高数4-4有理函数积分课件.ppt

第四节一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容本节内容:第四四章 1一、一、有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和2例例1 将下列真分式分解为部分分式:解解(1)用拼凑法3(2)用待定系数法故4例：原式原式=比较系数比较系数：5例例2 求解解 由例1知6说明：说明：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三种情况：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三种情况：多项式；四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:7结论结论:有理函数的原函数都是初等函数，但不一有理函数的原函数都是初等函数，但不一 定是有理函数定是有理函数.变分子为 再分项积分 8例例3 求解解 原式说明说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法简便的方法.9例例4 求求解解 原式注意本题技巧注意本题技巧10二二、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例1.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为令t 的有理函数的积分11（万能置换公式）（万能置换公式）12例例5 求求解解 令令则则13例例6 6 求积分求积分解解14说明说明:三角函数有理式的积分方法三角函数有理式的积分方法化为有理函数化为有理函数1.1.万能代换万能代换2.2.万能代换对三角函数的有理式都可应用，但有时万能代换对三角函数的有理式都可应用，但有时万能置换不一定是最佳方法万能置换不一定是最佳方法15例例7 求求解解 可令可令原式原式16内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数有理函数分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定但不一定 要注意综合使用基本积分法要注意综合使用基本积分法,简便计算简便计算.简便简便,17第四章小结第四章小结一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念二、二、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1.直接积分法直接积分法通过简单变形通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法求不定积分的方法.182.换元积分法换元积分法 第一类换元法第一类换元法 第二类换元法第二类换元法(代换代换:)3.分部积分法分部积分法使用原则使用原则:1)由由易求出易求出 v;2)比比好求好求.一般经验一般经验:按按“指指,三三,幂幂,反反,对对”的顺的顺序序,排前者凑微分排前者凑微分.19例例1 1 求求解解20例例 2.求求不定积分不定积分解解令则,故分母次数较高分母次数较高,宜使用倒代换宜使用倒代换.21例例3 3 求积分求积分解解22例例4 4 求求解解23例例5 5 求求解解24例例6 6 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.25例例7 7 求求原式原式26例例8 8 求积分求积分解解27解解例例9 9 设设 求求 .令令28