第二章控制系统的数学模型1.ppt

第二章第二章控制系统的数学模型控制系统的数学模型主要内容：主要内容：1、建立被控对象的数学模型、建立被控对象的数学模型2、控制系统的数学描述方法、控制系统的数学描述方法l l微分方程微分方程l l状态空间方状态空间方程程l l传递函数传递函数l l方块图方块图l l信号流图信号流图定义：定义：控制系统的数学模型：控制系统的数学模型：控制系统各变量间关系的数控制系统各变量间关系的数学表达式称之为控制系统的数学模型。学表达式称之为控制系统的数学模型。建立系统的数学模型的两种方法：建立系统的数学模型的两种方法：机理分析法（简称分析法）机理分析法（简称分析法）通过对系统各部分运动机理进行分析，根据它们所通过对系统各部分运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。实验辨识法实验辨识法 人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，得到的数学模型称为辨并用适当的数学模型去逼近，得到的数学模型称为辨识模型。此方法称为系统辨识识模型。此方法称为系统辨识是控制理论的一个是控制理论的一个重要分支。重要分支。1控制系统的微分方程模型控制系统的微分方程模型用微分方程描述系统输入输出的用微分方程描述系统输入输出的动态特性是建立数学模型的一种基本动态特性是建立数学模型的一种基本方法。方法。1.1 1.1 数学模型方程的建立数学模型方程的建立例例2-1-1+-UiRCUc图图2-1RC电路网络电路网络(1)确定输入确定输入(自变量自变量)和输出变量和输出变量(因变量因变量)。电阻和电容的串联网络，其中电阻和电容的串联网络，其中U为输入电压，为输入电压，Uc为输出，建立两者关系的微分方程。为输出，建立两者关系的微分方程。输入输入:U;输出输出:Uc(3)消去中间变量消去中间变量i，得到最终的方程。得到最终的方程。对第对第2式两边求导：式两边求导：若设若设T=RC,（2-1-2）上式为一阶线性微分方程，因此这个上式为一阶线性微分方程，因此这个RC电路是电路是一阶线性一阶线性(定常定常)系统。系统。代入第代入第1式：式：(2)根据基本定律，列写原始方程（欧姆定律、基尔根据基本定律，列写原始方程（欧姆定律、基尔霍夫定律）。霍夫定律）。（2-1-1）RT 例例2-1-2 下图是一个液体贮槽的示意图。下图是一个液体贮槽的示意图。要求列出液位要求列出液位h对流入量对流入量Qin之间的关系式。之间的关系式。QinhAQout图图2-2液体贮槽液体贮槽（1）确定输入输出变量）确定输入输出变量.入（自变量）：入（自变量）：Qin，出（因变量）：出（因变量）：h（2）利用物料（能量）平衡式：）利用物料（能量）平衡式：物料物料(能量能量)蓄存量的变化率蓄存量的变化率=单位时单位时间进入的物料间进入的物料(能量能量)单位时间流单位时间流出的物料出的物料(能量能量)（2-1-3）（3）消去中间变量）消去中间变量Qout，Qout是中间变量。根据流体力学有是中间变量。根据流体力学有（2-1-4）其中，其中，：阀的流通面积，阀的流通面积，：阀的节流系数，设两者均为常：阀的节流系数，设两者均为常数（数（为常数）。为常数）。QinhAQout（除常数外，只含输入输出变量）除常数外，只含输入输出变量）把（把（2-1-4）代入（）代入（2-1-3）可得：）可得：（2-1-5）（2-1-3）（2-1-4）（4）增量化增量化原因：原因：便于方程简化和求解，相当于设初始条便于方程简化和求解，相当于设初始条件（稳态条件）为零。件（稳态条件）为零。主要关心被调参数在主要关心被调参数在平衡点平衡点（设定（设定值）附近的变化情况，即值）附近的变化情况，即参数偏离平衡参数偏离平衡点的变化量点的变化量。因此，把变量转换为增量。因此，把变量转换为增量形式，构成增量方程。形式，构成增量方程。益处：益处：便于线性化。便于线性化。QinhAQout如：如：步骤：步骤：1、把方程写成稳态方程（稳态的物料平衡式）：、把方程写成稳态方程（稳态的物料平衡式）：2、将原方程中的变量写成稳态值和增量值之和，、将原方程中的变量写成稳态值和增量值之和，(1)(2)代入原方程：代入原方程：3.改变后的动态方程式减去稳态方程改变后的动态方程式减去稳态方程(2)-(1)，得到，得到增量方程式。增量方程式。（2-1-6）注意：在不引起混淆的场合，注意：在不引起混淆的场合，号常常省略。号常常省略。(2)(1)(2)-(1):整理整理(5)线性化线性化原因：原因：工程中大多数系统都是非线性的。工程中大多数系统都是非线性的。非线性微分方程式求解复杂非线性微分方程式求解复杂线性系统理论和方法成熟线性系统理论和方法成熟条件：条件：变量间关系在变量间关系在平衡点附近的小范围平衡点附近的小范围内是线性的，内是线性的，把非线性方程把非线性方程局部线性化局部线性化（增量化的理由）（增量化的理由）方法：方法：将非线性函数将非线性函数yf(x)在平衡点在平衡点()附近展开成泰勒级数，即附近展开成泰勒级数，即yx图图2-3非线性特性的线性化非线性特性的线性化由于增量由于增量x=很小，展开很小，展开式中增量的高次项可以忽略，则上式中增量的高次项可以忽略，则上式可近似写成线性化方程：式可近似写成线性化方程：非线性特性的线性化，非线性特性的线性化，实质是以过实质是以过平衡点的切线代替平衡点附近的曲平衡点的切线代替平衡点附近的曲线。线。和和y0 x0 xyyx根据公式对（根据公式对（2-1-6）式中的非线性项（）式中的非线性项（2-1-4）线性）线性化。将此式在平衡工作点化。将此式在平衡工作点(h0)处展开成泰勒级数，并忽处展开成泰勒级数，并忽略增量略增量h的高次项，则非线性的函数即近似为：的高次项，则非线性的函数即近似为：（2-1-7）将（将（2-1-7）式代入（）式代入（2-1-6）式，）式，设设去掉去掉号，号，写成标准形式，写成标准形式，（2-1-8）K：放大倍数，放大倍数，T：时间常数，具有物理意义。时间常数，具有物理意义。设设例例2-1-3当输出流量是两个变量的函数时，使用当输出流量是两个变量的函数时，使用2元泰勒元泰勒级数展开：级数展开：贮槽系统，控制流出量以保证液位稳定。贮槽系统，控制流出量以保证液位稳定。其流出量的方程为：其流出量的方程为：（2-1-4）QinhAQout其中，其中，：阀的节流系数，常数。：阀的节流系数，常数。：调节阀的流：调节阀的流通面积，受调节器的控制，一个输入变量。通面积，受调节器的控制，一个输入变量。把（把（2-1-4）式线性化）式线性化（2-1-9）令令（R称为阻力系数），称为阻力系数），把把(2-1-9)式代入式代入(2-1-5)式，式，得到：（得到：（各变量分别用稳态值各变量分别用稳态值+增量值表示增量值表示）：）：(二元的泰勒级数展开式二元的泰勒级数展开式)：考虑到平衡关系式：考虑到平衡关系式：上式可整理为增量化方程：上式可整理为增量化方程：（2-1-10）上述方程表示的是在流入量和调节阀开度（调节器上述方程表示的是在流入量和调节阀开度（调节器作用）共同作用下，液位的变化关系。因为已转化作用）共同作用下，液位的变化关系。因为已转化为线性系统。为线性系统。(6)无因次化无因次化比较比较RC电路模型电路模型(2-1-2)(2-1-2)(2-1-8)使用相同的微分方程（两个特征参数使用相同的微分方程（两个特征参数T和和K）描述描述不同的物理对象和参数（电压不同的物理对象和参数（电压V，液位液位m）。）。去除量纲，抽象成统一的一阶线性方程。去除量纲，抽象成统一的一阶线性方程。抽出不同的物理背景，便于分析、研究共性抽出不同的物理背景，便于分析、研究共性的规律的规律目的：目的：方法：方法：和一阶贮槽模型和一阶贮槽模型(2-1-8)式，式，步骤：步骤：以一阶贮槽模型（以一阶贮槽模型（2-1-8）式为例，）式为例，两边均被各自的稳态值去除两边均被各自的稳态值去除根据（根据（2-1-8）式，）式，当当时，时，定义新变量定义新变量代入：代入：还可设还可设各变量均为无因次的相对值。各变量均为无因次的相对值。代入：代入：（2-1-8）总结：总结：建立系统数学模型的一般步骤：建立系统数学模型的一般步骤：消去中间变量，列出描述系统输入与输出关消去中间变量，列出描述系统输入与输出关系的微分方程。系的微分方程。根据物理或化学规律列出描述系统运动规律根据物理或化学规律列出描述系统运动规律的一组微分方程。的一组微分方程。首先要确定系统的输入量和输出量。首先要确定系统的输入量和输出量。方程处理：方程处理：列写静态方程列写静态方程将原始方程中的变量用稳态值与增量之和表示将原始方程中的变量用稳态值与增量之和表示将上式方程与静态方程相减将上式方程与静态方程相减线性化线性化增量化：增量化：每个变量除以稳态值每个变量除以稳态值定义无因次的新变量定义无因次的新变量无因次化无因次化总结：总结：建立系统数学模型的一般步骤：建立系统数学模型的一般步骤：（对非线性方程，在平衡点附近做泰（对非线性方程，在平衡点附近做泰勒级数展开，取一阶近似）勒级数展开，取一阶近似）1.2线性系统的特性和分析线性系统的特性和分析两个重要性质：可叠加性和均匀性（齐次性）。两个重要性质：可叠加性和均匀性（齐次性）。线性系统线性系统可叠加性：可叠加性：当当f(t)=f1(t)时，方程有解时，方程有解y1(t),当当f(t)=f2(t)时，方程有解时，方程有解y2(t)，当当f(t)=f1(t)+f2(t)时，方程解为时，方程解为y1(t)+y2(t)表明，两个外力同时作用于表明，两个外力同时作用于系统所产生的总输出，等于系统所产生的总输出，等于各个外力单独作用时分别产各个外力单独作用时分别产生的输出之和。生的输出之和。被控对象被控对象被控对象被控对象f1f1f2f2y+y1y2y被控对象被控对象均匀性均匀性：当当f(t)=Af1(t)时，时，A为常数，为常数，y(t)=Ay1(t)，表明：当外作用比例增加时，输出也增加同样的倍数。表明：当外作用比例增加时，输出也增加同样的倍数。例例2-1-3中，中，（2-1-10）液位受到两个变量的共同作用，根据叠加原理，可分液位受到两个变量的共同作用，根据叠加原理，可分别研究在各个变量单独作用下，液位的过渡过程，然别研究在各个变量单独作用下，液位的过渡过程，然后相加，可以得到整个液位控制系统的全部特性。后相加，可以得到整个液位控制系统的全部特性。即输出随输入同比例缩放。即输出随输入同比例缩放。1.3纯滞后特性纯滞后特性某些对象的输出信号响应比输入信号延迟一定的时间。某些对象的输出信号响应比输入信号延迟一定的时间。溶解槽中的浓度控制系统溶解槽中的浓度控制系统xtxt图图2-4溶解槽及滞后特性溶解槽及滞后特性一阶无纯滞后对象特性一阶无纯滞后对象特性一阶纯滞后对象特性一阶纯滞后对象特性2控制系统的状态空间模型控制系统的状态空间模型微分方程微分方程两种表示方法可以互相转换。两种表示方法可以互相转换。状态空间方程状态空间方程单输入、单输出线性定常系统单输入、单输出线性定常系统多变量系统，现代控制理多变量系统，现代控制理论的数学描述方法论的数学描述方法2.1状态空间的基本概念状态空间的基本概念被控对象的变量可以分为三类：被控对象的变量可以分为三类：n n输入变量（控制变量和干扰变量）输入变量（控制变量和干扰变量）n n输出变量（被控变量）输出变量（被控变量）n n状态变量（表征系统内部特征的变量）状态变量（表征系统内部特征的变量）对于线性定常系统，其状态方程的基本形式为对于线性定常系统，其状态方程的基本形式为其中，其中，A：系数矩阵系数矩阵nn维，维，D：关联矩阵关联矩阵mrC：输出矩阵输出矩阵mn，B：控制矩阵控制矩阵nr维，维，y：m维向量。维向量。u：r维向量，维向量，x：n维向量，维向量，（2）状态变量可以测量或不可测量。）状态变量可以测量或不可测量。（1）状态变量的选取不是唯一的，）状态变量的选取不是唯一的，注意：注意：2.2状态空间方程的建立状态空间方程的建立例例2-2-1 力学系统力学系统弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统如图示。阻尼器系统如图示。列出以拉力列出以拉力Fi为输入，以质量单元的位移为输入，以质量单元的位移y为输出的为输出的状态方程。状态方程。（1）确定输入变量：）确定输入变量：MkyFiFiyMFf Fk图图2-5弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统系统入系统入:Fi，出：出：y（2）基本定理：基本定理：（2-2-1）古典力学系统符合牛顿第二定律古典力学系统符合牛顿第二定律其中，弹簧阻力其中，弹簧阻力壁摩擦力壁摩擦力k是弹簧的弹性系数。是弹簧的弹性系数。f是摩擦系数。是摩擦系数。代入（代入（2-2-1）式：）式：（2-2-2）弹簧平移运动是一个二阶线性系统。弹簧平移运动是一个二阶线性系统。（3）定义状态向量、控制向量和输出向量）定义状态向量、控制向量和输出向量整理（整理（2-2-2）式）式（2-2-2）（4）可将）可将2阶微分方程表示的系统写成阶微分方程表示的系统写成2个一个一阶微分方程组的形式阶微分方程组的形式以进一步表示为矩阵形式：以进一步表示为矩阵形式：和和得到得到系统系数矩阵系统系数矩阵控制矩阵控制矩阵输出矩阵输出矩阵输出方程输出方程状态方程状态方程归纳建立状态方程的步骤：归纳建立状态方程的步骤：（1）确定系统的输入变量和输出变量。）确定系统的输入变量和输出变量。（4）整理表达式为）整理表达式为的形式。的形式。（5）根据输出变量是状态变量的线性组合，得出）根据输出变量是状态变量的线性组合，得出输出方程输出方程。（3）根据微分方程的阶次）根据微分方程的阶次,选择独立的状态变量，用选择独立的状态变量，用一阶微分方程组的形式来表达对象的数学模型。一阶微分方程组的形式来表达对象的数学模型。（2）用微分方程表达对象的数学模型，如有非线性）用微分方程表达对象的数学模型，如有非线性特性则作线性化处理。特性则作线性化处理。例例2-2-2如图由两个液体贮槽串联组成。如图由两个液体贮槽串联组成。由以前分析可知，经线性化后：由以前分析可知，经线性化后：Qih1A1R1Q1h2A2R2Qo图图2-6液体贮槽液体贮槽在这个系统中，液位在这个系统中，液位h2作为被控变量，调节阀的开作为被控变量，调节阀的开度度f是控制变量。是控制变量。建立模型：建立模型：在例在例2-1-3中已得到（去除中已得到（去除号）号）（2-1-10）(1)确定输入输出变量确定输入输出变量(2)根据物料守恒定律列出原始方程根据物料守恒定律列出原始方程整理：整理：入入(自变量自变量)：Qin(扰动量扰动量)、f：(控制量控制量)，出：出：h2(3)选择系统的状态变量选择系统的状态变量X、控制变量控制变量U和输出变量和输出变量y选择选择(4)列写状态方程列写状态方程上面方程可改写：上面方程可改写：(5)列写输出方程列写输出方程此例中，二阶贮槽系统的此例中，二阶贮槽系统的系数矩阵系数矩阵、控制矩阵控制矩阵和和输出矩阵输出矩阵是是通过方程求解，通过方程求解，（1）能够知道被控变量）能够知道被控变量h2随扰动量随扰动量Qin、控制量控制量f的的变化情形变化情形（2）可以了解系统内部的变量）可以了解系统内部的变量h1的变化情况的变化情况注意：注意：(1)状态变量个数由方程阶次决定，状态变量个数由方程阶次决定，n阶系统有阶系统有n个状个状(2)态变量；态变量；(2)各矩阵维数：系数矩阵各矩阵维数：系数矩阵nn，控制矩阵控制矩阵nr，输输出矩阵出矩阵mn。(3)状态变量选择不是唯一的，状态变量选择不是唯一的，(4)如可选如可选，则状态方程不同。，则状态方程不同。(4)状态方程只能描述线性系统，非线性系统需线性状态方程只能描述线性系统，非线性系统需线性化后方可使用。化后方可使用。3控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型初始条件为零的线性定常系统输出的拉普拉初始条件为零的线性定常系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。记作记作拉普拉斯变换复习拉普拉斯变换复习把实数域中的积分、微分计算变换成复数域中的代把实数域中的积分、微分计算变换成复数域中的代数运算，类似对数运算。数运算，类似对数运算。定义：定义：3.1传递函数传递函数它的常用基本性质：它的常用基本性质：微分定理微分定理若初始条件为零，则有若初始条件为零，则有位移（滞后）定理位移（滞后）定理终值定理终值定理初值定理初值定理初始条件为零时，初始条件为零时，积分定理积分定理它的常用基本性质：它的常用基本性质：几种典型环节的传递函数：几种典型环节的传递函数：一个对象的传递函数可以由表达其动态特性的微分一个对象的传递函数可以由表达其动态特性的微分方程式经拉氏变换得到。方程式经拉氏变换得到。（1 1）比例环节：）比例环节：（2）一阶惯性（滞后）环节：）一阶惯性（滞后）环节：几种典型环节的传递函数：几种典型环节的传递函数：（3 3）二阶环节：）二阶环节：几种典型环节的传递函数：几种典型环节的传递函数：（4）高阶环节：）高阶环节：两端进行拉氏变换得两端进行拉氏变换得通式通式总有总有(nm)，真分式；真分式；n=1，一阶系统；一阶系统；n=2，二阶二阶系统；系统；n3，高阶系统。高阶系统。几种典型环节的传递函数：几种典型环节的传递函数：（5 5）积分环节：）积分环节：（6）微分环节：）微分环节：几种典型环节的传递函数：几种典型环节的传递函数：（7）PID环节：环节：几种典型环节的传递函数：几种典型环节的传递函数：（8）纯滞后环节和带有纯滞后的一阶环节：）纯滞后环节和带有纯滞后的一阶环节：根据拉氏变换的位移定理，根据拉氏变换的位移定理，几种典型环节的传递函数：几种典型环节的传递函数：注意：注意：2、传递函数分母中、传递函数分母中S的最高次幂表示系统的最高次幂表示系统的阶次。的阶次。1、微分方程与传递函数是一一对应的，典、微分方程与传递函数是一一对应的，典型环节的传递函数要牢记型环节的传递函数要牢记。3、含、含项，表示带有纯滞后特性。项，表示带有纯滞后特性。3.2方块图方块图G1(s)G2(s)H(s)Y(s)E(s)X(s)-方块图方块图：应用函数方块描述信号在控制系统中流通：应用函数方块描述信号在控制系统中流通过程的图解表示法过程的图解表示法系统每一环节用一个方块表示，里面写上它的系统每一环节用一个方块表示，里面写上它的传递函数各变量用它的拉氏变换式表示。传递函数各变量用它的拉氏变换式表示。3.2方块图方块图方块之间的连接按控制信号的作用关系（信号流方块之间的连接按控制信号的作用关系（信号流向而不是工艺流程）用有向线段（箭头）画出。向而不是工艺流程）用有向线段（箭头）画出。G1(s)G2(s)H(s)Y(s)E(s)X(s)-输入信号指向方块图，输出信号从方块图指出。输入信号指向方块图，输出信号从方块图指出。输出信号输出信号Y(s)是输入信号与方块内传递函数运算是输入信号与方块内传递函数运算的结果：的结果：Y(s)=G(s)X(s)1、方块图中的基本符号、方块图中的基本符号利用方块图计算、分析整个控制系统。利用方块图计算、分析整个控制系统。注意：画图规范，箭头、加减号、变量符号注意：画图规范，箭头、加减号、变量符号（1）环节与通道）环节与通道G(s)X(s)Y(s)（2）相加点）相加点X1X2Y(比较器比较器)G1(s)X1G2(s)X2Y（3）分支点：）分支点：相同的信号送到不同的地方相同的信号送到不同的地方Y1X1Y22、方块图的基本连接形式、方块图的基本连接形式(1)串联串联G1(s)X(s)Y1(s)G2(s)Y2(s)G3(s)Y(s)串联环节总的传递函数等于各环节传递函数的乘积。串联环节总的传递函数等于各环节传递函数的乘积。(2)并联并联G1(s)X1(s)Y1(s)G2(s)X2(s)Y2(s)X(s)Y(s)并联环节总的传递函数等于各环节传递函数之和。并联环节总的传递函数等于各环节传递函数之和。(3)反馈反馈G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)X(s)Y(s)负反馈：负反馈：若正反馈：若正反馈：G(s)：前向通道传递函数前向通道传递函数，H(s)：反馈通道传递函数反馈通道传递函数，G(s)H(s)：开环传递函数开环传递函数，1+G(s)H(s)=0叫做叫做系统的闭系统的闭环特征方程环特征方程。当当H(s)=1时，称为时，称为单位反馈系统单位反馈系统，此时，此时，例例2-3-1 求求(1)求求Y(s)/X(s)不考虑不考虑F(s),Y2(s)=0,Y(s)=Y1(s)G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)F(s)Y1Y2(2)求求Y(s)/F(s)，不考虑不考虑X(s)，因此，因此，E(s)=-Z(s)G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)F(s)Y1Y2(3)求求E(s)/X(s)总结：总结：传递函数的分母相同，传递函数的分母相同，,分子是从输入分子是从输入到输出（按箭头方向）前向通道的传递函数。到输出（按箭头方向）前向通道的传递函数。G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)F(s)Y1Y2(4)求求E(s)/F(s)(5)(6)G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)F(s)Y1Y2例例2-3-2 求在求在X(s)、F(s)共同作用下的共同作用下的Y(s)。利用线性叠加原理，此时利用线性叠加原理，此时Y(s)等于两输入单独作用等于两输入单独作用之和。之和。G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)F(s)Y1Y2Y(s)=3.3方块图的方块图的等效等效变换规则变换规则利用方块图的等效变换规则，化简系统，便于传递利用方块图的等效变换规则，化简系统，便于传递函数的计算。函数的计算。1、在无函数方块的支路上，相加点可以交换、在无函数方块的支路上，相加点可以交换XYX1X2XYX1X2Y=XX1X2Y=XX2X12、分支点可交换、分支点可交换XYY1Y2XYY1Y23、分支点、相加点不能互换、分支点、相加点不能互换YX1X2Y1YX1X2Y1不同性质的点不可交换，相同性质的点可以交换。不同性质的点不可交换，相同性质的点可以交换。4、相加点后移，乘、相加点后移，乘G；相加点前移加除相加点前移加除G（1）后移：）后移：YX1X2GYX1X2GGY(s)=X1(s)G(s)+X2(s)G(s)Y(s)=X1(s)G(s)+X2(s)G(s)（2）前移：）前移：YX1X2GY(s)=G(s)X1(s)+X2(s)Y(s)=G(s)X1(s)+X2(s)4、相加点后移，乘、相加点后移，乘G；相加点前移加除相加点前移加除GYX1X2G5、分支点后移，除、分支点后移，除G；分支点前移，乘分支点前移，乘G（1）后移：）后移：YX1GY1YX1GY1Y(s)=G(s)X1(s)Y1(s)=X1(s)Y(s)=X1(s)Y1(s)=X1(s)（2）前移：）前移：YX1GY1YX1GY1GY(s)=G(s)X1(s)=Y1(s)Y(s)=Y1(s)=G(s)X1(s)5、分支点后移，除、分支点后移，除G；分支点前移，乘分支点前移，乘G总结：总结：（1）尽量利用相同性质的点可以交换这一点，）尽量利用相同性质的点可以交换这一点，避免不同性质避免不同性质的点交换（不可以）；的点交换（不可以）；（2）相加、分支点需要跨越方块时，需要做）相加、分支点需要跨越方块时，需要做相应变换，两者交换规律正好相反：相应变换，两者交换规律正好相反：（3）交换后，利用串、并、反馈规律计算。）交换后，利用串、并、反馈规律计算。前移前移后移后移相加点相加点分支点分支点例例2-3-3 求求Y(s)X(s)G1G2G3H1H2H2向前，向前，1、相加点前移，除、相加点前移，除G（s），），解：解：讨论：讨论：Y(s)X(s)G1G2G3H1H22、相加点交换，相加点交换，方块图依次等效为：方块图依次等效为：Y(s)X(s)G1G2G3H1H2讨论：讨论：H2G1G2G3H1Y(s)X(s)讨论：讨论：Y(s)X(s)Y(s)X(s)Y(s)X(s)Y(s)X(s)G1G2G3H1H2讨论：讨论：3.4信号流图信号流图画图更简便画图更简便梅逊增益公式梅逊增益公式很容易求出系统的等效很容易求出系统的等效传递函数传递函数信号流图也是一种表示系统各参数间关信号流图也是一种表示系统各参数间关系的一种图解法系的一种图解法信号流图是由节点和连接两节点的支路组成。信号流图是由节点和连接两节点的支路组成。节点节点节点节点支路支路X1aX2变量间的关系用支路上的符号变量间的关系用支路上的符号a（传输）表示，传输）表示，如如x2=ax1箭头表示作用方向箭头表示作用方向每一节点表示一个变量（参数）每一节点表示一个变量（参数）1、术语（和传递函数术语对照理解）、术语（和传递函数术语对照理解）X1aX2bcdeijfghX3X4X5X6（1）节点节点：表示变量的点：表示变量的点x1x6，分分3种。种。输入节点（源点）输入节点（源点）：x1，只包含输入支路的点，代只包含输入支路的点，代表输入变量，画在左侧。表输入变量，画在左侧。混合节点混合节点：x2x5，既有输入支路的点，又有输出既有输入支路的点，又有输出支路的点支路的点,代表中间变量）。代表中间变量）。输出节点（陷点）输出节点（陷点）：x6，只包含输出支路的点，代只包含输出支路的点，代表输出变量，画在右侧。表输出变量，画在右侧。（2）支路支路：连接两节点间的定向线段。：连接两节点间的定向线段。X1aX2bcdeijfghX3X4X5X6（3）传输传输：两节点间的增益（写在支路上方）。：两节点间的增益（写在支路上方）。(4)通路：沿箭头方向，穿过各相连支路的途径。通路：沿箭头方向，穿过各相连支路的途径。l l开通路开通路开通路开通路：通路的起点与终点不是一个节点，与每：通路的起点与终点不是一个节点，与每一节点最多相交一次。一节点最多相交一次。l l 闭通路（回路）闭通路（回路）闭通路（回路）闭通路（回路）：起点与终点为同一节点，与其：起点与终点为同一节点，与其它节点最多相交一次。它节点最多相交一次。X1aX2bcdeijfghX3X4X5X6x1x3x4x5x2x3x4x2,问题：问题：x2x3x1x2?x4(自回路自回路)？x1x2x3x4,x2x3x2,注意：通路和回路的区别。注意：通路和回路的区别。不接触回路不接触回路不接触回路不接触回路：X1aX2bcdeijfghX3X4X5X6接触回路接触回路接触回路接触回路：回路之间有公共节点。：回路之间有公共节点。回路之间没有公共节点。回路之间没有公共节点。x2x3x2和和x4x5x4x2x3x2和和x2x3x4x2，x4和和x4x5x4l l前向通路前向通路前向通路前向通路：起点为输入节点，终点为输出节点：起点为输入节点，终点为输出节点的开通路。的开通路。x1x3x4x5x6x1x6，X1aX2bcdeijfghX3X4X5X6（5）回路增益：回路经过各个支路增益的乘积。）回路增益：回路经过各个支路增益的乘积。（6）前向通路的增益：前向通路经过各个支路增前向通路的增益：前向通路经过各个支路增益的乘积。益的乘积。x2x3x4x2的增益为的增益为-bcgabcd，ecdbcgcdeX1aX2bcdX3X42、基本运算规则、基本运算规则（1）加法）加法X1a1+a2X2a1a2X1X2（2）乘法）乘法X1a1X2X3a2X1a1a2X3（3）自回路）自回路（4）反馈）反馈X1X3X1a1X2X3a21X1a1X2a2X1X23、梅逊（、梅逊（Mason）公式公式总增益：总增益：P：总增益；总增益；：信号流图的特征式，信号流图的特征式，：所有回路增益之和：所有回路增益之和：每两两不接触回路增益乘积之和：每两两不接触回路增益乘积之和：每三个互不接触回路增益乘积之和：每三个互不接触回路增益乘积之和第第k条前向通路的总增益；条前向通路的总增益；第第k条前向通路的特征式的余因式；（即与第条前向通路的特征式的余因式；（即与第k条前向通路不相接触的回路的特征式）条前向通路不相接触的回路的特征式）例例2-3-4利用梅逊公式求图示信号流图的总增益，利用梅逊公式求图示信号流图的总增益，RG4G5G3H1CG1G2G6G7H2解：解：前向通路前向通路3条，条，P3=G1G2G7P2=G1G6G4G5,P1=G1G2G3G4G5,G1G2G3G4G5G1G6G4G5G1G2G7RG4G5G3H1CG1G2G6G7H2例例2-3-4(2)回路回路4条，条，在这些回路中，互不接触的回路有在这些回路中，互不接触的回路有1条，条，L1和和L2，因而，系统特征式因而，系统特征式=L4=-G2G3G4G5H2L3=-G6G4G5H2,L2=-G2G7H2,L1=-G4H1,1-（L1+L2+L3+L4）+L1L2例例2-3-4(3)前向通路前向通路P1与所有回路都接触与所有回路都接触：RG4G5G3H1CG1G2G6G7H2前向通路前向通路P3与与L1不接触不接触：3=1-L1，前向通路前向通路P2与所有回路都接触与所有回路都接触：2=1，1=1，例例2-3-4(4)P3=G1G2G7P2=G1G6G4G5,P1=G1G2G3G4G5,3=1-L1，2=1，1=1，=1-（L1+L2+L3+L4）+L1L2L4=-G2G3G4G5H2L3=-G6G4G5H2,L2=-G2G7H2,L1=-G4H1,梅逊公式例梅逊公式例R-CR(s)C(s)L1=G1H1L2=G3H3L3=G1G2G3H3H1L4=G4G3L5=G1G2G3L1L2=(G1H1)(G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(G1H1)(G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G31=1G4(s)H1(s)H3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G32=1+G1H1G1(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)G3(s)C(s)R(s)=?G4(s)G3(s)梅逊公式求梅逊公式求C(s)L1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=G2H2L3=G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2+G2R(s)N(s)(1-G1H1)梅逊公式求梅逊公式求E(s)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2R(s)E(S)R(s)E(S)P1=11=1+G2H2(1+G2H2)P11=?+梅逊公式求梅逊公式求E(s)G1(s)H1(s)H2(s)C(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)P2=-G3G2H32=1P22=?(-G3G2H3)R(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)梅逊公式求梅逊公式求E(s)G1(s)H1(s)H2(s)C(s)P2=-G3G2H32=1P22=?(-G3G2H3)R(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)梅逊公式求梅逊公式求E(s)G1(s)H1(s)H2(s)C(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)(-G3G2H3)R(s)N(s)P1=G2H31=1(G2H3)+N(s)+信号流图信号流图四个单独回路，两个回路互不接触四个单独回路，两个回路互不接触e1abcdfghC(s)R(s)C(s)R(s)=1afbgch ehgf+afchabcded(1bg)前向通路两条前向通路两条例例2-3-5二阶水槽如图，二阶水槽如图，（2-3-1）求求h2到到Qi的传递函数（设阀位不变）。的传递函数（设阀位不变）。，Qih1h2Q1QoR1R2A1A2例例2-3-5(2)进行拉氏变换：进行拉氏变换：（2-3-2）Qih1h2Q1QoR1R2A1A2（1）方块图法）方块图法例例2-3-5(3)用方框图表示：用方框图表示：H2QiE1H1Q1E2Qo（2-3-2）例例2-3-5(4)令令（2-3-3）则上式写为则上式写为拉氏反变换为拉氏反变换为:（2-3-1）（2-3-2）例例2-3-5(5)根据（根据（2-3-1）和（）和（2-3-2）式，画出它的信号流图。）式，画出它的信号流图。(2)信号流图法信号流图法QiQ1Q2h21h1111注意：方块图中的相加点与信号流图中的节点不同，注意：方块图中的相加点与信号流图中的节点不同，一定不能混淆。每个节点代表一个变量，或每个变一定不能混淆。每个节点代表一个变量，或每个变量要用一个节点表示，不可省略，否则出错。量要用一个节点表示，不可省略，否则出错。例例2-3-5(6)结果同（结果同（2-3-3）式。）式。QiQ1Q2h21h1111例例2-3-5(7)信号流图和方块图比较，发现形式非常相似。信号流图和方块图比较，发现形式非常相似。如：如：信号流图一般只能计算从输入节点到输出信号流图一般只能计算从输入节点到输出节点的传递函数，不适用混合节点。节点的传递函数，不适用混合节点。X(s)G(s)Y(s)Y(s)X(s)G(s)信号流图中节点间带传输的连线与方块图中的信号流图中节点间带传输的连线与方块图中的一个函数方块相当；传输相当于传递函数；一个函数方块相当；传输相当于传递函数；注意：注意：例例2-3-5(8)如下例所示：如下例所示：但要注意，方块图中的相加点与信号流图中的节但要注意，方块图中的相加点与信号流图中的节点不同，一定不能混淆。点不同，一定不能混淆。X1(s)E(s)X2(s)G1(s)E(s)X(s)Y(s)F(s)H(s)G2(s)X(s)Y(s)1H(s)E(s)F(s)G1(s)G2(s)X1(s)E(s)X2(s)信号流图中的闭通路或回路与方块图中的反馈回路信号流图中的闭通路或回路与方块图中的反馈回路相当。相当。例例2-3-6既然方块图与信号流图有一一对应的关系，则可以利既然方块图与信号流图有一一对应的关系，则可以利用梅逊公式对方块图直接求解系统的传递函数。用梅逊公式对方块图直接求解系统的传递函数。对下面方块图利用梅逊公式求系统的传递函数。对下面方块图利用梅逊公式求系统的传递函数。Y(s)X(s)G1G2G3H1H2例例2-3-7求求4数学模型各种表达式之间的数学模型各种表达式之间的对应关系对应关系线性定常系统的数学模型的表示方式主要有线性定常系统的数学模型的表示方式主要有微分方微分方程、传递函数、状态方程程、传递函数、状态方程三种形式。三种形式。前两种方法是前两种方法是建立输入输出数学模型建立输入输出数学模型，后一种方法是后一种方法是建立状态空建立状态空间模型间模型。同一种系统用这三种不同方法建立的数学同一种系统用这三种不同方法建立的数学模型之间存在着内在的联系，它们可以互相转换。模型之间存在着内在的联系，它们可以互相转换。这一节主要讲述这几种表达式方法间的转化方法。这一节主要讲述这几种表达式方法间的转化方法。4.1微分方程和传递函数微分方程和传递函数微分方程与传递函数之间的转换式通过微分方程与传递函数之间的转换式通过拉氏变换拉氏变换和和反拉氏变换反拉氏变换实现的。实现的。已知微分方程已知微分方程在在初始条件为零初始条件为零的情况下，对上式两端取拉氏变换：的情况下，对上式两端取拉氏变换：相应的传递函数是相应的传递函数是反过来。如果已知系统的传递函数，可以通过拉氏反过来。如果已知系统