弦振动的势能.ppt

第三讲第三讲 弹性体振动学弹性体振动学本讲讨论：本讲讨论：1.弦的振动弦的振动 2.棒的振动棒的振动第二章第二章 弹性体振动学弹性体振动学分布参数系统分布参数系统质量在空间有一连续分布，且空间中某一部分质量本身还包含着弹性和阻尼性质。弹性体弹性体 具有上述性质物体成为弹性体。具有上述性质物体成为弹性体。理想弦：理想弦：具有一定质量，一定长度，性质柔顺的细具有一定质量，一定长度，性质柔顺的细丝或细绳用一定方式把它张紧，并以张力作为丝或细绳用一定方式把它张紧，并以张力作为弹性恢复力进行振动的弹性体。其自身劲度与弹性恢复力进行振动的弹性体。其自身劲度与张力相比很小。张力相比很小。2-1 弦的振动弦的振动一、弦的振动方程一、弦的振动方程弦的振动方式为横振动弦的振动方式为横振动根据牛顿第二定律方程得弦振动方程二、弦的振动方程的一般解二、弦的振动方程的一般解边界条件：设解形式为设解形式为得三、自由振动的一般解三、自由振动的一般解-弦振动的驻波解弦振动的驻波解1.用分离变量法 求解方程假设：得：即：根据边界条件：其解为：求得：A=0即如令：则：上式被称为：弦的固有频率弦的固有频率。因此，根据前面讨论可知：集中参数系统只有一个固有频率，但分布参数系统有多个固有频率。最后得方成的特征解最后得方成的特征解:=低次振动方式的振幅分布图低次振动方式的振幅分布图为为 n 次振动方式的波数次振动方式的波数波节位置：波腹位置：方程一般解：方程一般解：2.初始条件定常数取通解形式为：取通解形式为：设：则：于是弦的振动位移可以完全确定。得到：例题：（如图所示）（如图所示）求弦振动方程。求弦振动方程。解：初始条件为：根据初始条件求得：因此：振动方程确定振动方程确定四、弦振动的能量四、弦振动的能量动能为：势能为：即：弦的总能量：弦的总能量：根据：得：利用正余弦函数的正交性质：弦在初始时刻从外界获得的初能量等于振动所具有的总能量。2-2 棒的振动棒的振动讨论：讨论：棒中的振动方式：这里：一、棒的纵振动方程一、棒的纵振动方程E:杨氏模量二、棒的纵振动一般规律二、棒的纵振动一般规律一般解：棒在作纵振动时，边界可以呈多种形式，棒在作纵振动时，边界可以呈多种形式，因而有不同的振动方式。因而有不同的振动方式。例1两端固定的棒棒的总位移：边界条件：初始条件：由下式决定：例2两端自由的棒边界条件：棒的总位移：待定系数由初始条件确定。待定系数由初始条件确定。初始条件：例3一端自由一端固定的棒边界条件：初始条件：棒的总位移：待定系数由初始条件确定。待定系数由初始条件确定。例4一端自由一端有质量负载的棒初始条件：边界条件：棒的总位移：该式为：讨论：（2）（1）（3）y2=-x。则通过作图法，可以求得：简正频率为：总结：习 题