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解析几何计算机本讲稿第一页，共七十九页IVVIVVII0 xyVIIIIIIIIIz第一节第一节 空间解析几何初步知识空间解析几何初步知识本讲稿第二页，共七十九页一、空间直角坐标系的建立一、空间直角坐标系的建立1.空间直角坐标系 这样，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系O-XYZ,点O叫做坐标原点.ozxy过空间一定点O作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般有相同的长度单位，正方向符合“右手定则”本讲稿第三页，共七十九页2.坐标面.由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫xoy面.yoz面、zox面,它们将空间分成八个卦限.zIVVIVVII0 xyVIIIIIIIII图7-2本讲稿第四页，共七十九页空空间间直直角角坐坐标标系系共有一个原点共有一个原点,三个坐标轴三个坐标轴,三个坐标面三个坐标面,八个卦限八个卦限.本讲稿第五页，共七十九页二、点在空间直角坐标系中的坐标表示二、点在空间直角坐标系中的坐标表示.RQP (x,y,z)记:点M为M(x,y,z)OxyzMxyzM为空间一已知点过M作与坐标轴垂直的平面 在建立了空间直角坐标系后，空间中的点与三个有序实数在建立了空间直角坐标系后，空间中的点与三个有序实数构成的数组就有一一对应关系，进而可建立曲面方程，对曲面构成的数组就有一一对应关系，进而可建立曲面方程，对曲面几何性质的研究转化为对方程解析性质的研究。几何性质的研究转化为对方程解析性质的研究。本讲稿第六页，共七十九页(1)若点M在yoz面上,则 x=0;在zox面上,y=0;在xoy面上,z=0.(2)若点M在 x 轴上,则 y=z=0在 y 轴上,则 x=z=0在 z 轴上,则 x=y=0(3)各卦限点的坐标(+,+,+)(,+,+)(,+)(,)(+,)(+,+)(+,+,)(,+,)特别：本讲稿第七页，共七十九页三、空间两点间的距离三、空间两点间的距离M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间两点 d 2=|M1 M2|2=|M1N|2+|NM2|2=|P1 P2|2+|Q1 Q 2|2+|R1 R 2|2=|M1P|2+|PN|2+|NM2|2=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2 POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N本讲稿第八页，共七十九页空间两点的距离公式:特别:点M(x,y,z)到原点O(0,0,0)的距离本讲稿第九页，共七十九页四、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标四、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标1.起点在原点的向量OM设点 M(x,y,z)以 i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.r=OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC=xi+yj+zk称 OA、OB、OC分别是OM 在 x 轴,y 轴,z 轴上的分向量,而x,y,z,分别是OM 在三坐标轴上的投影,称为OM 的坐标.简记为 r=x,y,z,此称为向量r=OM的坐标表示式.zijkMoxyCABzyxN本讲稿第十页，共七十九页2.起点不在原点O的任一向量 a=M1M2设点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)a=M1M2=OM2 OM1=(x2 i+y2 j+z2 k)(x1 i+y1 j+z1 k)=(x2 x1)i+(y2 y1)j+(z2 z1)k (2)即 a=x2 x1,y2 y1,z2 z1 为向量a的坐标表示式记 ax=x2 x1,ay=y2 y1,az=z2 z1分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.zxyM1M2ao本讲稿第十一页，共七十九页五、向量的模与方向余弦的坐标表示式五、向量的模与方向余弦的坐标表示式.(1)方向角:向量a 与x,y,z 轴正向正向夹角,称为a 的方向角.(2)方向余弦:方向角的余弦 cos,cos,cos,称为方向余弦.(3)向量的模与方向余弦的坐标表达式故有 ax=|a|cos ay=|a|cos az=|a|cos设a=ax,ay,az,ayzx0MNP本讲稿第十二页，共七十九页得：(4)(5)本讲稿第十三页，共七十九页由(5)式可得cos2+cos2+cos2=1(6)设ao是与a同向的单位向量ao=cos,cos,cos(7)本讲稿第十四页，共七十九页例1.已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算 向量M1 M2的模,方向余弦和方向角.解:M1 M2=1,1,|M1 M2|=本讲稿第十五页，共七十九页一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念.1.定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:(1)S上任一点的坐标满足方程F(x,y,z)=0;(2)不在S上点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.F(x,y,z)=0 Sxyzo本讲稿第十六页，共七十九页 M0二、几种常见曲面的方程二、几种常见曲面的方程二、几种常见曲面的方程二、几种常见曲面的方程.1.球面考虑球心为M0(x0,y0,z0),半径为R的球面.即:(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2 =R2 (1)称方程(1)为球面的标准方程.M R特别:当球心在原点O(0,0,0)时,球面方程:x2+y2+z2 =R2 对于球面上任一点M(x,y,z),都有|M M0|2=R2.本讲稿第十七页，共七十九页xyzo2.柱面:例如:考虑方程x2+y2=R2所表示的曲面.在xoy面上,x2+y2=R2 表示以原点O为圆心,半径为R的圆.xoy面上的圆 x2+y2=R2 叫做柱面的准线.平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的母线.曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线L沿xoy面上的圆x2+y2=R2 移动而形成,称该曲面为圆柱面.olM(x,y,0)本讲稿第十八页，共七十九页(1)定义:平行于定直线并沿定曲线C移动直线 L 形成的轨迹叫做柱面.定曲线C叫做柱面的准线.动直线 L 叫做柱面的母线.本讲稿第十九页，共七十九页（2）柱面柱面本讲稿第二十页，共七十九页本讲稿第二十一页，共七十九页例2:方程 y2=2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面,它的准线是xoy面上的抛物线y2=2x,该柱面叫做抛物柱面.oxzyy2=2x本讲稿第二十二页，共七十九页3.旋转曲面(1)定义:以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫旋转曲面的轴.yxzooC本讲稿第二十三页，共七十九页（2）旋转曲面的方程旋转曲面的方程本讲稿第二十四页，共七十九页（2）圆锥面）圆锥面（1）球面）球面（3）旋转双曲面）旋转双曲面本讲稿第二十五页，共七十九页一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程设有两块曲面S1,S2,它们的方程依次为:S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0S1,S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此即为交线C的方程,称为空间曲线C的一般方程.(1)x y zo S1S2C第三节第三节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程本讲稿第二十六页，共七十九页例2:方程组表示怎样的曲线?解:方程 表示球心在原点O,半径为a的上半球面.方程 表示母线平行于z 轴的圆柱面.它的准线xOy面上的圆,圆心在点所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.Oxyz本讲稿第二十七页，共七十九页如图空间曲线如图空间曲线一般方程为一般方程为参数方程为参数方程为本讲稿第二十八页，共七十九页二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.x=x(t)y=y(t)(2)z=z(t)当给定 t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着 t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.本讲稿第二十九页，共七十九页 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面1.定义:关于x,y,z的二次方程:第四节第四节 二次曲面二次曲面ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0所表示的曲面,称为二次曲面.其中a,b,i,j 为常数.相应地平面被称为一次曲面。一次曲面。研究方法是采用平面截痕法.本讲稿第三十页，共七十九页2.几种常见二次曲面.(1)椭球面方程方程所表示的曲面所表示的曲面由方程可见：这说明椭球面完全包含在一个以原点O为中心的长方体内。其中a,b,c称为椭球面的半轴。本讲稿第三十一页，共七十九页 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：本讲稿第三十二页，共七十九页椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.本讲稿第三十三页，共七十九页椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.本讲稿第三十四页，共七十九页球面球面截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为本讲稿第三十五页，共七十九页（与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点设设原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.(2)椭圆抛物面:本讲稿第三十六页，共七十九页与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭圆变动时，这种椭圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 不相交不相交.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线本讲稿第三十七页，共七十九页与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.它的轴平行于它的轴平行于 轴轴顶点顶点（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.本讲稿第三十八页，共七十九页zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：本讲稿第三十九页，共七十九页特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.当当 变动时，这种圆的变动时，这种圆的中心中心都在都在 轴上轴上.本讲稿第四十页，共七十九页（与与 同号）同号）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设图形如下：图形如下：xyzo本讲稿第四十一页，共七十九页（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.本讲稿第四十二页，共七十九页单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.本讲稿第四十三页，共七十九页双叶双曲面双叶双曲面xyo返回返回本讲稿第四十四页，共七十九页本讲稿第四十五页，共七十九页本讲稿第四十六页，共七十九页一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程1.法向量:若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面 的法向量.注注:1 对平面,法向量n不唯一;2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.本讲稿第四十七页，共七十九页2.平面的点法式方程设平面过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量n=A,B,C.对于平面上任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOn M0 M=0而M0 M=x x0,y y0,z z0,得:A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)本讲稿第四十八页，共七十九页例1:求过点(2,3,0)且以 n=1,2,3为法向量的平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1 (x 2)2 (y+3)+3 (z 0)=0即:x 2y+3z 8=0 本讲稿第四十九页，共七十九页二、平面的一般方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n=A,B,C证:A,B,C不能全为0,不妨设A 0,则方程可以化为它表示过定点 ,且法向量为 n=A,B,C的平面.注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0 (2)称为平面的一般方程.本讲稿第五十页，共七十九页例3:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x 3y+4z 1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=2 3,42(x+1)3(y 2)+4(z 3)=0即:2x 3y+4z 4=0本讲稿第五十一页，共七十九页三、两平面的夹角三、两平面的夹角三、两平面的夹角三、两平面的夹角1.定义:两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.1n1n22若已知两平面方程是:1:A1x+B1y+C1z+D1=0法向量 n1=A1,B1,C12:A2x+B2y+C2z+D2=0法向量 n2=A2,B2,C2本讲稿第五十二页，共七十九页所以本讲稿第五十三页，共七十九页2.平面1与2 相互垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0平面1与2 相互平行规定规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.本讲稿第五十四页，共七十九页空间直线可看成是两个不平行的平面1和2的交线.一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程已知平面1:A1x+B1y+C1z+D1=02:A2x+B2y+C2z+D2=0那么,交线L上的任何点的坐标满足:A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0不在交线L上的点不满足方程组(1)(1)称方程组(1)空间直线的一般方程.xyzO12L第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程本讲稿第五十五页，共七十九页二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程1.定义:与空间直线L平行的向量s=m,n,p,称为该直线的方向向量.而s 的坐标m,n,p称为直线L的一组方向数.sL本讲稿第五十六页，共七十九页2.直线的对称式方程已知直线L过M0(x0,y0,z0)点方向向量 s=m,n,p在L上任取一点M(x,y,z),有M0 M/s.而M0 M=xx0,yy0,zz0所以得比例式(2)称为空间直线的对称式方程或点向式方程.sM0LM本讲稿第五十七页，共七十九页3.空间直线的参数式方程得:x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt称为空间直线的参数方程.(3)本讲稿第五十八页，共七十九页本讲稿第五十九页，共七十九页一、向量的若干应用一、向量的若干应用1.加法与数乘加法与数乘 建立坐标系建立坐标系;建立直线方程建立直线方程;建立平面方程建立平面方程.2.数量积数量积(1)求向量的模求向量的模,进而求两点间的距离进而求两点间的距离;(2)求向量的夹角求向量的夹角,进而求两条直线、直线与平面、两个平面进而求两条直线、直线与平面、两个平面之间的夹角之间的夹角;(3)证明两直线、两平面的垂直及直线与平面的平行关系证明两直线、两平面的垂直及直线与平面的平行关系;(4)建立平面的点法式方程。建立平面的点法式方程。本讲稿第六十页，共七十九页3.向量积向量积(1)求平行四边形（三角形）的面积，进而求点到直线的距离求平行四边形（三角形）的面积，进而求点到直线的距离;(2)求两相交平面交线的方向向量求两相交平面交线的方向向量;(3)判定两向量的平行关系。判定两向量的平行关系。本讲稿第六十一页，共七十九页4.混合积混合积(1)判断三个向量（或四个点）是否共面，进而可建立平面方程判断三个向量（或四个点）是否共面，进而可建立平面方程;(2)求平行六面体的体积，进而求点到平面的距离及两异面直线求平行六面体的体积，进而求点到平面的距离及两异面直线公垂线的长公垂线的长;(3)可建立异面直线公垂线的一般方程。可建立异面直线公垂线的一般方程。本讲稿第六十二页，共七十九页本讲稿第六十三页，共七十九页二、二、平面方程、直线方程平面方程、直线方程(一一)平面方程平面方程1.平面方程的基本形式平面方程的基本形式（1）点法式）点法式（2）一般式）一般式（3）向量式）向量式（4）参数式）参数式本讲稿第六十四页，共七十九页2.确定平面方程的两个基本思想确定平面方程的两个基本思想 本讲稿第六十五页，共七十九页(二二)直线方程直线方程1.直线方程的基本形式直线方程的基本形式（1）一般式）一般式（2）参数式）参数式（3）对称式（标准式）对称式（标准式）2.确定直线方程的两个基本思想确定直线方程的两个基本思想 本讲稿第六十六页，共七十九页三、三、平面、直线之间相互关系与距离公式平面、直线之间相互关系与距离公式（一）（一）两个平面间的关系两个平面间的关系本讲稿第六十七页，共七十九页（二）（二）两直线间的关系两直线间的关系本讲稿第六十八页，共七十九页（三）（三）直线与平面的关系直线与平面的关系本讲稿第六十九页，共七十九页（四）平面束方程（四）平面束方程本讲稿第七十页，共七十九页（五）（五）关于距离的坐标计算公式关于距离的坐标计算公式本讲稿第七十一页，共七十九页M0nM本讲稿第七十二页，共七十九页本讲稿第七十三页，共七十九页四、四、空间曲线在坐标平面上的投影空间曲线在坐标平面上的投影本讲稿第七十四页，共七十九页本讲稿第七十五页，共七十九页本讲稿第七十六页，共七十九页本讲稿第七十七页，共七十九页本讲稿第七十八页，共七十九页本讲稿第七十九页，共七十九页