3.3.两条直线的交点与距离公式.ppt
3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.直线的交点与距离公式问题：如何根据两直线的方程系数之间的问题：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？关系来判定两直线的位置关系？对于两直线对于两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.(1)l1l2 A1B2-A2B1=0且且A1C2-A2C10(或或B1C2-B2C10).(2)l1l2 A1A2+B1B2=0.(3)l1与与l2重合重合 A1B2-A2B1=0且且A1C2-A2C1=0(或或B1C2-B2C1=0).平行平行重合重合相交相交无解无解无穷多解无穷多解唯一解唯一解解方程组解方程组直线直线21212121,llllllll方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系？置关系有何对应关系？例例1 1：求下列两条直线的交点：求下列两条直线的交点：l l1 1：3x+4y3x+4y2=02=0；l l2 2：2x+y+2=0.2x+y+2=0.例例2 2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程，直线方程，l l1 1：x x2y+2=02y+2=0，l l2 2：2x2xy y2=0.2=0.解：解方程组解：解方程组3x+4y2=02x+y+2=0l1与与l2的交点是的交点是M（-2，2）解：解方程组解：解方程组x2y+2=02xy2=0l1与与l2的交点是（的交点是（2，2）设经过原点的直线方程为设经过原点的直线方程为 y=k x把（把（2，2）代入方程，得）代入方程，得k=1，所求方程为，所求方程为y=xx=2y=2得得x=2y=2得得题型三题型三 综合问题综合问题例例3:求证求证:不论不论m取什么实数取什么实数,直线直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5总过总过某一定点某一定点.分析分析:由题意知由题意知,不论不论m取什么值取什么值,直线总是通过定点直线总是通过定点,也就是也就是说与说与m的取值无关的取值无关,因此可将方程变形为因此可将方程变形为m的方程的方程,令令m的系的系数为数为0,解方程组得出定点坐标解方程组得出定点坐标.证明证明:方法方法1:把原方程变形得把原方程变形得 (x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于此式对于m的任意实数都成立的任意实数都成立,x+2y-1=0,x+y-5=0.x=9,y=-4.即直线过定点即直线过定点(9,-4).例例3 3：求直线：求直线3x+2y3x+2y1=01=0和和2x2x3y3y5=05=0的交点的交点M M的坐标，的坐标，并证明方程并证明方程3x+2y3x+2y1+1+（2x2x3y3y5 5）=0=0（为任意常为任意常数）表示过数）表示过M M点的所有直线（不包括直线点的所有直线（不包括直线2x2x3y3y5=05=0）。）。证明：联立方程证明：联立方程3x+2y1=02x3y5=0oxy(1,-1)M解得：解得：x=1y=-1代入：代入：3x+2y1+（2x3y5）=0得得 0+0=0M点在直线上点在直线上结论：结论：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+（A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2）=0=0是过直线是过直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点的直线系方程。的交点的直线系方程。M（1，-1）即即例例4 4、判断下列各对直线的位置关系，如、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：果相交，求出交点的坐标：（1 1）l l1 1:x-y=0,l:x-y=0,l2 2:3x+3y-10=0;:3x+3y-10=0;（2 2）l l1 1:3x-y+4=0,l:3x-y+4=0,l2 2:6x-2y=0;:6x-2y=0;（3 3）l l1 1:3x+4y-5=0,l:3x+4y-5=0,l2 2:6x+8y-10=0;:6x+8y-10=0;例例5 5：求经过两条直线：求经过两条直线x+2yx+2y1=01=0和和2x2xy y7=07=0的交点，的交点，且垂直于直线且垂直于直线x+3yx+3y5=05=0的直线方程。的直线方程。解法一：解法一：解方程组解方程组x+2y1=0，2xy7=0得得x=3y=1这两条直线的交点坐标为（这两条直线的交点坐标为（3，-1）又又直线直线x+3y5=0的斜率是的斜率是1/3所求直线的斜率是所求直线的斜率是3所求直线方程为所求直线方程为y+1=3（x3）即）即 3xy10=0解法二：解法二：所求直线在直线系所求直线在直线系2x-y-7+（x+2y-1）=0中中经整理，可得（经整理，可得（2+）x+（21）y7=0 =32+21解得解得 =1/7因此，所求直线方程为因此，所求直线方程为3xy10=03.3.2 3.3.2 两点间的距离两点间的距离思考：已知平面上两点P1（x1,y1)，P2（x2,y2),如何求P1,P2的距离 P1P2？x xP P1 1P P2 2O Oy yQ QM M1 1N N1 1M M2 2N N2 2在直角P1QP2中，特别地，原点特别地，原点O（0，0）与任意一点）与任意一点P(x,y)的距离为的距离为例例1 1、已知点、已知点A A（-1-1，2 2），），B B（2 2，），在），在x x轴上求一点轴上求一点P P，使，使 ，并求，并求 的值。的值。例例2 2、证明平行四边形四条边的平方和等于两、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。条对角线的平方和。C(a+b,c)C(a+b,c)D(b,c)D(b,c)B(a,0)B(a,0)A(0,0)A(0,0)y yx x建立坐标系，建立坐标系，用坐标表示有用坐标表示有关的量。关的量。把代数运算结把代数运算结果果“翻译翻译”成成几何关系。几何关系。进行有关的代进行有关的代数运算。数运算。xyO 点点 到直线到直线 的距离：的距离：点到直线的距离点到直线的距离公式公式;3.3.3 点到直线的距离 当当A=0A=0或或B=0B=0时时,直线方程为直线方程为y=yy=y1 1或或x=xx=x1 1的形式的形式.QQxyox=x1P(x0,y0)yo y=y1(x0,y0)xP(x0,y1)(x1,y0)例例2 已知点已知点 ，求，求 的面积的面积解：如图，设解：如图，设 边上的高为边上的高为 ，则，则y1234xO-1123 边上的高边上的高 就是点就是点 到到 的距的距离离 边所在直线的方程为：边所在直线的方程为：即：即：点点 到到 的距离的距离因此，因此，解：解：例例2 已知点已知点 ，求，求 的面积的面积y1234xO-1123yxol2l1 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的的公垂线段公垂线段的长的长.3.3.4 两条平行直线间的距离：两条平行直线间的距离：例例7 7、求证：两条平行线、求证：两条平行线l l1 1:Ax+By+C:Ax+By+C1 1=0=0与与 l l2 2:Ax+By+C:Ax+By+C2 2=0=0的距离是的距离是QP例例2：求平行线求平行线2x-7y+8=0与与2x-7y-6=0的距离。的距离。Oyxl2:2x-7y-6=0l1:2x-7y+8=0 P(3,0)两平行线间的两平行线间的距离处处相等距离处处相等在在l2上任取一点，例如上任取一点，例如P(3,0)P到到l1的距离等于的距离等于l1与与l2的距离的距离直线到直线的距离转化为点到直线的距离直线到直线的距离转化为点到直线的距离2.2.两条平行线两条平行线Ax+By+CAx+By+C1 1=0=0与与Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0的距离是的距离是1.1.平面内一点平面内一点P(xP(x0 0,y,y0 0)到直线到直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离公式是的距离公式是当当A=0A=0或或B=0B=0时时,公式仍然成立公式仍然成立.小结小结注意用该公式时应先将两平行线的注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理的系数整理为对应相等的形式。为对应相等的形式。
