2019年中考数学专题复习卷 锐角三角函数（含解析）.doc

1锐角三角函数锐角三角函数一、选择题一、选择题1.计算 =（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 ： tan 45 ° =1故答案为:B。【分析】根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。2.下列运算结果正确的是 A. 3a3·2a2=6a6 B. (-2a)2= -4a2 C. tan45°= D. cos30°= 【答案】D 【解析】 A、原式=6a5 ， 故不符合题意；B、原式=4a2 ， 故不符合题意；C、原式=1，故不符合题意；D、原式= ，故符合题意故答案为：D【分析】根据单项式乘以单项式，系数的积作为积的系数，对于相同的字母，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；根据特殊锐角三角函数值即可一一得出答案，再进行判断即可。3.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 0,BD=8,tanABD= ,则线段 AB 的长为( ).A. B. 2 C. 5 D. 102【答案】C 【解析】 ：菱形 ABCD,BD=8ACBD， 在 RtABO 中，AO=3 故答案为：C【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得出 ACBD，求出 BO 的长，再根据锐角三角函数的定义，求出 AO 的长，然后根据勾股定理就可求出结果。4.数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树 的高度，如图，老师测得大树前斜坡 的坡度 i=1:4，一学生站在离斜坡顶端 的水平距离 DF 为 8m 处的 D 点，测得大树顶端 A 的仰角为 ，已知 ，BE=1.6m，此学生身高 CD=1.6m，则大树高度 AB 为（ ）m.A.7.4B.7.2C.7D.6.8【答案】D 【解析】 如图所示:过点 C 作 延长线于点 G,交 EF 于点 N,3根据题意可得: ,计算得出: ,设 ,则 ,故 ,即 ,计算得出: ,故 ,则 ,故答案为：D.【分析】将大树高度 AB 放在直角三角形中，解直角三角形即可求解。即：过点 C 作 C G A B 延长线于点 G,交 EF 于点 N,因为斜坡 D E 的坡度 i=1:4，所以,解得 EF=2，而 sin=，设 AG=3x,则 AC=5x ,所以 BC=4x ,即 8+1.6=4x ,解得 x = 2.4 ，所以AG=2.4×3=7.2m ,则 AB=AGBG=7.20.4=6.8m。5. 如图，电线杆 CD 的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 相互垂直，CAB=，则拉线 BC 的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（ ） A. B. C. D. hcos【答案】B 【解析】 ：CAD+ACD=90°，ACD+BCD=90°， CAD=BCD，在 RtBCD 中，cosBCD= ，BC= = ，4故选：B【分析】根据同角的余角相等得CAD=BCD，由 osBCD= 知 BC= = 6.如图，ABC 内接于O，AD 为O 的直径，交 BC 于点 E，若 DE2，OE3，则 （ ）A.4B.3C.2D.5【答案】A 【解析】 ：如图，连接 BD，CDDO=2，OE=3OA=OD=5AE=OA+OE=8ABE=EDC，AEB=DECABEDEC同理可得：AECBED由×得5AD 是直径ABD=ACD=90°tanACB=ADB=tanABC=tanADC=tanACB tanABC=4故答案为：A【分析】根据 OD 和 OE 的长，求出 AE 的长，再根据相似三角形的性质和判定，得出，利用锐角三角函数的定义，可证得 tanACB tanABC=，代入求值即可。7.在 RtABC 中，C=90°，AC=4，cosA 的值等于,则 AB 的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 ：RtABC 中，C=90°，cosA 的值等于cosA=解之：AB=故答案为：D【分析】根据锐角三角函数的定义，列出方程 cosA=，求出 AB 的值即可。8. 如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 位于其北偏东 60°方向上，轮船沿正东方向航行 30 海里到达 B 处后，此时测得灯塔 P 位于其北偏东 30°方向上，此时轮船与灯塔 P 的距离是（ ）A. 15 海里 B. 30 海里 C. 45 海里D. 30 海里6【答案】B 【解析】 ：作 BDAP，垂足为 D根据题意，得BAD=30°，BD=15 海里，PBD=60°，则DPB=30°，BP=15×2=30（海里），故选：B【分析】作 CDAB，垂足为 D构建直角三角形后，根据 30°的角对的直角边是斜边的一半，求出 BP9.如图，在 中， ， ， ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ：在 RtABC 中，AB=10、AC=8，BC= ，sinA= .故答案为：A【分析】首先根据勾股定理算出 BC 的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。10.一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°方向，继续向南航行 30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°方向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据： ）（ ） A. 4.64 海里 B. 5.49 海里 C. 6.12 海里D. 6.21 海里7【答案】B 【解析】 ：根据题意画出图如图所示：作 BDAC，取 BE=CE，AC=30，CAB=30°ACB=15°，ABC=135°，又BE=CE，ACB=EBC=15°，ABE=120°，又CAB=30°BA=BE，AD=DE，设 BD=x，在 RtABD 中，AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，x= = 5.49，故答案为：B.【分析】根据题意画出图如图所示：作 BDAC，取 BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设 BD=x，RtABD 中，根据勾股定理得 AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由 AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.二、填空题二、填空题 11.在ABC 中，C=90°，若 tanA= ，则 sinB=_ 【答案】8【解析】 ：如图所示：C=90°，tanA= ，设 BC=x，则 AC=2x，故 AB= x，则 sinB= .故答案为： 【分析】根据正切函数的定义由 tanA= ， 设 BC=x，则 AC=2x，根据勾股定理表示出 AB 的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。12.如图，在菱形纸片 ABCD 中， ，将菱形纸片翻折，使点 A 落在 CD 的中点 E 处，折痕为 FG，点 分别在边 上，则 的值为_ 【答案】【解析】 如图，作 EHAD 于 H，连接 BE，BD、AE 交 FG 于 O，因为四边形 ABCD 是菱形，A=60°，所以ADC 是等边三角形，ADC=120°，点 E 是 CD 的中点，所以 ED=EC= ，BECD，9RtBCE 中，BE= CE= ，因为 ABCD，所以 BEAB，设 AF=x，则 BF=3-x，EF=AF=x，在 RtEBF 中，则勾股定理得，x2=(3-x)2+( )2 ， 解得 x= ，RtDEH 中，DH= DE= ，HE= DH= ，RtAEH 中，AE= = ，所以 AO= ，RtAOF 中，OF= = ，所以 tanEFG= = ，故答案为 .【分析】作 EHAD 于 H，连接 BE，BD、AE 交 FG 于 O，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法得出ADC 是等边三角形，ADC=120°，根据等边三角形的三线合一得出 ED=EC= ，BECD，RtBCE 中，根据勾股定理得出 BE,CE 的长，根据平行线的性质得出 BEAB，设 AF=x，则BF=3-x，EF=AF=x，在 RtEBF 中，则勾股定理得出方程求解得出 x 的值，RtDEH 中，DH= DE= ，HE= DH= ，RtAEH 中，利用勾股定理得出 AE 的长，进而得出 AO 的长，RtAOF 中，利用勾股定理算出 OF 的长，根据正切函数的定义得出答案。13.如图，在 RtABC 中，B=90°，C=30°，BC= ，以点 B 为圆心，AB 为半径作弧交 AC 于点 E，则图中阴影部分面积是_10【答案】【解析】 ：连接 BEB=90°，C=30°，BC= ，A=60°，AB=1AB=EB，ABE 是等边三角形，ABE=60°，S弓形=S扇形 ABESABE= = 故答案为： 【分析】连接 BE因为B=90°，C=30°，BC= ， 由C 的正切可得 tanC=,所以 AB=1，由题意以点 B 为圆心，AB 为半径作弧交 AC 于点 E 可得 AB=EB，所以ABE 是等边三角形，则ABE=60°，图中阴影部分面积=扇形 ABE 的面积-三角形 ABE 的面积=-×1×=-.14.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为 45°和 30°若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为_米（结果保留根号）【答案】【解析】 ：依题可得：ACD=45°,BCD=30°,CH=1200,CDAB，CAH=ACD=45°,CBH=BCD=30°,AH=CH=1200,设 AB=x 米，在 RtCHB 中，tanCBH= ,11即 = ，解得：x=1200 -1200.故答案为：1200 -1200.【分析】根据平行线的性质结合已知条件得CAH=ACD=45°,CBH=BCD=30°,设 AB=x 米，在 RtCHB 中，根据正切三角函数定义建立等式，代入数值解方程即可得 AB 长.15.如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，B 是锐角，AEBC 于点 E，M 是 AB 的中点，连结 MD，ME若EMD=90°，则 cosB 的值为_。【答案】【解析】 ：延长 DM 交 CB 的延长线于 H，四边形 ABCD 为菱形，AB=AD=BC=2,ADBC，ADM=H，又M 是 AB 的中点，AM=BM=1，在ADM 和BHM 中， ，ADMBHM（AAS），DM=HM，AD=BH=2,EMDM，EH=ED,设 BE=x，12EH=ED=2+x，AEBC，AEB=EAD=90°,AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,即 22-x2=（2+x）2-22,化简得：x2+2x-2=0，解得：x=-1，在 RtABE 中，cosB=.故答案为： .【分析】延长 DM 交 CB 的延长线于 H，由菱形的性质和平行线的性质可得：AB=AD=BC=2,ADM=H；由全等三角形的判定 AAS 得ADMBHM，再根据全等三角形的性质得 DM=HM，AD=BH=2,根据等腰三角形三线合一的性质可得 EH=ED,设 BE=x，则 EH=ED=2+x，根据勾股定理得 AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,代入数值解这个方程即可得出 BE 的长.16.如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交于点O，则 tanAOD=_.【答案】2 【解析】 ：连接 BE 交 CF 于点 G（如图），四边形 BCEF 是边长为 1 的正方形，BE=CF= ，BECF，BG=EG=CG=FG= ,又BFAC，13BFOACO， ,CO=3FO，FO=OG= CG= ，在 RtBGO 中，tanBOG= =2,又AOD=BOG,tanAOD=2.故答案为:2.【分析】连接 BE 交 CF 于点 G（如图），根据勾股定理得 BE=CF= ，再由正方形的性质得BECF，BG=EG=CG=FG= ,又根据相似三角形的判定得BFOACO，由相似三角形的性质得 ,从而得 FO=OG= CG= ，在 RtBGO 中根据正切的定义得 tanBOG= =2,根据对顶角相等从而得出答案.17.如图。在 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点. 的顶点都在格点上,则 的正弦值是_【答案】【解析】 AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AC2+BC2=AB2 ， ABC 为直角三角形，且ACB=90°，则 sinBAC= = 故答案为： 【分析】首先根据方格纸的特点，算出 AB2，AC2，BC2，然后根据勾股定理的逆定理判断出ABC 为直角三角形，且ACB=90°，根据正弦函数的定义即可得出答案。1418.一副含 30°和 45°角的三角板 ABC 和 DEF 叠合在一起，边 BC 与 EF 重合，BC=EF=12cm（如图 1），点G 为边 BC（EF）的中点，边 FD 与 AB 相交于点 H，此时线段 BH 的长是_现将三角板 DEF 绕点 G按顺时针方向旋转（如图 2），在CGF 从 0°到 60°的变化过程中，点 H 相应移动的路径长共为_（结果保留根号）【答案】；【解析】 ：如图如图 1 中，作 HMBC 于 M，HNAC 于 N，则四边形 HMCN 是正方形，设边长为 a.在 RtABC 中,ABC=30，BC=12，AB=8， 在 RtBHM 中，BH=2HM=2a， 在 RtAHN 中,AH=a，2a+=8， a=66，BH=2a=1212.15如图 2 中,当 DGAB 时,易证 GH1DF，BH1的值最小,则 BH1=BK+KH1=3+3，HH1=BHBH1=915，当旋转角为 60°时，F 与 H2 重合，易知 BH2=6， 观察图象可知,在CGF 从 0°到 60°的变化过程中，点 H 相应移动的路径长=2HH1+HH2=1830+6(1212)=1218，故答案为：1212,1218.【分析】如图 1 中，作 HMBC 于 M，HNAC 于 N，则四边形 HMCN 是正方形，设边长为 a，利用解直角三角形求出 AB 的长，用含 a 的代数式分别表示 BH、AH 的长，再根据AB=AH+BH，就可求出 a 的值，从而求出 BH 的值即可；如图 2 中,当 DGAB 时,易证 GH1DF，得出此时BH1的值最小，求出 BH1的值，再求出 BH2的值，然后求值在CGF 从 0°到 60°的变化过程中，点 H 相应移动的路径长即可。三、解答题题三、解答题题 19. 先化简，再求值：（ ）÷ ，其中 a=2sin60°tan45° 【答案】解：原式= （a1） = （a1）= 16当 a=2sin60°tan45°=2× 1= 1 时，原式= = 【解析】【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得 a 的值，代入即可20.为了计算湖中小岛上凉亭 P 到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点 A 处，测得凉亭 P在北偏东 60°的方向上；从 A 处向正东方向行走 200 米，到达公路l上的点 B 处，再次测得凉亭 P 在北偏东 45°的方向上，如图所示求凉亭 P 到公路l的距离（结果保留整数，参考数据： ， ）【答案】解：依题可得：AB=200 米，PAC=60°，PBD=45°，令 PG=x 米，作 PGl，PAG=30°，PBG=45°，PBG 为等腰直角三角形，BG=PG=x,在 RtPAG 中，tan30°= ,即 ，x=100（ +1）273答：凉亭 P 到公路 l 的距离是 273 米 17【解析】【分析】令 PG=x 米，作 PGl，根据题意可得PBG 为等腰直角三角形，即 BG=PG=x,在 RtPAG 中，根据锐角三角函数正切定义可得 tan30°= ,代入数值解方程即可.21.如图，湛河两岸 AB 与 EF 平行，小亮同学假期在湛河边 A 点处，测得对岸河边 C 处视线与湛河岸的夹角CAB=37°，沿河岸前行 140 米到点 B 处，测得对岸 C 处的视线与湛河岸夹角CBA=45°.问湛河的宽度约多少米?(参考数据：sin37°0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75)【答案】解：过 C 作 CDAB 于点 D，设 CD=x 米在 RtBDC 中，CDB=90°，CBD=45°，BD=CD=x 在 RtADC 中，ADC=90°，CAD=37°，AD= AB=AD+DB=140， ，x=60答：湛河的宽度约 60 米 【解析】【分析】过 C 作 CDAB 于点 D，设 CD=x 米，在 RtBDC 中，CDB=90°，CBD=45°，根据等腰三角形的性质可得 BD=CD=x ，在 RtADC 中，ADC=90°，CAD=37°，由 tanCAD=tan37°=,所以 AD=,而由题意得 AB=AD+DB=140，所以+ x = 140，解得 x=601822.已知:在平面直角坐标系中,点 0 为坐标原点,点 A 在 x 轴的负半轴上,直线 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点,四边形 ABCD 为菱形.（1）如图 1，求点 A 的坐标； （2）如图 2,连接 AC,点 P 为ACD 内一点,连接 AP、BP,BP 与 AC 交于点 G,且APB=60°,点 E 在线段 AP上,点 F 在线投 BP 上,且 BF=AE.连接 AF、EF,若AFE=30°,求 AF +EF 的值; （3）如图 3 在(2)的条件下,当 PE=AE 时,求点 P 的坐标. 【答案】（1）解：如图 1 :BO= ，CO= 在 RBCO 中四边形 ABCD 为菱形AB=BC=7AO=AB-BO= （2）解：如图 2AO= =BO，COABAC=BC=7AB=AC=BCABC 为等边三角形ACB=60°,APB=60°APB=ACBPAG+APB=AGB=CBG+ACBPAG=CBG 连接 CE、CFAE=BFACEBCF19CE=CFACE=BCFECF=ACF+ACE=ACF+BCF=ACB=60°CEF 为等边三角形CFE=60°EF=FCAFE=30°AFC=AFE+CFE=90°在 RtACF 中AF2+CF2=AC2=72=49AF2+EF2=49（3）解：如图由(2)知CEF 为等边三角形CEF=60°EC=EF 延长 CE、FA 交于点 HAFE=30°CEF=H+EFHH=CEF-EFH=30°H=EFHEH=EFEC=EH 连接 CPPE=AECEP=HEACPEHAEPCE=H:CPFHHFP=CPF 在 BP 上截取 TB=AP连接 TC 由(2)知CAP=CBTAC=BC,ACPBCTCP=CTACP=BCTPCT=ACP+ACT=BCT+ACT=ACB=60CPT 为等边三角形CT=PTCPT=CTP=60°CPFHHFP=CPIT=60°APB=60°APB=AFPAP=AFAPF 为等边三角形CFP=AFC-AFP=90°-60°=30°TCF=CTP-TFC=60°-30°=30°TCF=TFCTF=TC=TP连接 AT 则 ATBP 设 BF=m 则 AE=PE=mPF=AP=2m.TF=TP=m TB=2m BP=3m在 RtAPT 中 AT= 在 RtABT 中,AT2+TB2=AB2 m1=- (舍去)m2= 20BF= ,AT= ,BP=3 , 作 PQAB 垂足为点 Q,作 PKOC,垂足为点 K,则四边形 PQOK 为矩形则 OK=PQ=BP·sinPBQ=3 x2=3 【解析】【分析】（1）先求出直线 BC 与两坐标轴的交点 B、C 的坐标，再利用勾股定理求出 BC 的长，根据菱形的性质得出 AB=BC，然后求出 AO 的长，就可得出点 A 的坐标。（2）根据点 A、B 的坐标，可证得ABC 是等边三角形，可得出 AC=AB，再证明PAG=CBG，根据已知AE=BF，就可证得ACEBCF，得出 CE=CF,ACE=BCF，然后证明AFC=90°，在 RtACF 中，利用勾股定理就可结果。（3）延长 CE、FA 交于点，根据等边三角形的性质及已知条件，先证明 EC=EH，连接 CP，易证CPEHAE，得出PCE=H，根据平行线的性质，可得出HFP=CPF，在 BP 上截取 TB=AP，连接 TC，证明ACPBCT，根据等边三角形的性质及平行线的性质，去证明 TF=TC=TP，连接 AT，得出 ATBP，设BF=m,AE=PE=m,再根据勾股定理求出 m 的值，作 PQAB，PKOC，可得出四边形 PQOK 是矩形，利用解直角三角形求出 PQ 的长，就可求出 BQ、OQ 的长，从而可得出点 P 的坐标。