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第四讲随机变量及其分布本讲稿第一页，共三十八页回顾：离散型随机变量的概率函数回顾：离散型随机变量的概率函数（一）概率函数与概率分布（一）概率函数与概率分布1.定义：定义：取得这些值的概率分别为取得这些值的概率分别为即：即：称为离散型随机变量称为离散型随机变量X X 的的概率函数概率函数或分布律（列）。或分布律（列）。则：则：2.2.概率函数的性质概率函数的性质规范性：若随机变量规范性：若随机变量X X 只能取有限个值只能取有限个值 则则第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二页，共三十八页例例3-3-1 取得白球为止，求取球次数的概率分布。假定：取得白球为止，求取球次数的概率分布。假定：袋中有袋中有2 2个白球和个白球和3 3个黑球，每次从袋中任取个黑球，每次从袋中任取1 1个球，直至个球，直至 （1 1）取出的黑球不再放回去；取出的黑球不再放回去；（2 2）取出的黑球仍放回去。取出的黑球仍放回去。（1）设随机变量）设随机变量X 是取球次数，是取球次数，解解因此，所求概率分布列表为：因此，所求概率分布列表为：若随机变量若随机变量X X可能取可数无穷多个值，则可能取可数无穷多个值，则第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第三页，共三十八页（2）设随机变量）设随机变量Y 是取球次数，是取球次数，因此，所求概率分布为：因此，所求概率分布为：第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第四页，共三十八页例例3-3-2 在在n n=5=5的贝努里试验中，设事件的贝努里试验中，设事件A A在一次试验在一次试验中出现的概率为中出现的概率为p p,试求事件试求事件A A出现次数的分布列出现次数的分布列,并求并求于是，于是，x x的分布列为：的分布列为：第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第五页，共三十八页注意：注意：第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第六页，共三十八页记记X X为为n n次试验中事件次试验中事件A A发生的次数，则其概率函数为发生的次数，则其概率函数为 其中其中例如在例如在n n次独立重复的次独立重复的BernoulliBernoulli 试验中试验中,每次事件每次事件A A发生发生的概率为的概率为 p。在学习独立试验序列时我们已知，此称在学习独立试验序列时我们已知，此称二项分布二项分布二项分布二项分布.它含有两个参数它含有两个参数n n 和和p p ，记作记作B B(n n,p p)。记概率函数为记概率函数为1.二项分布二项分布一、典型的离散随机变量概率分布一一、典型的离散随机变量概率分布一第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第七页，共三十八页2.2.“0-10-1”分布分布(两点分布两点分布)设随机变量设随机变量 X X只能取两个数值只能取两个数值0 0和和1,1,而概率函数是而概率函数是于是，概率分布为于是，概率分布为通常称这种分布为称通常称这种分布为称0 0 1 1分布分布(或或两点分布两点分布).).3.3.几何分布几何分布几何分布几何分布第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第八页，共三十八页其中其中概率函数概率函数设随机变量设随机变量 X X 的取值范围为：的取值范围为：取得这些值的概率函数是：取得这些值的概率函数是：4.超几何分布超几何分布其中其中 n n,M M,N N 都是正整数都是正整数,n x N M.且且 n N,M N,x M,x n,第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第九页，共三十八页超几何分布含有三个参数，超几何分布含有三个参数，通常记作通常记作其概率函数还可记为其概率函数还可记为超几何分布应用超几何分布应用很广泛，例如检查产品的次品问题很广泛，例如检查产品的次品问题 设一批产品共有设一批产品共有 N N 个个,其中有其中有 M M 个次品个次品.从这批产品从这批产品中任取中任取 n n 个产品个产品，则则取出的取出的 n n 个产品中的次品数个产品中的次品数 X X服从超服从超几何分布几何分布从一批产品中任意取出从一批产品中任意取出n n个产品，可以有两种不同的方式：个产品，可以有两种不同的方式：（1 1）一次任意取出）一次任意取出n n个产品；个产品；第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第十页，共三十八页第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布（2 2）每次任意取出）每次任意取出一一个产品，取出的产品不再放回，个产品，取出的产品不再放回，连续取连续取n n个产品个产品.本讲稿第十一页，共三十八页第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布定理定理1地服从二地服从二项分布项分布B B(n n,p p),),即即 则当则当N N 时时,X X近似近似 设随机变量设随机变量XH(n,M,N),用二项分布计算超几何分布用二项分布计算超几何分布证证本讲稿第十二页，共三十八页第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第十三页，共三十八页例例4-3-1 10001000件产品中有件产品中有900900件正品，随机抽取件正品，随机抽取2020件检查，试求件检查，试求（1 1）恰有）恰有1818件正品的概率，（件正品的概率，（2 2）正品不超过）正品不超过1818件的概率件的概率第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第十四页，共三十八页第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第十五页，共三十八页例例4-3-2第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第十六页，共三十八页（二）典型的离散变量概率分布二：（二）典型的离散变量概率分布二：泊松泊松(Poisson)分布分布1.定义定义 设随机变量设随机变量 X 的可能取值是一切非负整数，的可能取值是一切非负整数，而概率函数而概率函数是是其中其中常数常数 0,此称此称泊松分布泊松分布(Poisson).2.泊松分布的意义：泊松分布的意义：泊松分布是泊松经过著名的泊松试验得出的成就。可用它描述许多实际泊松分布是泊松经过著名的泊松试验得出的成就。可用它描述许多实际问题的分布问题的分布.如：如：第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布泊松分布含有一个参数泊松分布含有一个参数 ,通常记作通常记作 P().如果如果 X服从服从泊松分布泊松分布 P(),则记为则记为 本讲稿第十七页，共三十八页 在大量试验中，小概率事件发生的次数可以近似地看作服从在大量试验中，小概率事件发生的次数可以近似地看作服从PoissonPoisson分布。分布。如：一段时间内电话用户对电话站的呼叫次数如：一段时间内电话用户对电话站的呼叫次数铸件上的疵点数铸件上的疵点数候车的旅客数候车的旅客数原子放射粒子数等原子放射粒子数等 除了实际问题的应用以外，泊松分布还可以近似计算许多其它除了实际问题的应用以外，泊松分布还可以近似计算许多其它分布，如二项分布分布，如二项分布3.泊松分布近似计算二项分布泊松分布近似计算二项分布定理定理定理定理2 2 2 2 服从服从泊松分布泊松分布P P(),),即即 其中其中=n np p.则当则当n n 时时,X X 近似近似 设随机变量设随机变量 X X B B(n n,p p),),第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第十八页，共三十八页证证(当当 n 充分大时充分大时)第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第十九页，共三十八页泊松分布的计算要用泊松分布表泊松分布的计算要用泊松分布表4.4.泊松分布表泊松分布表泊松分布表在教材后附录表泊松分布表在教材后附录表1 1第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十页，共三十八页例例4-3-3设一批产品共设一批产品共20002000个，个，其中有其中有4040个次品个次品。随机抽取随机抽取100100个样品，个样品，设随机变量设随机变量X X为次品数，求（为次品数，求（1 1）不放回抽样检查时）不放回抽样检查时X X 的概的概率分布；（率分布；（2 2）有放回抽样检查时）有放回抽样检查时X X的分布的分布 解解（1 1）若不放回）若不放回抽样抽样，XH(100,40,2000),即即这批产品的次品率为这批产品的次品率为第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十一页，共三十八页X X近似地服从泊松分布近似地服从泊松分布（2 2）若放回抽样，则相当于）若放回抽样，则相当于n=100n=100的独立试验的独立试验 XB(100,0.02),即即抽取的样品数抽取的样品数n n=100 =100 较大较大,第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十二页，共三十八页二、连续型随机变量及其概率分布二、连续型随机变量及其概率分布1.连续型随机变量产生的背景连续型随机变量产生的背景如何描述连续型随机变量如何描述连续型随机变量X X的概率分布呢？的概率分布呢？背景1：若样本空间为区域，则区域内任一点的概率为零若样本空间为区域，则区域内任一点的概率为零 背景2：第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十三页，共三十八页第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十四页，共三十八页2.概率的分布函数的定义：概率的分布函数的定义：是随机变量是随机变量X=X(w)X=X(w)的概率分布函数，简称分布函数或分布的概率分布函数，简称分布函数或分布证：证：3.区间上的概率分布：区间上的概率分布：第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十五页，共三十八页由于连续随机变量中点的概率为零，所以：由于连续随机变量中点的概率为零，所以：4.4.分布函数的性质：分布函数的性质：(3)定义在区间定义在区间a,b上的随机变量上的随机变量X的分布函数的分布函数F(x)第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十六页，共三十八页5.5.离散随机变量的分布函数定义：离散随机变量的分布函数定义：利用连续型随机变量的分布函数的定义可以定义离散型随利用连续型随机变量的分布函数的定义可以定义离散型随机变量的分布函数定义。请注意机变量的分布函数定义。请注意离散型随机变量的分布函数与离散型随机变量的分布函数与概率分布或与概率函数是不同的概念。概率分布或与概率函数是不同的概念。第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十七页，共三十八页其分布函数的图形是右连续的阶梯曲线（如下图）其分布函数的图形是右连续的阶梯曲线（如下图）第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十八页，共三十八页第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布1 本讲稿第二十九页，共三十八页例例4-4-1解：利用函数的解：利用函数的0 0，1 1、不减与无穷分段这三个性质判断、不减与无穷分段这三个性质判断第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第三十页，共三十八页例例4-4-2第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第三十一页，共三十八页已知已知求求X 的分布函数的分布函数FX(x)。P-1230.20.50.3X例例4-4-3第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第三十二页，共三十八页解解-11230第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第三十三页，共三十八页例例4-4-4第四讲第四讲 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第三十四页，共三十八页第四讲第四讲 连续函数随机变量及其概率分布连续函数随机变量及其概率分布例例4-4-54-4-5（19971997年数学一，年数学一，7 7分）分）从学校乘汽车到火车站的途中有从学校乘汽车到火车站的途中有3 3个交通岗，假设在各个交个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.4.0.4.设设X X为为途中遇到红灯的次数，求随机变量途中遇到红灯的次数，求随机变量X X的分布律和分布函数。的分布律和分布函数。本讲稿第三十五页，共三十八页第四讲第四讲 连续函数随机变量及其概率分布连续函数随机变量及其概率分布本讲稿第三十六页，共三十八页第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布二二.概率密度函数的概念概率密度函数的概念1.概率密度函数定义：概率密度函数定义：则比值则比值设随机变量设随机变量X 落在区间落在区间 上的上的概率为概率为:密度实际上是单位区密度实际上是单位区间上的概率间上的概率本讲稿第三十七页，共三十八页第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布2.概率密度的性质：概率密度的性质：本讲稿第三十八页，共三十八页