MATLAB误差理论.ppt

第3章 误差理论3.1 误差的来源3.2 误差的基本概念3.3 有效数字3.4 误差的传播3.5 数值计算中应注意的问题3.6 MATLAB语言的数值计算精度3.7 实例解析本章目标：了解误差的来源、表示法、积累与传播等 3.1 误差的来源v误差按来源可分为模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差四种。v1、模型、模型误差差数学模型通常是由实际问题抽象得到的，一般带有误差，这种误差称为模型误差。v2、观测误差差数学模型中包含的一些物理参数通常是通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观测误差。v3、截断、截断误差差求解数学模型所用的数值方法通常是一种近似方法，这种因方法产生的误差称为截断误差，亦称为方法误差。v4、舍入、舍入误差差由于计算机只能对有限位数进行运算，对计算得到的中间结果数据要使用“四舍五入”或其他规则取近似值，因而使计算过程产生误差。这种误差称为舍入误差。3.2 误差的基本概念一、绝对误差给定一实数x*，它的近似值为x，则称e=x*-x为近似值x的绝对误差，简称误差。若存在一个正实数 ，使得 则称 为近似值x的绝对误差限，简称误差限。二、相对误差绝对误差通常不能完全反映近似数的精确程度，它还依赖于此数本身的大小，因此有必要引进相对误差的概念。近似值x的相对误差定义为 然而实际计算中真值通常难以求得，人们常以 作为相对误差。3.3 有效数字 若近似值 x的误差限是某一位的半个单位,该位到 x 的第一位非零数字共有 n 位,就说 x有 n 位有效数字。科学计数法中通常将n位有效数字x表示为：也即 例如：0.23000.2300有有4 4位有效数字，而位有效数字，而0.00230.0023只有只有2 2位有效数字。位有效数字。1230012300如果写成如果写成0.1230.123 10105 5，则则表示只有表示只有3 3位有效数字。数字末尾的位有效数字。数字末尾的0 0不可随意省去！不可随意省去！3.4 误差的传播 一、四一、四则运算中运算中误差的差的传播播 下面不加证明地给出两数和、差、积和商的误差传播公式：二、函数运算中二、函数运算中误差的差的传播播 当自变量有误差时，计算函数值的误差（限）也可利用函数的泰勒展开式进行估计。忽略 的高阶项，得其误差限为：其解的相对误差为：相对误差限为：3.5 数值计算中应注意的问题 v为了减小舍入误差的影响，设计算法时一般应注意如下问题：避免两个相近的数相减避免绝对值过小的数作除数避免大数吃掉小数先化简再计算，减少计算步骤，避免误差积累采用数值稳定性好的算法3.6 MATLAB语言的数值计算精度 v一、一、MATLAB中的数据中的数据显示格式示格式MATLAB中，常用控制数据输出格式的指令是format，它的一般用法为：format 数显标识符其中，常用的数显标识符见下表。除了利用指令修改数据显示格式外，我们还可以通过菜单控制数据输出格式。v二、二、MATLAB中的运算精度中的运算精度 vMATLAB主要提供了3种运算精度的算法，它们分别是数值算法、符号算法和可控精度算法。其中数值算法是指将每个数值都取为16位有效数字，它是运算速度最快的一种算法；符号算法是把每个数据都变成符号量，这种算法可以得出精确的结果，但是它占据空间多，运算速度也比较慢；可控精度算法是指利用控制精度指令digits(n)使此后的运算均以n位有效数字进行，当然并不是规定了就可以使用，因为实际编程中，我们可能有些运算需要控制精度，而有些不需要控制。函数vpa()就用于解决这个问题，凡是用需要控制精度的，我们都对运算表达式使用vpa()函数。直到输入新的控制精度指令为止。