.9880rad/s,Ap 1dB ,s1=2.9203rad/s,s2=2.9603rad/s,As 10dBWp=2.813,2.9880;Ws=2.9203,2.9603;Ap=1;As=10;N,Wc=buttord(Wp/pi,Ws/pi,Ap,As)numd,dend=butter(N,Wc,stop)运行结果运行结果N=2numd=0.9522,3.7327,5.5624,3.7327,0.9522dend=1.0000,3.8242,5.5601,3.6412,0.9067双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法例：例：例：例：利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 p=0.2p p,s=0.6p p,p 2dB,s 15dB%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance%DF BW LP specficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;T=2;Fs=1/T;%Sampling frequency(Hz)%Analog Butterworth specficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determine the order of AF filter and the 3-dB cutoff frequency N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s)%determine the AF-BW filternuma,dena=butter(N,wc,s)双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法例：例：例：例：利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 p=0.2p p,s=0.6p p,p 2dB,s 15dB%determine the DF filternumd,dend=bilinear(numa,dena,Fs)%plot the frequency responsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(0 1-50 0);grid;xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain,dB);%computer Ap As of the designed filterw=Wp Ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf(Ap=%.4fn,-20*log10(abs(h(1);fprintf(As=%.4fn,-20*log10(abs(h(2);双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法例：例：例：例：利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 p=0.2p p,s=0.6p p,p 2dB,s 15dB p=0.3945 s=15.0000双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理 和和和和 的关系的关系的关系的关系)2/tan(2=Tp)(jeH)(jHpsps双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理 原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统用梯形面积用梯形面积近似积分近似积分双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法 原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理将将H(z)和和H(s)比较可得比较可得