九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》解答题专题提升训练.docx

九年级数学中考复习轴对称最短路径问题解答题专题提升训练（附答案）1如图，在ABC中，已知ABAC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE（1）若ABC68°，求AED的度数；（2）若点P为直线DE上一点，AB8，BC6，求PBC周长的最小值2如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，3），B（1，2）（1）请在x轴上画出点C，使|ACBC|的值最大（2）点C的坐标为 ，|ACBC|的最大值为 3探究：如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B，点D作ABBD，EDBD，分别连接AC，EC已知AB5，ED1，BD8设CDx（1）AC+CE的值为 （用含x的代数式表示）（2）请问：当点A、C、E 时，AC+CE的值最小，最小值为 （3）根据（2）中的规律和结论，请构图并求出代数式+的最小值4在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是3km和2km，ABakm（a1）现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1PB+BA（km）（其中BPl于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2PA+PB（km）（其中点A'与点A关于l对称，A'B与l交于点P）观察计算：（1）在方案一中，d1 km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小强为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小强同学的思路计算，d2 km（用含a的式子表示）探索归纳：（3）当a4时，比较大小：d1 d2（填“”、“”或“”）；当a6时，比较大小：d1 d2（填“”、“”或“”）；（4）请你把a（当a1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，如何对这两个方案进行选择？5如图，RtABC中，C90°，AB15，AC12，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DFCB，交CB的延长线于点F，连接BE（1）求证：ABCBDF；（2）M，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，MN，求AN+MN的最小值6已知：M、N分别是AOB的边OA、OB上的定点，（1）如图1，若OOMN，过M作射线MDOB（如图），点C是射线MD上一动点，MNC的平分线NE交射线OA于E点试探究MEN与MCN的数量关系；（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点AOB20°，当MP+PQ+QN取得最小值时，求OPM+OQN的值7如图，等边ABC（三边相等，三个内角都是60°的三角形）的边长为10cm，动点D和动点E同时出发，分别以每秒1cm的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为ts，0t10，DC和BE交于点F（1）在运动过程中，CD与BE始终相等吗？请说明理由：（2）连接DE，求t为何值时，DEBC；（3）若BMAC于点M，点P为BM上的点，且使PD+PE最短当t7s时，PD+PE的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由8RtABC中，B90°，AB2，BC4，AC的中垂线DE交AC于D，交BC于点E（1）如图1，连接AE，则AE ；（2）如图2，延长DE交AB的延长线于点F，连接CF，请求出CF的长；（3）如图3，点P为直线DE上一动点，点Q为直线AB上一动点，则BP+PQ的最小值为 9如图，ABC内接于半径为2的O，其中ABC45°，ACB60°，CD平分ACB交O于D，点M、N分别是线段CD、AC上的动点，求MA+MN的最小值10最值问题（1）如图1，在ACB中，有一点P在AC上移动，若ABAC5，BC6，求AP+BP+CP的最小值（2）如图2，在RtABC中，ACB90°，ACBC，点M在AC边上，且AM2，MC6，动点P在AB边上，连接PC、PM，能使PC+PM的长度最短请通过画图指出点P的位置求出PC+PM的最短长度11如图，在ABC中ABAC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EGAE，过点G作GDBA分别交BC，AC于点F，D（1）求证：ABEGFE；（2）若GD3，CD1，求AB的长度；（3）过点D作DHBC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若C45°，在（2）的条件下，求AFP周长的最小值12如图，直线ab，点A，点D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CDa于点C，交射线AB于点E，AB12cm，AE：BE1：2，P为射线AB上一动点，P从A点开始沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD（1）当tm为何值时，PC+PD有最小值，求m的值；（2）当tm（m为（1）中的取值）时探究PCM、PDA与CPD的关系，并说明理由；（3）当tm（m为（1）中的取值）时，直接写出PCM、PDA与CPD的关系13河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G在AG上取AEFG，连接EB，EB交MN于D在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由14如图1，点P是正方形ABCD对角线BD上一点（不与B，D重合），PEBC于点E，PFCD于点F，连接PA、EF（1）请探究线段AP与线段EF的大小关系；（2）如图2，若AB4，点H是AD的中点，求AP+HP的最小值15如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC6cm，BD8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E（1）判断四边形BOCE的形状并证明；（2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当SABG2SOBG时，求t的值（3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG+BH的最小值16问题提出：（1）如图，在ABC中，AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，若AD3，则AE的最小值为 ；（2）如图，在等腰ABC中，ABAC，BAC120°，DE是AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E，DE1cm，求ABD的周长；问题解决：（3）如图，某公园管理员拟在园内规划一个ABC区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路AB、BC和AC，满足BAC90°，点A到BC的距离为2km为了节约成本，要使得AB、BC、AC之和最短，试求AB+BC+AC的最小值（路宽忽略不计）17如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如图2）；方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间（即点Q在线段CD上），当DQ为多少时？ABQ为等腰三角形，请直接写出结果18如图，在三角形ABC中，ABAC，BAC120°，ADBC，垂足为D，P为AD上的动点，Q在BA的延长线上，且CPQ60°（1）如图，当P与A、D不重合时，PC与PQ的数量关系是什么？说明理由；（2）M为BC上的动点，N为AB上的动点，BC5，直接写出AM+MN的最小值19在ABC中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使ADAE，DAEBAC，连接CE（1）如图，若ADE60°，ABAC2，点D在线段BC上，BCE和BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；（2）若BAC60°，当点D在射线BC上移动，如图，则BCE和BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由20【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c显然，DABB90°，ACDE请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形ABCD ，SEBC ，S四边形AECD ，则它们满足的关系式为 ，经化简，可得到勾股定理【知识运用】（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），ADAB，BCAB，垂足分别为A、B，AD25千米，BC16千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB40千米，AD24千米，BC16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PCPD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最小值（0x16）参考答案1解：（1）ABAC，ABC68°，CABC68°，A180°CABC180°68°68°44°，DE垂直平分AB，ADE90°，AED90°A90°44°46°；（2）当点P与点E重合时，PBC的周长最小，理由：PB+PCPA+PCAC，当点P与点E重合时，PA+PCAC，此时PB+PC最小值等于AC的长，PBC的周长最小值AC+BCAB+BC8+6142解：（1）如图所示；（2）设直线AB的解析式为ykx+b，把A（4，3），B（1，2）代入得，解得，直线AB的解析式为yx+，令y0，则0x+，解得x5，C（5，0），AB，|ACBC|的最大值为，故答案为：（5，0），3解：（1）AC+CE+，故答案为：+；（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，连接AE则DFAB5，AFBD8，EFED+DF5+16，所以AE10，则AC+CE的最小值为10故答案为：三点共线，10；（3）如图2所示，作BD12，过点B作ABBD，过点D作EDBD，使AB2，ED3，连接AE交BD于点C，设BCx，则AE的长即为代数式+的最小值过点A作AFBD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则ABDF2，AFBD12，EFED+DF3+25，所以AE13即代数式+的最小值为134解：（1）如图1，作A关于执行l的对称点A，连接PA，A和A'关于直线l对称，PAPA'，d1PB+BAPB+PA'a+2；故答案为：a+2；（2）因为BK2a21，A'B2BK2+A'K2a21+52a2+24，所以d2；故答案为：；（3）当a4时，d16，d2，d1d2；当a6时，d18，d2，d1d2；故答案为：，；（4）d12d22（a+2）2（）24a20当4a200，即a5时，d12d220，d1d20，d1d2；当4a200，即a5时，d12d220，d1d20，d1d2；当4a200，即a5时，d12d220，d1d20，d1d2；综上可知：当a5时，选方案二；当a5时，选方案一或方案二；当1a5时，选方案一5（1）证明：在RtABC中，C90°，DFCB，CDFB90°四边形ABDE是正方形，BDAB，DBA90°，DBF+ABC90°，CAB+ABC90°，DBFCAB，在BDF与ABC中，BDFABC（AAS）；（2）解：AB15，AC12，BC9，ABCBDF，DFBC9，BFAC12，FCBF+BC9+1221如图，连接DN，顶点A与顶点D关于BE对称，ANDN如使得AN+MN最小，只需D、N、M在一条直线上，由于点M、N分别是AC和BE上的动点，作DM1AC，交BE于点N1，垂足为M1，DFAC，AN+MN的最小值等于DM1FC216解：（1）设OOMN，MNB2，MDOB，AMD，NE平分MNC，MNEENC，设MNE，CNB22，MDOB，MCN22，EMC+MENENC+MCN，+22+MEN，MEN，2MENMCN；（2）作M点关于OB的对称点M'，N点关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q，连接ON'、OM'，MP+PQ+QNM'N'，此时MP+PQ+QN的值最小，由对称性可知，OQN'OQN，OPM'OPM，OPM'AOB+OQPAOB+（180°OQN'），AOB20°，OM'P200°OQN'，OPM+OQN200°7解：（1）由已知可得ADt，ECt，ADCE，ABC是等边三角形AACB60°，BCAC，ADCCEB（SAS），BECD，CD与BE始终相等；（2）DEBC，ABAC10，ADAE，t10t，t5；（3）BMAC，BM平分ABC，作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，DPD'P，DP+PED'P+PED'E，t7，AEBD3，ADCE7，DD'BM，BMAC，DD'AC，BDBD'，ABC60°，DD'3，四边形ADD'E是平行四边形，ADD'E7，PD+PE的最小值为78解：（1）DE是AC的中垂线，AECE，设AECEx，则BEBCCE4x，在RtABE中，由勾股定理得：22+（4x）2x2，解得：x，即AE，故答案为：；（2）DE是AC的中垂线，AFCF，设AFCFy，则BFy2，在RtBCF中，由勾股定理得：（y2）2+42y2，解得：y5，即CF的长为5；（3）方法一：连接CF，过B作BMCF于M，交直线DE于P'，过P'作P'Q'BF于Q'，如图3所示：DE是AC的中垂线，AFCF，AFDCFD，P'MCF，P'Q'BF，P'MP'Q'，则点M与Q'关于DE对称，此时BMBP'+P'MBP'+P'Q'，即BP+PQ的值最小BM，由（2）得：AFCF5，AB2，BFAFAB3，CBF180°ABC90°，BCF的面积CF×BMBF×BCBM，即BP+PQ的最小值为，故答案为：方法二：作点B关于DE的对称点H，交DF于G，过点H作HQAB于Q，交DE于点P，如图4所示：则点P、Q就是使BP+PQ最小的点，由对称得：AFDCFD，AFDHFD，BPHP，FBFH，CFDHFD，点C、H、F三点共线BP+PQHP+PQHQ，由“垂线段最短”得：BP+PQ的最小值为HQ在等腰BFH中，FBFH，HQBF过B作BMCF于M，HQBM（等腰三角形两腰上的高相等） 由方法一得：BMBP+PQ的最小值为故答案为：9解：连接OA，OC，ABC45°，OAOC2，AOC90°，AC2过点A作AEAC，交CD于点E，过点E作EABC于点A过点A作ANAC于点N，CD平分ACB交O于D，点A与点A关于直线CD对称，AN的长即为MA+MN的最小值，ACAC2，ACB60°，ANACsin60°2×，即MA+MN的最小值是10解：（1）从B向AC作垂线段BP，交AC于P，设APx，则CP5x，在RtABP中，BP2AB2AP2，在RtBCP中，BP2BC2CP2，AB2AP2BC2CP2，52x262（5x）2，解得x1.4，在RtABP中，AP+BP+CPAC+BP5+4.89.8故答案为：9.8（2）如图，过点C作COAB于O，延长BO到C'，使OC'OC，连接MC'，交AB于P，则点P为所求；此时MCPM+PC'PM+PC的值最小，连接AC，COAB，ACBC，ACB90°，COOC'，COAB，ACCAAM+MC8，OCAOCA45°，C'AC90°，CAAC，PC+PM的最小值为，故答案为：11（1）证明：如图1中，GDAB，BEFG，在ABE和GFE中，ABEGFE（AAS）（2）解：如图1中，ABAC，BACB，DFAB，DFCB，DFCDCF，DCDF1，DG3，FGDGDF2，ABEGFE，ABGF2（3）解：如图2中，ABAC2，BC45°，BAC90°，ABFD，FDCBAC90°，即FDACACAB2，CD1，DADC，FAFC，CFAC45°，AFC90°，DFDADC1，AF，DHCF，FHCH，点F与点C关于直线PD对称，当点P与D重合时，PAF的周长最小，最小值ADF的周长2+ 12解：（1）在PCD中，PC+PDCD，当取等号时，P，C，D在同一条直线上，即点P与点E重合，此时PC+PD最小，APAE，AE：BE1：2，AB12cm，AEAB4cm，t4s，故m4时，PC+PD有最小值；（2）当tm即t4时，点P在AE上，过点P作PHa，如图：又ab，PHab，PCMCPH，PDADPH，PCM+PDACPH+DPH，CPDCPH+DPH，PCM+PDACPD，当t4时，PCM+PDACPD；（3）当tm即t4时，点P在BE上，过点P作PHa，如图：又ab，PHab，PCM+CPH180°，PDA+DPH180°，PCM+CPH+PDA+DPH360°，又CPDCPH+DPH，PCM+CPD+PDA360°，即当12t4时，PCM+CPD+PDA360°当t12时，同法可得PCMCPD+PDA综上所述，t4时，PCM+CPD+PDA360°或PCMCPD+PDA13解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：AC+CD+DB（ED+DB）+CDEB+CD而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短14解：（1）过点P作PGAB于点G，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），GBGP，同理：PEBE，ABBCGF，AGABGB，FPGFGPABGB，AGPF，在AGP和FPE中，AGPFPE（SAS），APEF；（2）取CD的中点G，连接AG，交BD于P，四边形ABCD是正方形，H是AD的中点，G是CD的中点，H、G关于BD对称，由轴对称确定最短路线问题，点P即为所求作的使AP+HP最小的点，AP+HP的最小值为AG的长度，AB4，AD4，DG2，AG2，AP+HP的最小值为215解：（1）结论：四边形BOCE是矩形理由：BEOC，ECOB，四边形OBEC是平行四边形，四边形ABCD是菱形，ACBD，BOC90°，四边形BOCE是矩形（2）如图2中，四边形ABCD是菱形，OAOC3cm，OBOD4cm，SABG2SOBG，AG2OG，2t2（32t）或2t2（2t3），解得t1或t3，满足条件的t的值为1或3（3）如图2中，设OGx，则BG+BH+，欲求BG+BH的最小值，相当于在x轴上找一点P（x，0），使得点P（x，0）到A（0，4）和B（3，4）的距离最小，如图3中，作点B关于x轴的对称点B，连接AB交x轴于P，连接BP，此时PA+PB的值最小，A（0，4），B（3，4），AP+PBAP+PBAB，BG+BH的最小值为16解：（1）AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，AD3，则AE的最小值为3，故答案为：3；（2）ABAC，BAC120°，BC（180°120°）30°，DE是AC的垂直平分线，ADCD，DACC30°，BADBACDAC120°30°90°，在RtCDE中，DE1cm，ADCD2DE2cm，在RtABD中，BD2AD2CD4（cm），ABADtan60°2（cm），ABD的周长为：AD+BD+AB2+4+26+2（cm）（3）延长CB到点D，使得ABDB，延长BC到点E，使得CEAC，连接AD、AE，ADBDABABC，AECCAEACB，AB+BC+ACDB+BC+CEDE，DE的最小值即为AB+BC+AC的最小值DAB+CAE（ABC+ACB）（180°BAC）45°，DAEDAB+CAE+BAC135°，以DE为斜边向下作等腰直角三角形ODE，以点O为圆心，OD为半径作圆O，EAD180°DOE135°，点A在弦DE所对的劣弧，过点A作APDE于P，过点O作OHDE于H，连接OA，则AP2，设DHx，则DE2x，OHx，OAODx，则AP+OHAO，可得2+xx，xDE的最小值为2x4+4AB+BC+AC的最小值为（4+4）km17解：（1）方案1：AC+AB1+56，方案2：，方案1更合适；（2）（方法不唯一）如图，若AQ1AB5或AQ4AB5时，（或）4（不合题意，舍去）若ABBQ25或ABBQ55时，当AQ3BQ3时，设DQ3x，则有x2+42（4x）2+128x1，即：；故当DQ3或时，ABQ为等腰三角形18解：（1）PQPC，理由：如图1，连接BP，ABAC，ADBC，AD是BC的垂直平分线，BPPC，BPDCPD，ABAC，ADBC，DACBAC60°，APQ180°DAQBQP180°120°BQP60°BQP，APQ+CPQ+DPC180°，DPC180°APQCPQ180°（60°BQP）60°60°+BQP，DBP90°BPD90°DPC90°（60°+BQP）30°BQP，DBP+PBQ30°，PBQ30°DBP30°（30°BQP）BQP，BPPQ，BPPC，PQPC；（2）如图2，作A关于BC的对称点A'，作A'NAB于点N，交BC于点M，则此时AM+MN的值最小，且AM+MNA'N，ABAC，BAC120°，BAD60°连接A'B，A'BA是等边三角形，A'NBD，即：AM+MN的最小值是19解：（1）BCE+BAC180°；如图1ABDACE，BDEC，四边形ADCE的周长AD+DC+CE+AEAD+DC+BD+AEBC+2AD，当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，即ADBC时，周长最小；ABAC，BDBC1；（2）BCE+BAC180°；理由如下：如图2，AD与CE交于F点，BACDAE，BADCAE，ABAC，ADAE，ABDACE，ADBAEC，AFECFD，EAFECD，BACFAE，BCE+ECD180°，BCE+BAC180°；20解：【小试牛刀】答案为：a（a+b），b（ab），c2，a（a+b）b（ab）+c2【知识运用】（1）如图2，连接CD，作CEAD于点E，ADAB，BCAB，BCAE，CEAB，DEADAE25169千米，CD41千米，两个村庄相距41千米故答案为41（2）如图2所示：设APx千米，则BP（40x）千米，在RtADP中，DP2AP2+AD2x2+242，在RtBPC中，CP2BP2+BC2（40x）2+162，PCPD，x2+242（40x）2+162，解得x16，即AP16千米【知识迁移】：如图3，代数式+的最小值为：20学科网（北京）股份有限公司