高等代数第一学期总复习课件.ppt

第一章 多项式 一元多项式理论，主要讨论了三个问题：一元多项式理论，主要讨论了三个问题：三、根的理论三、根的理论(多项式函数多项式函数,根的个数根的个数)。一、整除性理论一、整除性理论(整除整除,最大公因式最大公因式,互素互素)；二、因式分解理论二、因式分解理论(不可约多项式不可约多项式,典型分典型分 解式解式,重因式重因式)；其中整除性是基础，因式分解是核心。其中整除性是基础，因式分解是核心。一、基本概念一、基本概念.(3)(3)多多项项式乘式乘积积的常数的常数项项(最高次最高次项项系数系数)等于因子的常数等于因子的常数项项(最高次最高次项项系数系数)的乘的乘积积。2 2基本基本结论结论:(1)(1)多多项项式的加法式的加法,减法和乘法减法和乘法满满足一些运足一些运 算算规规律律.1.1.一元多一元多项项式式(零多零多项项式式),),多多项项式的次数。多式的次数。多项项 式的相等，多式的相等，多项项式的运算，一元多式的运算，一元多项项式式环环。(2)(2)二、整除性理二、整除性理论论g(x)除除f(x)的余式的余式r(x)=0。(2)设设1.整除的概念及其基本性质整除的概念及其基本性质.2.带余除法带余除法.(1)带余除法定理带余除法定理.多多项项式的整除性不因数域的式的整除性不因数域的扩扩大而改大而改变变.1).1).任一多项式整除它自身；任一多项式整除它自身；零多项式能被任一多项式整除；零多项式能被任一多项式整除；零次多项式整除任一多项式零次多项式整除任一多项式整除的性质整除的性质.2)2)若若 ，则，则3)3)若若则则 4)4)若若 5)5)若若 则对则对 有有 3.综合除法综合除法 去除去除 求一次多项式求一次多项式 的商式及余式的商式及余式 把把 表成表成 的方幂和的方幂和.4.4.最大公因式和互素最大公因式和互素.(3)设设d(x)是是f(x)与与g(x)的最大公因式的最大公因式,则则(1)最大公因式最大公因式,互素的概念互素的概念.(2)最大公因式的存在性和求法最大公因式的存在性和求法-辗转相除法辗转相除法.反之不然反之不然.(f(x),g(x)=(g(x),r(x)(6)多个多项式的互素多个多项式的互素.(7)最小公倍式最小公倍式.(2).(2).不可不可约约多多项项式式p(x)有下列性有下列性质质:(3).(3).整系数多整系数多项项式在有理数域上可式在有理数域上可约约 它在整数环上可约它在整数环上可约.(4).(4).艾森斯坦判断法艾森斯坦判断法.三、三、因式分解理因式分解理论论1.1.不可不可约约多多项项式式(1).(1).不可不可约约多多项项式的概念式的概念.2.因式分解的有关结果因式分解的有关结果:(1)因式分解及唯一性定理因式分解及唯一性定理.(2)次数大于零的复系数多项式都可以分解次数大于零的复系数多项式都可以分解 成一次因式的乘积成一次因式的乘积.(3)次数大于零的实系数多项式都可以分解次数大于零的实系数多项式都可以分解 成一次因式和二次不可约因式的乘积成一次因式和二次不可约因式的乘积.(2).若不可若不可约约多多项项式式p(x)是是f(x)的的k重因式重因式 (k1)。则。则p(x)是是f(x)的的k-1重因式。重因式。(3).(3).f(x)没有没有重因式重因式(4)(4)消去重因式的方法消去重因式的方法:是一个没有重因式的多是一个没有重因式的多项项式式,它与它与f(x)具有完全相同具有完全相同的不可约因式的不可约因式.3.重因式重因式(1).重因式的概念重因式的概念.1.多项式函数多项式函数,根和重根的概念。根和重根的概念。四、多项式根的理论四、多项式根的理论2.2.余数定理：余数定理：x-c去除去除f(x)，所得的余式，所得的余式为为常数。常数。5.代数基本定理：每个代数基本定理：每个n(n1)次复系数多次复系数多项项式式 在复数域中至少有一个根。因而在复数域中至少有一个根。因而n次复系数多次复系数多 项式恰项式恰n有有个复根个复根(重根按重数重根按重数计计算算)。3.有理系数多项式的有理根的求法。有理系数多项式的有理根的求法。4.实实系数多系数多项项式虚根成式虚根成对对定理。定理。7.7.根的个数定理：根的个数定理：P x 中中n(n0)0)次多次多项项式式 在数域在数域P中至多有中至多有n个根。个根。难难点点:最大公因式的概念最大公因式的概念,多多项项式的整除式的整除,互素和不可互素和不可约约多多项项式等概念之式等概念之间间的的 联联系与区系与区别别。6.6.韦韦达定理。达定理。8.多项式函数相等与多项式相等是一致的。多项式函数相等与多项式相等是一致的。重点重点:一元多项式的因式分解理论。一元多项式的因式分解理论。f(X)g(X)x4+x3-x2-2x+1x3+2x2 -3q1(X)x4+2 x3 -3x-x3-x2+x+1-x3-2x2 +3r1(x)=x2 +x -2 q2(X)x3 +x2 -2x x2 +2x -3 x2 +x -2 r2(x)=x -1=(x-1)(x+2)所以(f,g)=r2(x)=x -1=x-1=x+1多项式的根和系数的关系.二、三阶行列式二、三阶行列式推广推广（对角线法则）逆序数对换 n 阶行列式阶行列式定义性质展开解方程组（利用代数余子式）（Cramer法则）第二章第二章 行列式行列式逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为，逆序数为偶数的排列称为偶数的排列称为偶排列偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆逆序数序数逆序数定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数对换n 阶行列式的定义共七个性质，一定要熟记且能灵活运用。共七个性质，一定要熟记且能灵活运用。）余子式与代数余子式）余子式与代数余子式行列式按行（列）展开：定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即数余子式乘积之和，即2)行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则3）关于代数余子式的重要性质）关于代数余子式的重要性质Cramer 法则Cramer 法则的理论价值法则的理论价值定理定理定理定理定理定理定理定理第三章第三章 线性方程组线性方程组一、一、.向量的向量的线线性关系性关系 n维维向量，向量的向量，向量的线线性运算，性运算，线线性性组组合，合，线线性表出，性表出，线线性相关，性相关，线线性无关，极大性无关，极大线线性无关性无关组组，向量，向量组组的秩，向量的秩，向量组组等价等价.1基本概念：基本概念：2 主要主要结论结论：的充要条件是其中有一个向量是可以的充要条件是其中有一个向量是可以由其余的向量由其余的向量线线性表出性表出.1)向量向量组组 线线性相关性相关2）设设向量向量组组,线线性无关，而性无关，而线线性相关，那么性相关，那么向量向量组组可由可由线线性表出，性表出，而且表示法唯一而且表示法唯一.3)设设向量向量组组中每一个向量中每一个向量必必线线性相关性相关.的的线线性性组组合，合，都是向量都是向量组组，那么向量，那么向量组组而且而且3.向量组线性相关的判定：向量组线性相关的判定：1)根据定义；根据定义；2)计算以向量组为行计算以向量组为行(列列)的矩阵的秩；的矩阵的秩；二、矩阵的秩二、矩阵的秩2.矩阵的初等变换矩阵的初等变换1)初等变换不改变矩阵的秩；初等变换不改变矩阵的秩；2)用初等变换计算矩阵的秩；用初等变换计算矩阵的秩；1.矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩=矩阵行矩阵行(列列)向量组的秩，向量组的秩，矩阵的行矩阵的行(列列)秩秩=不为零的子式的最大不为零的子式的最大级数级数.三、线性方程组的解的情形三、线性方程组的解的情形 有解的充要条件是它的系数矩有解的充要条件是它的系数矩阵阵与增广矩与增广矩阵阵有相同有相同的秩的秩.(1)1.线性方程组有解的判定：线性方程组有解的判定：1)当当R(A)=R()=n，方程组方程组(1)有唯一解；有唯一解；2）当）当R(A)=R()=rn，方程组方程组(1)有无有无穷多解穷多解.3齐次线性方程组的解的情形：齐次线性方程组的解的情形：总是有解总是有解.(2)2.线线性方程性方程组组的解的个数：的解的个数：1)当当R(A)=n，方程组方程组(2)只有零解；只有零解；2）当）当R(A)=rn，方程组方程组(2)有非零解有非零解.四、四、线线性方程性方程组组的解的的解的结结构构1)1)齐齐次次线线性方程性方程组组的基的基础础解系解系.2)2)当当R(A)=rn，方程组方程组(2)的任意的任意n-r个个线线性无关的解向量性无关的解向量 都是它它的基的基础础解系，解系，(2)的全部解可表示的全部解可表示为为：其中其中 是任意的数是任意的数.3）当）当R(A)=R()=rn，如果，如果 是是线线性性方程组方程组(1)的一个特解，的一个特解，是是(1)的相应的相应导出组导出组(2)的基础解系，那么线性方程组的基础解系，那么线性方程组(1)的任一个解的任一个解 都可表示为：都可表示为：其中其中 是任意的数是任意的数.对于非齐次线性方程组对于非齐次线性方程组:一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩二、求向量组的秩三、基础解系的证法三、基础解系的证法四、解向量的证法四、解向量的证法典型例题一、向量组线性关系的判定 线性相关与线性无关还可以通过线性表出的概念来线性相关与线性无关还可以通过线性表出的概念来体现，即看其中有无某个向量体现，即看其中有无某个向量(不是任意一个向量不是任意一个向量)，可，可由其余向量线性表出？此外，还应注意到：线性相关与由其余向量线性表出？此外，还应注意到：线性相关与线性无关是对立的两个概念，据此，在论证某些相关型线性无关是对立的两个概念，据此，在论证某些相关型问题时，我们往往采用反证法。问题时，我们往往采用反证法。研研 究究 这这 类类 问问 题题 一一 般般 有有 两两 个个 方方 法法方方法法1 1 从从 定定 义义 出出 发发整整理理得得线线性性方方程程组组方方法法利利用用矩矩阵阵的的秩秩与与向向量量组组的的秩秩之之间间关关系系判判定定例例研研究究下下列列向向量量组组的的线线性性相相关关性性解解一一整整理理得得到到解解二二分分析析证证明明证证明明向向量量组组的的一一个个部部分分组组构构成成最最大大线线性性无无关关组组的的基基本本方方法法就就是是：分析分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系相联系证证明明由于由于 线性无关，于是有线性无关，于是有 设设即即 例例3已知向量组已知向量组 线性无关，向量线性无关，向量证明：证明：线性无关线性无关.解之得解之得 所以所以 线性无关线性无关.证：证：求求一一个个向向量量组组的的秩秩，可可以以把把它它转转化化为为矩矩阵阵的的秩秩来来求求，这这个个矩矩阵阵是是由由这这组组向向量量为为行行（列列）向向量量所所排排成成的的如果向量组的向量以列（行）向量的形式给如果向量组的向量以列（行）向量的形式给出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，而且可以求出最大线性无关组而且可以求出最大线性无关组二、求向量组的秩若若矩矩阵阵 经经过过初初等等行行（列列）变变换换化化为为矩矩阵阵 ，则则 和和 中中任任何何对对应应的的列列（行行）向向量量组组都都有有相相同同的的线线性性相相关关性性解解例例5设设1）证明：）证明：线性无关线性无关.2）把）把扩充成一个极大无关组扩充成一个极大无关组.1）证：）证：由于不成比例，由于不成比例，2）解：）解：线性无关线性无关.由由即即为自由未知量为自由未知量.解得解得线性相关线性相关.即即 可经线性表出可经线性表出.由由解得解得线性无关线性无关.即即 不能由线性表出不能由线性表出.即即知，知，再由行列式再由行列式存在不全为零的数使存在不全为零的数使线性相关线性相关.故即为由故即为由 扩充的一个极大无关组扩充的一个极大无关组.要要证证明明某某一一向向量量组组是是方方程程组组的的基基础础解解系系，需需要要证证明明三三个个结结论论:例例证证明明与与基基础础解解系系等等价价的的线线性性无无关关的的向向量量组组也也是是基基础础解解系系三、基础解系的证法分析分析(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示方程组的任一解均可由该向量组线性表示(1)该组向量都是方程组的解；该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；该组向量线性无关；证证明明注注 当当线线性性方方程程组组有有非非零零解解时时，基基础础解解系系的的取取法法不不唯唯一一，且且不不同同的的基基础础解解系系之之间间是是等等价价的的四、解向量的证法证证明明注注意意(1)本本例例是是对对非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的解解的的结结构构作作进进一一步步的的分分析析和和讨讨论论，即即非非齐齐次次线线性性方方程程组组一一定定存存在在着着个个线线性性无无关关的的解解，题题中中(2)的的 证证 明明 表表 明明 了了 它它 的的 存存 在在 性性(3)对对非非齐齐次次线线性性方方程程组组，有有时时也也把把如如题题中中所所给给的的个个解解称称为为的的基基础础解解系系，所所不不同同的的是是它它的的线线性性组组合合只只有有当当线线性性组组合合系系 数数 之之 和和 为为1时时，才才 是是 方方 程程 组组 的的 解解(2)对对齐齐次次线线性性方方程程组组，当当时时，有有无无穷穷多多组组解解，其其中中任任一一解解可可由由其其基基础础解解系系线线性性表表示示第四章第四章 矩阵矩阵一一.主要内容主要内容1.矩阵的定义矩阵的定义简记为简记为实矩阵实矩阵:元素是实数元素是实数复矩阵：复矩阵：元素是复数元素是复数一些特殊的矩阵：一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、对角阵、数量阵、单位阵数量阵、单位阵.2.矩阵的基本运算矩阵的基本运算同型矩阵：同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵的行数相等、列数也相等.矩阵相等矩阵相等:两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等.矩阵加矩阵加(减减)法：法：两个同型矩阵，对应元素相加两个同型矩阵，对应元素相加(减减).加法满足加法满足数乘满足数乘满足数与矩阵相乘：数与矩阵相乘：数数 与矩阵与矩阵 的乘积记作的乘积记作 或或 ，规定为，规定为矩阵与矩阵相乘：矩阵与矩阵相乘：设设规定规定其中其中乘法满足乘法满足矩阵乘法不满足：矩阵乘法不满足：交换律、消去律交换律、消去律 A是是n 阶方阵，阶方阵，方阵的幂：方阵的幂：方阵的多项式：方阵的多项式：并且并且（m,k为正整数）为正整数）方阵的行列式：方阵的行列式：满足满足:转置矩阵转置矩阵:一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵:把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .满足：满足：对称矩阵和反对称矩阵：对称矩阵和反对称矩阵：伴随矩阵：伴随矩阵：行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵3.逆矩阵逆矩阵定义：定义：A为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵,使得使得则称矩阵则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵矩阵B称为矩阵称为矩阵A的逆矩阵。的逆矩阵。唯一性：唯一性：若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.判定定理判定定理:n阶方阵阶方阵A可逆可逆且且推论：推论：设设A、B为同阶方阵，若为同阶方阵，若则则A、B都可逆，且都可逆，且满足规律：满足规律：逆矩阵求法：逆矩阵求法：（1）待定系数法）待定系数法（2）伴随矩阵法）伴随矩阵法（3）初等变换法）初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似4.分块矩阵分块矩阵5.5.初等变换初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换对换变换、倍乘变换、倍加变换初初等等变变换换 逆逆变变换换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换初等变换矩阵的等价：矩阵的等价：初等矩阵：初等矩阵：由单位矩阵由单位矩阵E E经过一次初等变换得到的方阵经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵称为初等矩阵.如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵就称矩阵A与矩阵与矩阵B等价。记作等价。记作三种初等变换对应着三种初等方阵：三种初等变换对应着三种初等方阵：初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵6.初等矩阵初等矩阵初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。7.初等矩阵与初等变换的关系：初等矩阵与初等变换的关系：初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵定理：定理：8.用初等变换法求矩阵的逆矩阵用初等变换法求矩阵的逆矩阵可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵.定理：定理：可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积推论推论1：推论推论2：如果对可逆矩阵如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵和同阶单位矩阵 作同样的初等作同样的初等行变换，那么当行变换，那么当 变成单位矩阵变成单位矩阵 时，时，就变成就变成 。即，即，9.解矩阵方程的初等变换法解矩阵方程的初等变换法或者或者1.矩阵的基本运算矩阵的基本运算2.方阵的幂方阵的幂3.逆矩阵的求解、证明逆矩阵的求解、证明4.矩阵方程矩阵方程5.矩阵的分块运算矩阵的分块运算二二.典型例题典型例题1.矩阵的基本运算矩阵的基本运算例例1：设矩阵：设矩阵求与求与A可交换的所有矩阵。可交换的所有矩阵。分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求解：设所求矩阵为解：设所求矩阵为由由得得其中其中a，b为实数为实数例例2：设：设求求的行列式。的行列式。分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算解：解：例例3：设：设 4 阶方阵阶方阵其中其中 均为均为 4 维列向量，且已知行列式维列向量，且已知行列式求行列式求行列式分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求解：解：2.方阵的幂方阵的幂例例4：设：设求求解解：（递推法）（递推法）所以，当所以，当 时时当当 时时例例5：已知：已知求求 与与解：解：又又3.逆矩阵的求解、证明逆矩阵的求解、证明例例6:求求A的逆矩阵的逆矩阵解：解：注意注意:用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换其间不能作任何行变换4.矩阵方程矩阵方程例例7:解矩阵方程解矩阵方程其中其中 均为可逆矩阵。均为可逆矩阵。注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系，的位置关系，例如解例如解AX=B,需先考察需先考察A是否可逆，只有是否可逆，只有A可逆才可以解可逆才可以解此矩阵方程，在方程两边同时左乘此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘，的逆，而不能右乘，因为矩阵乘法不满足交换律。因为矩阵乘法不满足交换律。矩阵方程矩阵方程解解例例8:8:解：解：（用初等变换法）（用初等变换法）5.矩阵的分块运算矩阵的分块运算设设n阶矩阵阶矩阵A及及s阶矩阵阶矩阵B都可逆，求都可逆，求解：设所求逆矩阵为解：设所求逆矩阵为则则例例11:11:解解:（）根据分块矩阵的乘法，得（）根据分块矩阵的乘法，得（）由（）可得（）由（）可得